第七讲：配方法解一元二次方程
适用学科
初中数学
适用年级
初中三年级
适用区域
北师大版
课时时长（分钟）
120
知识点
一元二次方程的定义列一元二次方程一元二次方程的解一元二次方程的近似值直接开平方法解一元二次方程配方法解一元二次方程利用配方法解决一元二次方程的实际问题
教学目标
1、掌握一元二次方程的定义并会列一元二次方程.2、学会配方法解一元二次方程.
教学重点
能熟练掌握一元二次方程的配方法.
教学难点
用配方法解一元二次方程.
知识讲解：
归纳：
用配方法解二次项系数是1且一次项系数是偶数的一元二次方程的一般步骤及注意事项:
先将常数项移到方程右边，然后给方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成完全平方式的三项式形式，再将左边写成平方形式，右边完成有理数加法运算，到此，方程变形为（x+m）2=n（n≥0）的形式.
用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的一般步骤：
①把常数项移到方程右边；
②方程两边同除以二次项系数，化二次项系数为1；
③方程两边都加上一次项系数一半的平方；
④原方程变形为（x+m）2=n的形式；
⑤如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．
运用总结的配方法步骤解方程，先观察将其变形，即将一次项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；配方后右边是负数，确定原方程无解.
考点一：一元二次方程的定义
【例题】
1、下列方程中，属于一元二次方程的是（
）．
A、x2-=1
B、x2+y=2
C、x2=2
D、x+5=（-7）2
2、将方程3x(x-1)=5(x+2)化为一元二次方程的一般形式,正确的是 ( )
A.4x2-4x+5=0
B.3x2-8x-10=0
C.4x2+4x-5=0
D.3x2+8x+10=0
3、关于x的一元二次方程(m+2)x2+5x+|m|-2=0的常数项为0,则m的值为 ( )
A.0
B.2
C.-2或2
D.-2
【答案】
1、C
A、是分式方程，B、是二元二次方程，D、是一元一次方程，故错误；
C、符合一元二次方程的定义.
2、B.方程3x(x-1)=5(x+2),
去括号得3x2-3x=5x+10,
移项得3x2-3x-5x-10=0,
合并同类项得3x2-8x-10=0.
3、B.∵关于x的一元二次方程(m+2)x2+5x+|m|-2=0的常数项为0,∴m+2≠0且|m|-2=0,
由m+2≠0,得m≠-2,
由|m|-2=0,得m=±2,
∴m=2.
【练习】
1、方程是关于x的一元二次方程，则有（
）
A、m=1
B、m=-1
C、m=±1
D、m≠±1
2、当m满足什么条件时，方程m（x2+x）=x2-（x+1）是关于x的一元二次方程？当m
取何值时，方程m（x2+x）=x2-（x+1）是一元一次方程？
【答案】
1、B
2、m≠，m=
【解析】
试题分析：先去括号，移项，合并同类项，再根据一元二次方程的定义，一元一次方程的定义即可得到结果。
m（x2+x）=x2-（x+1），
mx2+mx=x2-x-1，
mx2-x2+mx+x+1=0
（m-）x2+（m+1）x+1=0
当m≠时，原方程是关于x的一元二次方程；当m=时，原方程是一元一次方程．
考点二：列一元二次方程
【例题】
兰州市某广场准备修建一个面积为200m2的矩形草坪，它的长比宽多10米.设草坪的宽为x米，则可列方程为（
）
A、
B、
C、
D、
2、如图,把边长为1m的正方形木板锯掉四个角做成正八边形的桌面,设正八边形的桌面的边长为xm,则可列出关于x的方程为 ( )
A.(1-x)2=2x2
B.(1-x)2=x2
C.(1-x)2=4x2
D.(1-x)2+(1-x)2=x2
【答案】
D
由题意可得草坪的长为米，由“长×宽＝矩形面积”，得，故选择答案D
2、A.∵正八边形每个外角是45°,四边形为正方形,∴锯掉的角的形状是等腰直角三角形,
∵正八边形的桌面的边长为xm,正方形的边长为1m,∴等腰直角三角形的腰长为,
∴()2+()2=x2,整理得(1-x)2=2x2.
