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(Bei
第六讲：正方形的性质与判定
适用学科
初中数学
适用年级
初中三年级
适用区域
北师大版
课时时长（分钟）
120
知识点
正方形的性质正方形中的旋转问题中点四边形正方形的性质与判定
教学目标
1、掌握正方形的性质与判定.2、掌握正方形的旋转问题.
教学重点
能熟练掌握正方形的性质与判定.
教学难点
正方形综合题.
知识讲解：
有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形．
正方形的一些判定定理：
一组邻边相等的矩形是正方形
有一个角是直角的菱形是正方形
我们知道正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，故正方形具有矩形、菱形的性质．
性质：正方形的四个角都是直角，四条边相等．
正方形的对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．
课堂练习：
考点一：正方形的性质
【例题】
1．菱形、矩形、正方形都具有的性质是（
）
A．对角线相等且互相平分
B．对角线相等且互相垂直平分
C．对角线互相平分
D．四条边相等，四个角相等
2．如图，有一张面积为1的正方形纸片ABCD，M、N分别是AD，BC边上的中点，将点C折叠至MN上，落在P点的位置上，折痕为BQ，连PQ，则PQ的长为(
)
A、
B、
C、
D、
3．如图，正方形中，，点在边上，且将沿对折至，延长交边于点连结下列结论：①②③④
其中正确结论的个数是
（
）
A．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4
【答案】
1．C．
【解析】
试题分析：菱形的对角线互相垂直平分，矩形的对角线相等且互相平分，正方形的对角线相等且互相垂直平分可得答案，故答案选C．
考点：菱形、矩形、正方形对角线的性质．
2．B
【解析】
试题分析：由折叠的性质知∠BPQ=∠C=90°，利用直角三角形中的cos∠PBN=BN：PB=1：2，可求得∠PBN=60°，∠PBQ=30°，从而可以求得结果.
∵∠CBQ=∠PBQ=∠PBC，BC=PB=2BN=1，∠BPQ=∠C=90°
∴cos∠PBN=BN：PB=1：2
∴∠PBN=60°，∠PBQ=30°
∴PQ=PBtan30°=
故选B.
考点：本题考查的是折叠的性质，正方形的性质，直角三角形的性质，锐角三角函数的概念
点评：解答本题的关键是熟练掌握折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3．C
【解析】
试题分析：根据折叠的性质和正方形的性质可证Rt△ABG≌Rt△AFG；在直角△ECG中，根据勾股定理可证BG=GC；先证得∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，由平行线的判定可得AG∥CF；由于，求得面积比较即可．
∵AB=AD=AF，AG=AG，∠B=∠AFG=90°，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），故①正确；∵EF=DE=CD=2，设BG=FG=x，则CG=6-x．
在直角△ECG中，根据勾股定理，得，解得x=3
所以BG=3=6-3=GC，故②正确；
∵CG=BG，BG=GF，
∴CG=GF，
∴△FGC是等腰三角形，∠GFC=∠GCF．
又∵Rt△ABG≌Rt△AFG；
∴∠AGB=∠AGF，∠AGB+∠AGF=180°-∠FGC=∠GFC+∠GCF，
∴∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，
∴AG∥CF，故③正确；
，GF=3，EF=2，△GFC和△FCE等高，
，
，故④错误；
故选C.
考点：本题考查了折叠的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，三角形的面积公式
点评：解答此题的关键是熟练掌握折叠的性质：折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等．
【练习】
1．如图，线段AC=n+1（其中n为正整数），点B在线段AC上，在线段AC同侧作正方形ABMN及正方形BCEF，连接AM、ME、EA得到△AME．当AB=1时，△AME的面积记为S1；当AB=2时，△AME的面积记为S2；当AB=3时，△AME的面积记为S3；…；当AB=n时，△AME的面积记为Sn．当n≥2时，Sn﹣Sn﹣1=
．
2．已知：如图，正方形中，O是对角线AC,BD的交点，过作分别交、于、，若，则_______
3．如图，边长为6的正方形ABCD内部有一点P,BP=4，∠PBC=60°，点Q为正方形边上一动点，且△PBQ是等腰三角形，则符合条件的Q点有
个.