【练习】
1、生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互增了182件．如果全组共有x名同学，则根据题意列出的方程是（
）．
A、x（x+1）=182
B、x（x+1）=182×
C、x（x-1）=182
D、x（x-1）=182×2
2、已知两个数的和为8，积为12，求这两个数．如果设一个数为x，那么另一个数为________，根据题意可得方程为___________．
3、如图,公园原有一块正方形空地,后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花,原空地一边减少了1m,另一边减少了2m,剩余空地(空白部分)面积为12m2,求原来正方形空地的边长.若设原来正方形空地的边长为xm,则可列方程 .
4、学校有一块边长为10m的正方形草地,现在将它的一边减少xm,另一边增加2xm,改变后的草地面积是112m2,则可得方程 .
【答案】
1、D
每名同学所赠的标本为：（x-1）件，
那么x名同学共赠：x（x-1）件，
根据题意可列方程：x（x-1）=182，故选C.
2、【答案】8-x；x（8-x）=12
试题分析：先根据两个数的和为8表示出另一个数，再根据积为12即得方程。
如果设一个数为x，那么另一个数为8-x，根据题意可得方程为x（8-x）=12．
3、余空地的长为(x-1)m,宽为(x-2)m,
所以可列方程为(x-1)(x-2)=12.
4、∵改变后的草地是长方形,其长为(10+2x)m,宽为(10-x)m,∴可得方程(10+2x)(10-x)=112.
考点三：一元二次方程的解
【例题】
1、已知1是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1=0的一个根，则m的值是（ ）
A．
1
B．
﹣1
C．
0
D．
无法确定
2、在一张纸条上写着一个形如x2+bx+c=0的一元二次方程,小明和小亮两位同学争着看这道题,结果小纸条被撕成两部分,小明手里拿着的是x2+bx,小亮手里握着的是+c=0.小明不告诉小亮b的值,小亮不告诉小明c的值,老师告诉他们这个方程有一个解比b大1,小明马上说老师所说的解是-1,请你帮助他们确定b和c的值.
3、已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),根据下列表格中的对应值:
x
4.10
4.11
4.12
ax2+bx+c
-0.06
-0.02
0.09
可判断方程的一个解x的范围是 .
【答案】1、B
【解析】解：根据题意得：（m﹣1）+1+1=0，
解得：m=﹣1．
故选B
2、∵方程的解是-1,∴b=-1-1=-2,
∴这个方程可表示为x2-2x+c=0,
把x=-1代入x2-2x+c=0,
得(-1)2-2×(-1)+c=0,
∴c=-3.
∴b的值是-2,c的值为-3.
3、根据表格可知,一元二次方程ax2+bx+c=0的一个解x的值在4.11～4.12之间,即4.11【练习】1、若a为一元二次方程x2﹣3x+m=0的一个根，﹣a为一元二次方程x2+3x﹣m=0的一个根，则a的值为 ．
2、已知a是方程x2-x-1=0的一个根，则a4-3a-2的值为
.
【答案】1、3或0
【解析】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．把a和﹣a分别代入这两个方程，然后得到两个新的方程，解此方程即可得到a的值．解：把a和﹣a分别代入一元二次方程x2﹣3x+m=0和一元二次方程x2+3x﹣m=0，得到两个新的方程a2﹣3a+m=0①和a2﹣3a﹣m=0②，把①②相加得到2a2﹣6a=0，所以a=3或a=0．
2、0
【解析】
试题分析：代数式中的字母表示的数没有明确告知，而是隐含在题设中，首先应从题设中获取等量关系a2=a+1，然后利用“整体代入法”求代数式的值．解此题的关键是降次，把a4-3a-2变形为（a2）2-3a-2，把等量关系a2=a+1代入求值．
把x=a代入方程可得，a2-a-1=0，即a2=a+1，
∴a4-3a-2=（a2）2-3a-2=（a+1）2-3a-2=a2-a-1=0．
考点四：一元二次方程的近似值
【例题】1、小明在学习了利用图象法来求一元二次方程的近似根的知识后进行了尝试：在直角坐标系中作出二次函数y=x2+2x﹣10的图象，由图象可知，方程x2+2x﹣10=0有两个根，一个在﹣5和﹣4之间，另一个在2和3之间．利用计算器进行探索：由下表知，方程的一个近似根是（ ）
x
﹣4.1
﹣4.2
﹣4.3
﹣4.4
y
﹣1.39
﹣0.76
﹣0.11