【答案】
1．
【解析】连接BE，
∵在线段AC同侧作正方形ABMN及正方形BCEF，
∴BE∥AM。∴△AME与△AMB同底等高。
∴△AME的面积=△AMB的面积。
∴当AB=n时，△AME的面积为，当AB=n－1时，△AME的面积为。
∴当n≥2时，
2．
【解析】
试题分析：先根据正方形的性质及证得△AEO≌△BFO，得出AE=BF，则BE=CF，再根据勾股定理即可求得结果。
,∵四边形ABCD是正方形
∴OA=OB，∠EAO=∠FBO=45°
又∵∠AOE+∠EOB=90°，∠BOF+∠EOB=90°
∴∠AOE=∠BOF，
∴△AEO≌△BFO
∴AE=BF=4
∴BE=CF=3，
考点：本题考查的是正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理
点评：解答本题的关键是根据正方形的性质及证得△AEO≌△BFO.
3．5。
【解析】如图，符合条件的Q点有5个。
当BP=BQ时，在AB，BC边上各有1点；
当BP=QP时，可由锐角三角函数求得点P到AB的距离为2，到CD的距离为4，到BC的距离为，到AD的距离为，故在BC，CD，DA边上各有1点；
当BQ=PQ时，BP的中垂线与AB，BC各交于1点，故在AB，BC边上各有1点。
又当Q在BC边上时，由于△BPQ是等边三角形，故3点重合。
因此，符合条件的Q点有5个。
考点二：正方形中的旋转问题
【例题】
1．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，正三角形OEF绕点O旋转．在旋转过程中，当AE＝BF时，∠AOE的大小是________．
2、如图1，在正方形ABCD中，等腰三角形AEF的顶点E，F分别在BC和CD上.
（1）求证：BE=DF；
（2）若等腰三角形AEF的腰AE比正方形ABCD的边AB长1，BE=5，求正方形ABCD的面积；
（3）若∠EAF=50°，则
①如图1，∠BAE=
°；
②如图2，将△AEF绕顶点A旋转，在旋转过程中，当BE=DF时，求∠BAE的大小．
【答案】
1．15°或165°
【解析】分情况讨论：（1）如图（1），连接AE、BF．∵四边形ABCD为正方形，∴OA＝OB，∠AOB＝90°．
∵△OEF为等边三角形，∴OE＝OF，∠EOF＝60°．
∵在△OAE和△OBF中，∴△OAE≌△OBF（SSS），
∴．
（2）如图（2），连接AE、BF．∵在△AOE和△BOF中，
∴△AOE≌△BOF（SSS），∴∠AOE＝∠BOF，∴∠DOF＝∠COE，
∴，∴∠AOE＝180°－15°＝165°．
综上，∠AOE的大小为15°或165°．
2、（1）根据正方形及等腰三角形的性质即可根据“HL”证得结论；（2）144；
（3）①；②160°
【解析】
试题分析：（1）根据正方形及等腰三角形的性质即可根据“HL”证得结论；
（2）设，则，在中，根据勾股定理即可列方程求出x，再根据正方形的面积公式即可求得结果；
（3）①先根据“SAS”证得△ABE≌△ADE，再根据正方形的性质即可求得结果；
②先根据“SSS”证得△ABE≌△ADF，即可得到∠BAE=∠DAF，从而可得∠BAF=∠DAE，再根据∠EAF与∠BAD的度数结合周角为360°即可求得结果.
（1），
，
．
，
，
；
（2）设，
则，
在中，，
，
即，
解得，
，
；
（3）①；
②，
，
，
，
即．
，
，
．
【练习】
1．（1）如图1，已知正方形ABCD和正方形CGEF（），B、C、G在同一条直线上，M为线段AE的中点。探究：线段MD、MF的关系，并证明。
（2）若将正方形CGEF绕点C顺时针旋转，使得正方形CGEF的对角线CE在正方形ABCD的边BC的延长线上，M为AE的中点。试问：（1）中探究的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。
2．已知：如图①，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM。
（I）求证：
（II）①当M点在何处时，AM+CM的值最小；
②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由；
（III）当AM+BM+CM的最小值为时，求正方形的边长。
3．如图1，若分别以△ABC的AC、BC两边为边向外侧作的四边形ACDE和BCFG为正方形，则称这两个正方形为外展双叶正方形．
（1）发现：如图2，当∠C=90°时，求证：△ABC与△DCF的面积相等．
（2）引申：如果∠C≠90°时，（1）中结论还成立吗？若成立，请结合图1给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）运用：如图3，分别以△ABC的三边为边向外侧作的四边形ACDE、BCFG和ABMN为正方形，则称这三个正方形为外展三叶正方形．已知△ABC中，AC=3，BC=4．当∠C=
度时，图中阴影部分的面积和有最大值是
．
【答案】
1．
【解析】略
2．（1）略（2）当M在BD中点时，AM+CM值最小（3）
【解析】
解：（1）∵△ABE是等边三角形，
∴BA=BE，∠ABE=60°，
∵∠MBN=60°，
∴∠MBN-∠ABN=∠ABE-∠ABN，
即∠BMA=∠NBE，
又∵MB=NB，
∴△AMB≌△ENB（SAS）；
（2）①当M点落在BD的中点时，AM+CM的值最小；
②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，
理由如下：连接MN，
由（1）知，△AMB≌△ENB，
∴AM=EN，
∵∠MBN=60°，MB=NB，
∴△BMN是等边三角形，
∴BM=MN，
∴AM+BM+CM=EN+MN+CM，
根据“两点之间线段最短”，得EN+MN+CM=EC最短
∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长；
（3）过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，
∴∠EBF=90°-60°=30°，
设正方形的边长为x，则BF=x，EF=，
在Rt△EFC中，
∵EF2+FC2=EC2，
∴（）2+（x+x）2=，
解得，x=（舍去负值），
∴正方形的边长为。
3．（1）证明见解析；
（2）成立．理由见解析；????
（3）∠C=90度时，阴影部分的面积和最大，最大面积为18．
【解析】
试题分析：（1）因为AC=DC，∠ACB=∠DCF=90°，BC=FC，所以△ABC≌△DFC，从而△ABC与△DFC的面积相等；
（2）延长BC到点P，过点A作AP⊥BP于点P；过点D作DQ⊥FC于点Q．得到四边形ACDE，BCFG均为正方形，AC=CD，BC=CF，∠ACP=∠DCQ．所以△APC≌△DQC．
于是AP=DQ．又因为S△ABC=BC?AP，S△DFC=FC?DQ，所以S△ABC=S△DFC；
（3）根据（2）得图中阴影部分的面积和是△ABC的面积三倍，若图中阴影部分的面积和有最大值，则三角形ABC的面积最大，当△ABC是直角三角形，即∠C是90度时，阴影部分的面积和最大．所以S阴影部分面积和=3S△ABC=3××3×4=18．
（1）证明：在△ABC与△DFC中，
∵
，
∴△ABC≌△DFC．
∴△ABC与△DFC的面积相等；
（2）解：成立．理由如下：
如图，延长BC到点P，过点A作AP⊥BP于点P；过点D作DQ⊥FC于点Q．
∴∠APC=∠DQC=90°．
∵四边形ACDE，BCFG均为正方形，
∴AC=CD，BC=CF，∠ACP+∠PCD=90°，∠DCQ+∠PCD=90°，
∴∠ACP=∠DCQ．
∴
，
△APC≌△DQC（AAS），
∴AP=DQ．
又∵S△ABC=BC?AP，S△DFC=FC?DQ，
∴S△ABC=S△DFC；????
（3）解：根据（2）得图中阴影部分的面积和是△ABC的面积三倍，
若图中阴影部分的面积和有最大值，则三角形ABC的面积最大，
∴当△ABC是直角三角形，即∠C是90度时，阴影部分的面积和最大．
∴S阴影部分面积和=3S△ABC=3××3×4=18．
考点三：中点四边形
【例题】
1、如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的中点，阅读下列材料，
（1）连接AC、BD，由三角形中位线的性质定理可证四边形EFGH是________；
（2）对角线AC、BD满足条件_______时，四边形EFGH是矩形；
（3）对角线AC、BD满足条件_______时，四边形EFGH是菱形；
（4）对角线AC、BD满足条件_________时，四边形EFGH是正方形．
【答案】
1、解：（1）连接AC、BD．
∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的中点，
∴EF∥AC，EF=AC，FG∥BD，FG=BD，GH∥AC，GH=AC，EH∥BD，EH=BD．
∴EF∥HG，EF=GH，FG∥EH，FG=EH．
∴四边形EFGH是平行四边形；
（2）要使四边形EFGH是矩形，则需EF⊥FG，由（1）得，只需AC⊥BD；
（3）要使四边形EFGH是菱形，则需EF=FG，由（1）得，只需AC=BD；
（4）要使四边形EFGH是正方形，综合（2）和（3），则需AC⊥BD且AC=BD．
【练习】
1、如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为1，则第n个矩形的面积为
2、如图，四边形ABCD中，AC=a，BD=b，且AC⊥BD，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1各边中点，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2?……，如此进行下去，得到四边形AnBnCnDn，下列结论正确的有
①四边形A2B2C2D2是矩形；
②四边形A4B4C4D4是菱形；
③四边形A5B5C5D5的周长是；
④四边形AnBnCnDn的面积是。
【答案】
解：已知第一个矩形的面积为1；
第二个矩形的面积为原来的（）2×2﹣2=；
第三个矩形的面积是（）2×3﹣2=；…
故第n个矩形的面积为：（）2n﹣2．
2、②③④
考点四：正方形的性质与判定
【例题】
1、如图△ABC中，点O是AC上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠GCA的平分线于点F．
（1）说明
EO=FO．