0.56
A．﹣4.1
B．﹣4.2
C．﹣4.3
D．﹣4.4
【答案】1、C
【解析】
当y等于0时，x的值即为方程x2+2x﹣10=0的一个根，分析题干中的表格，方程的解应为y最接近0时x的值．
解：当x由﹣4.1向4.3变换过程中y值一直在增大，并越来越接近0，当x=﹣4.4时，y值大于0，则方程的一个根在﹣4.3和﹣4.4之间，x=﹣4.3时的y值比x=﹣4.4时更接近0，所以方程的一个近似根为：﹣4.3．
故选C．
【练习】
1、根据关于x的一元二次方程可列表如下：
x
0
0.5
1
1.1
1.2
1.3
-15
-8.75
-2
-0.59
0.84
2.29
则一元二次方程的正整数解满足（
）
A．解的整数部分是0，十分位是5
B．解的整数部分是0，十分位是8
C．解的整数部分是1，十分位是1
D．解的整数部分是1，十分位是2
2、已知一元二次方程的一个较小根为，则下面对的估计正确的是（
）
A、
B、
C、
D、
【答案】
1、C
【解析】解：根据表中函数的增减性，可以确定函数值是0时，x应该是大于1.1而小于1.2．
所以解的整数部分是1，十分位是1．
故选C．
2、A
考点五：直接开平方法解一元二次方程（增长率）
【例题】1、一元二次方程x2=4的根是（
）
A、x=2
B、x=-2
C、x=±2
D、x=±4
2、已知关于x的一元二次方程(x+1)2-m=0有两个实数根,则m的取值范围是 ( )
A.m≥-
B.m≥0
C.m≥1
D.m≥2
【答案】1、C
2、B
【练习】1、对于方程x2=m-1,（1）若方程有两个不相等的实数根，则m
;（2）若方程有两个相等的实数根，则m=
;（3）若方程有无实数根，则m
;
【答案】1、；；
考点六：配方法解一元二次方程
【例题】1、用配方法解一元二次方程时，方程变形正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
2．用配方法解一元二次方程x2＋3＝4x，下列配方正确的是（
）
A.
(x＋2)2＝2
B.
(x－2)2＝7
C.
(x＋2)2＝1
D.
(x－2)2＝1
【答案】1、B
2、D
【练习】1、用配方法解下列方程时，配方有错误的是（
）
A.x2-2x-99=0化为(x-1)2=100
B.2x2-7x-4=0化为
C.x2+8x+9=0化为(x+4)2=25
D.3x2-4x-2=0化为
2、对于形如（x+m）2=n的方程，它的解的正确表达式为（
）
A．都可以用直接开平方法求解，且
B．当n≥0时，
C．当n≥0时，
D．当n≥0时，
3、如果二次三项式x2+mx+25是一个完全平方式,则m= .
【答案】1、C
【解析】
试题分析：首先把二次项系数化为1，然后进行移项，再进行配方，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可变形成左边是完全平方，右边是常数的形式．
A.x2-2x-99=0化为(x-1)2=100，配方正确；
B.2x2-7x-4=0化为，配方正确；
C.x2+8x+9=0化为(x+4)2=7，配方错误．
D.3x2-4x-2=0化为，配方正确；
故选C.
2、C
3、∵x2+mx+25=x2+mx+52,∴mx=±2×5×x,
∴m=±10.
考点七：利用配方法解决一元二次方程的实际问题
【例题】1、三角形的两边长分别为2和6，第三边是方程的解，则第三边的长为【
】
（A）7
（B）3
（C）7或3
（D）无法确定
2、一条长64cm的铁丝被剪成两段，每段均折成正方形。若两个正方形的面积和等于160cm2，则这两个正方形的边长分别为
。
【答案】1、A
2、12cm、4cm
试题分析：设大正方形边长为acm，则小正方形边长为（16-a）cm，根据两个正方形面积为160cm2，列出一元二次方程求解．
设大正方形边长为acm，则小正方形边长为（16-a）cm
依题意得a2+（16-a）2=160，
解得a1=12，a2=4．
16-a=16-12=4（cm）
则这两个正方形的边长分别为12cm、4cm.
【练习】1、某市为争创全国文明卫生城，2008年市政府对市区绿化工程投入的资金是2000万元，2010年投入的资金是2420万元，且从2008年到2010年，两年间每年投入资金的年平均增长率相同．
（1）求该市对市区绿化工程投入资金的年平均增长率；
（2）若投入资金的年平均增长率不变，那么该市在2012年需投入多少万元？
2、如图,长和宽分别是a,b的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形.
(1)用含a,b,x的代数式表示纸片剩余部分的面积.