（2）当点O运动到何处，四边形AECF是矩形？说明你的结论．
（3）当点O运动到何处，AC与BC具有怎样的关系时，四边形AECF是正方形？为什么？
2、如图，正方形ABCD的边长为6，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在正方形ABCD的边AB，CD，DA上，且AH＝2，连接CF.若DG＝2，求证：菱形EFGH为正方形．
【答案】
1、如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N．
（1）求证：∠ADB=∠CDB；
（2）若∠ADC=90°，求证：四边形MPND是正方形．
解答：
证明：（1）∵对角线BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
在△ABD和△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD（SAS），
∴∠ADB=∠CDB；
（2）∵PM⊥AD，PN⊥CD，
∴∠PMD=∠PND=90°，
∵∠ADC=90°，
∴四边形MPND是矩形，
∵∠ADB=∠CDB，
∴∠ADB=45°
∴PM=MD，
∴四边形MPND是正方形．
2、证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝∠A＝90°.∵四边形EFGH是菱形，∴HG＝HE.∵DG＝AH＝2，∴Rt△HDG≌Rt△EAH，∴∠DHG＝∠AEH.又∵∠AEH＋∠AHE＝90°，∴∠DHG＋∠AHE＝90°，∴∠GHE＝90°，∴菱形EFGH为正方形．
【练习】
1．如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE．
（1）求证：四边形ADCF是平行四边形．
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是正方形？请说明理由．
2、如图，正方形CEFG的边GC在正方形ABCD的边CD上，延长CD到H，使DH＝CE，K在BC边上，且BK＝CE，求证：四边形AKFH为正方形．
【答案】
1．如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE．
（1）求证：四边形ADCF是平行四边形．
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是正方形？请说明理由．
解答：
（1）证明：∵△CFE是由△ADE绕点E旋转180°得到，
∴点A、E、C三点共线，点D、E、F三点共线，
且AE=CE，DE=FE，
故四边形ADCF是平行四边形．
（2）解：当∠ACB=90°，AC=BC时，四边形ADCF是正方形．
理由如下：
在△ABC中，∵AC=BC，AD=BD，
∴CD⊥AB，即∠ADC=90°．
而由（1）知，四边形ADCF是平行四边形，
∴四边形ADCF是矩形．
又∵∠ACB=90°，
∴，
故四边形ADCF是正方形．
2、证明：∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠BAD＝∠DCB＝∠B＝∠ADC＝90°，∠GCE＝∠E＝∠GFE＝∠CGF＝90°，∴∠ADH＝∠HGF＝∠E＝∠B＝90°.又∵DH＝CE，BK＝CE，∴BK＝GF＝DH＝EF，KE＝GH＝AB＝AD，∴△ABK≌△KEF≌△HGF≌△ADH，∴AK＝KF＝HF＝AH，∠BAK＝∠DAH.∵∠BAD＝90°，∴∠HAK＝∠HAD＋∠DAK＝∠BAK＋∠DAK＝∠BAD＝90°，∴四边形AKFH为正方形．XueDaEducationTechnology
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第六讲：正方形的性质与判定
适用学科
初中数学
适用年级
初中三年级
适用区域
北师大版
课时时长（分钟）
120
知识点
正方形的性质正方形中的旋转问题中点四边形正方形的性质与判定
学习目标
1、掌握正方形的性质与判定.2、掌握正方形的旋转问题.
学习重点
能熟练掌握正方形的性质与判定.
学习难点
正方形综合题.