(2)当a=6,b=4,且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时,求正方形的边长.
【答案】1、解：（1）设该市对市区绿化工程投入资金的年平均增长率为x，（1分）
根据题意得，2000（1+x）2=2420，（3分）
得x1=10%，x2=﹣2.1（舍去），（5分）
答：该市对市区绿化工程投入资金的年平均增长率为10%．（6分）
（2）2012年需投入资金：2420×（1+10%）2=2928.2（万元）（7分）
答：2012年需投入资金2928.2万元．（8分）
2、(1)剩余部分的面积=ab-4x2.
(2)根据题意可得:ab-4x2=4x2(或4x2=ab=12),
又∵a=6,b=4,∴8x2=24,∴x2=3,∴x=±.
∵x>0,∴正方形边长为.XueDaEducationTechnology
(Bei
第七讲：配方法解一元二次方程
适用学科
初中数学
适用年级
初中三年级
适用区域
北师大版
课时时长（分钟）
120
知识点
一元二次方程的定义列一元二次方程一元二次方程的解一元二次方程的近似值直接开平方法解一元二次方程配方法解一元二次方程利用配方法解决一元二次方程的实际问题
学习目标
1、掌握一元二次方程的定义并会列一元二次方程.2、学会配方法解一元二次方程.
学习重点
能熟练掌握一元二次方程的配方法.
学习难点
用配方法解一元二次方程.
知识讲解：
归纳：
用配方法解二次项系数是1且一次项系数是偶数的一元二次方程的一般步骤及注意事项:
先将常数项移到方程右边，然后给方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成完全平方式的三项式形式，再将左边写成平方形式，右边完成有理数加法运算，到此，方程变形为（x+m）2=n（n≥0）的形式.
用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的一般步骤：
①把常数项移到方程右边；
②方程两边同除以二次项系数，化二次项系数为1；
③方程两边都加上一次项系数一半的平方；
④原方程变形为（x+m）2=n的形式；
⑤如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．
运用总结的配方法步骤解方程，先观察将其变形，即将一次项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；配方后右边是负数，确定原方程无解.
考点一：一元二次方程的定义
【例题】
1、下列方程中，属于一元二次方程的是（
）．
A、x2-=1
B、x2+y=2
C、x2=2
D、x+5=（-7）2
2、将方程3x(x-1)=5(x+2)化为一元二次方程的一般形式,正确的是 ( )
A.4x2-4x+5=0
B.3x2-8x-10=0
C.4x2+4x-5=0
D.3x2+8x+10=0
3、关于x的一元二次方程(m+2)x2+5x+|m|-2=0的常数项为0,则m的值为 ( )
A.0
B.2
C.-2或2
D.-2
【练习】
1、方程是关于x的一元二次方程，则有（
）
A、m=1
B、m=-1
C、m=±1
D、m≠±1
2、当m满足什么条件时，方程m（x2+x）=x2-（x+1）是关于x的一元二次方程？当m
取何值时，方程m（x2+x）=x2-（x+1）是一元一次方程？
考点二：列一元二次方程
【例题】
兰州市某广场准备修建一个面积为200m2的矩形草坪，它的长比宽多10米.设草坪的宽为x米，则可列方程为（
）
A、
B、
C、
D、
2、如图,把边长为1m的正方形木板锯掉四个角做成正八边形的桌面,设正八边形的桌面的边长为xm,则可列出关于x的方程为 ( )
A.(1-x)2=2x2
B.(1-x)2=x2
C.(1-x)2=4x2
D.(1-x)2+(1-x)2=x2
【练习】
1、生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互增了182件．如果全组共有x名同学，则根据题意列出的方程是（
）．
A、x（x+1）=182
B、x（x+1）=182×
C、x（x-1）=182
D、x（x-1）=182×2
2、已知两个数的和为8，积为12，求这两个数．如果设一个数为x，那么另一个数为________，根据题意可得方程为___________．
3、如图,公园原有一块正方形空地,后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花,原空地一边减少了1m,另一边减少了2m,剩余空地(空白部分)面积为12m2,求原来正方形空地的边长.若设原来正方形空地的边长为xm,则可列方程 .
4、学校有一块边长为10m的正方形草地,现在将它的一边减少xm,另一边增加2xm,改变后的草地面积是112m2,则可得方程 .