知识讲解：
有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形．
正方形的一些判定定理：
一组邻边相等的矩形是正方形
有一个角是直角的菱形是正方形
我们知道正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，故正方形具有矩形、菱形的性质．
性质：正方形的四个角都是直角，四条边相等．
正方形的对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．
课堂练习：
考点一：正方形的性质
【例题】
1．菱形、矩形、正方形都具有的性质是（
）
A．对角线相等且互相平分
B．对角线相等且互相垂直平分
C．对角线互相平分
D．四条边相等，四个角相等
2．如图，有一张面积为1的正方形纸片ABCD，M、N分别是AD，BC边上的中点，将点C折叠至MN上，落在P点的位置上，折痕为BQ，连PQ，则PQ的长为(
)
A、
B、
C、
D、
3．如图，正方形中，，点在边上，且将沿对折至，延长交边于点连结下列结论：①②③④
其中正确结论的个数是
（
）
A．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4
【练习】
1．如图，线段AC=n+1（其中n为正整数），点B在线段AC上，在线段AC同侧作正方形ABMN及正方形BCEF，连接AM、ME、EA得到△AME．当AB=1时，△AME的面积记为S1；当AB=2时，△AME的面积记为S2；当AB=3时，△AME的面积记为S3；…；当AB=n时，△AME的面积记为Sn．当n≥2时，Sn﹣Sn﹣1=
．
2．已知：如图，正方形中，O是对角线AC,BD的交点，过作分别交、于、，若，则_______
3．如图，边长为6的正方形ABCD内部有一点P,BP=4，∠PBC=60°，点Q为正方形边上一动点，且△PBQ是等腰三角形，则符合条件的Q点有
个.
考点二：正方形中的旋转问题
【例题】
1．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，正三角形OEF绕点O旋转．在旋转过程中，当AE＝BF时，∠AOE的大小是________．
2、如图1，在正方形ABCD中，等腰三角形AEF的顶点E，F分别在BC和CD上.
（1）求证：BE=DF；
（2）若等腰三角形AEF的腰AE比正方形ABCD的边AB长1，BE=5，求正方形ABCD的面积；
（3）若∠EAF=50°，则
①如图1，∠BAE=
°；
②如图2，将△AEF绕顶点A旋转，在旋转过程中，当BE=DF时，求∠BAE的大小．
．
【练习】
1．（1）如图1，已知正方形ABCD和正方形CGEF（），B、C、G在同一条直线上，M为线段AE的中点。探究：线段MD、MF的关系，并证明。
（2）若将正方形CGEF绕点C顺时针旋转，使得正方形CGEF的对角线CE在正方形ABCD的边BC的延长线上，M为AE的中点。试问：（1）中探究的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。
2．已知：如图①，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM。
（I）求证：
（II）①当M点在何处时，AM+CM的值最小；
②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由；
（III）当AM+BM+CM的最小值为时，求正方形的边长。
3．如图1，若分别以△ABC的AC、BC两边为边向外侧作的四边形ACDE和BCFG为正方形，则称这两个正方形为外展双叶正方形．
（1）发现：如图2，当∠C=90°时，求证：△ABC与△DCF的面积相等．
（2）引申：如果∠C≠90°时，（1）中结论还成立吗？若成立，请结合图1给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）运用：如图3，分别以△ABC的三边为边向外侧作的四边形ACDE、BCFG和ABMN为正方形，则称这三个正方形为外展三叶正方形．已知△ABC中，AC=3，BC=4．当∠C=
度时，图中阴影部分的面积和有最大值是
．
考点三：中点四边形
【例题】
1、如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的中点，阅读下列材料，
（1）连接AC、BD，由三角形中位线的性质定理可证四边形EFGH是________；
（2）对角线AC、BD满足条件_______时，四边形EFGH是矩形；
（3）对角线AC、BD满足条件_______时，四边形EFGH是菱形；
（4）对角线AC、BD满足条件_________时，四边形EFGH是正方形．
【练习】
1、如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为1，则第n个矩形的面积为
2、如图，四边形ABCD中，AC=a，BD=b，且AC⊥BD，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1各边中点，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2?……，如此进行下去，得到四边形AnBnCnDn，下列结论正确的有
①四边形A2B2C2D2是矩形；
②四边形A4B4C4D4是菱形；
③四边形A5B5C5D5的周长是；
④四边形AnBnCnDn的面积是。
考点四：正方形的性质与判定
【例题】
1、如图△ABC中，点O是AC上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠GCA的平分线于点F．
（1）说明
EO=FO．
（2）当点O运动到何处，四边形AECF是矩形？说明你的结论．
（3）当点O运动到何处，AC与BC具有怎样的关系时，四边形AECF是正方形？为什么？
2、如图，正方形ABCD的边长为6，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在正方形ABCD的边AB，CD，DA上，且AH＝2，连接CF.若DG＝2，求证：菱形EFGH为正方形．
【练习】
1．如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE．
（1）求证：四边形ADCF是平行四边形．
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是正方形？请说明理由．
2、如图，正方形CEFG的边GC在正方形ABCD的边CD上，延长CD到H，使DH＝CE，K在BC边上，且BK＝CE，求证：四边形AKFH为正方形．