考点三：一元二次方程的解
【例题】
1、已知1是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1=0的一个根，则m的值是（ ）
A．
1
B．
﹣1
C．
0
D．
无法确定
2、在一张纸条上写着一个形如x2+bx+c=0的一元二次方程,小明和小亮两位同学争着看这道题,结果小纸条被撕成两部分,小明手里拿着的是x2+bx,小亮手里握着的是+c=0.小明不告诉小亮b的值,小亮不告诉小明c的值,老师告诉他们这个方程有一个解比b大1,小明马上说老师所说的解是-1,请你帮助他们确定b和c的值.
3、已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),根据下列表格中的对应值:
x
4.10
4.11
4.12
ax2+bx+c
-0.06
-0.02
0.09
可判断方程的一个解x的范围是 .
【练习】1、若a为一元二次方程x2﹣3x+m=0的一个根，﹣a为一元二次方程x2+3x﹣m=0的一个根，则a的值为 ．
2、已知a是方程x2-x-1=0的一个根，则a4-3a-2的值为
.
考点四：一元二次方程的近似值
【例题】1、小明在学习了利用图象法来求一元二次方程的近似根的知识后进行了尝试：在直角坐标系中作出二次函数y=x2+2x﹣10的图象，由图象可知，方程x2+2x﹣10=0有两个根，一个在﹣5和﹣4之间，另一个在2和3之间．利用计算器进行探索：由下表知，方程的一个近似根是（ ）
x
﹣4.1
﹣4.2
﹣4.3
﹣4.4
y
﹣1.39
﹣0.76
﹣0.11
0.56
A．﹣4.1
B．﹣4.2
C．﹣4.3
D．﹣4.4
【练习】
1、根据关于x的一元二次方程可列表如下：
x
0
0.5
1
1.1
1.2
1.3
-15
-8.75
-2
-0.59
0.84
2.29
则一元二次方程的正整数解满足（
）
A．解的整数部分是0，十分位是5
B．解的整数部分是0，十分位是8
C．解的整数部分是1，十分位是1
D．解的整数部分是1，十分位是2
2、已知一元二次方程的一个较小根为，则下面对的估计正确的是（
）
A、
B、
C、
D、
考点五：直接开平方法解一元二次方程（增长率）
【例题】1、一元二次方程x2=4的根是（
）
A、x=2
B、x=-2
C、x=±2
D、x=±4
2、已知关于x的一元二次方程(x+1)2-m=0有两个实数根,则m的取值范围是 ( )
A.m≥-
B.m≥0
C.m≥1
D.m≥2
【练习】1、对于方程x2=m-1,（1）若方程有两个不相等的实数根，则m
;（2）若方程有两个相等的实数根，则m=
;（3）若方程有无实数根，则m
;
考点六：配方法解一元二次方程
【例题】1、用配方法解一元二次方程时，方程变形正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
2．用配方法解一元二次方程x2＋3＝4x，下列配方正确的是（
）
A.
(x＋2)2＝2
B.
(x－2)2＝7
C.
(x＋2)2＝1
D.
(x－2)2＝1
【练习】1、用配方法解下列方程时，配方有错误的是（
）
A.x2-2x-99=0化为(x-1)2=100
B.2x2-7x-4=0化为
C.x2+8x+9=0化为(x+4)2=25
D.3x2-4x-2=0化为
2、对于形如（x+m）2=n的方程，它的解的正确表达式为（
）
A．都可以用直接开平方法求解，且
B．当n≥0时，
C．当n≥0时，
D．当n≥0时，
3、如果二次三项式x2+mx+25是一个完全平方式,则m= .
考点七：利用配方法解决一元二次方程的实际问题
【例题】1、三角形的两边长分别为2和6，第三边是方程的解，则第三边的长为【
】
（A）7
（B）3
（C）7或3
（D）无法确定
2、一条长64cm的铁丝被剪成两段，每段均折成正方形。若两个正方形的面积和等于160cm2，则这两个正方形的边长分别为
。
【练习】1、某市为争创全国文明卫生城，2008年市政府对市区绿化工程投入的资金是2000万元，2010年投入的资金是2420万元，且从2008年到2010年，两年间每年投入资金的年平均增长率相同．
（1）求该市对市区绿化工程投入资金的年平均增长率；
（2）若投入资金的年平均增长率不变，那么该市在2012年需投入多少万元？
2、如图,长和宽分别是a,b的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形.
(1)用含a,b,x的代数式表示纸片剩余部分的面积.
(2)当a=6,b=4,且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时,求正方形的边长.
