初中数学华师大版八年级上学期第12章12.3乘法公式同步练习
一、单选题
1．（2021·张家界）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021七下·昆山月考）下列各式能用平方差公式计算的是
A． B．
C． D．
3．（2021·东坡模拟）已知 ，则代数式 的值是（ ）
A．-30 B．20 C．-10 D．0
4．（2021·玉田模拟）若 ，则 的值是（ ）
A．100 B．105 C．200 D．205
5．（2021七下·濉溪期中）已知a2-b2+2a+4b-3=0，下列哪个选项可以确定（ ）
A．a的值 B．b的值
C．a的值和b的值 D．a-b的值或a+b的值
6．（2021七下·瑶海期中）若a2+ab=7+m，b2+ab=9-m，则a+b的值为（ ）
A．土4 B．4 C．土2 D 2
7．（2021七下·鄞州期中）从图1到图2的变化过程可以发现的代数结论是（ ）
A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．a2+2ab+b2＝（a+b）2
8．（2019七下·兰州月考）观察下列各式及其展开式：（ ）
……
你猜想 的展开式第三项的系数是（ ）
A．66 B．55 C．45 D．36
二、填空题
9．（2021七下·长兴期中）计算：(2+x)(2-x)=
10．（2021七下·海曙月考）已知a+b＝8，ab＝15，则a2+b2＝ ．
11．（2020七下·衢州期中）阅读材料后解决问题：
小明遇到下面一个问题：计算(2+1)(2 +1)(24+1)(28+1)。
经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下：
(2+1)(2 +1)(24+1)(28+1)=(2-1)(2+1)(2 +1)(24+1)(28+1)=(2 -1)(2 +1)(24+1)(28+1)=(24-1)(24+1)(28+1)=(28-1)(28+1)=216-1
请你仿照小明解决问题的方法，尝试计算：(6+1)(6 +1)(64+1)(68+1)= 。
12．（2021·河北）现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）．
（1）取甲、乙纸片各1块，其面积和为 ；
（2）嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，还需取丙纸片 块．
三、计算题
13．（2021七下·海曙月考）计算
（1）|﹣3|﹣（ ﹣2）0+（ ）﹣2
（2）（2a+3）（3﹣2a）
四、综合题
14．（2021·从化模拟）已知：P＝3a（a+1）﹣（a+1）（a﹣1）
（1）化简P；
（2）若a为方程 x2+x﹣ ＝0的解，求P的值．
15．（2021·重庆模拟）阅读理解：对于任意一个四位数，若千位数字与十位数字均为奇数，百位数字与个位数字均为偶数，则称这个四位数为“均衡数”.将一个“均衡数”的千位数字与十位数字组成一个新的两位数m，原来千位数字作为m的十位数字；将一个“均衡数”的百位数字与个位数字组成另一个新的两位数n，原来百位数字作为n的十位数字.例如：“均衡数”3812，则 .若 各个数位上的数字都不为零且十位数字大于个位数字，则将m中的任意一个数字作为一个新的两位数的十位数字，n中的任意一个数字作为这个新的两位数的个位数字，按这个方式产生的所有新的两位数的和记为 .例如： 时， .
（1）3456 （填“是”或“不是”）“均衡数”，最小的“均衡数”为 ；
（2）若 是一个完全平方数，请求出所有满足条件的“均衡数”.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；幂的乘方
【解析】【解答】解：A， 不能合并同类项，故答案为：错误，不符合题意；
B， ，故答案为：错误，不符合题意；
C， ，故答案为：正确，符合题意；
D， ，故答案为：错误，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据合并同类项、完全平方公式、幂的乘方、同底数幂的除法分别进行计算，然后判断即可.
2．【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A中不存在互为相同或相反的项，不能用平方差公式计算，故本选项错误；
B中 是相同的项，互为相反项是 与 ，符合平方差公式的要求，故本选项正确；
C中不存在相反的项，不能用平方差公式计算，故本选项错误 ；
D中符合完全平方公式，不能用平方差公式计算，故本选项错误.
故答案为：B.
【分析】平方差公式表示两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，可表示为(a+b)(a-b)=a2-b2，据此判断即可.
3．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
＝
当 时，
原式＝25-5
＝20.
故答案为：B.
【分析】首先根据已知条件得，然后把代数式运用完全平方式变形，最后整体代值计算即可.
4．【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵ ，
∴k=1002-992+1=（100+99）×（100-99）+1=199+1=200．
故答案为：C．
【分析】利用平方差公式及有理数的混合运算计算即可。
5．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：原式可变为
a2+2a+1-（b2-4b+4）=0
∴（a+1）2-（b-2）2=0
即|a+1|=|b-2|
∴a+1=b-2或a+1=2-b
∴a-b=-3或a+b=1
∴可以确定a-b和a+b的值
故答案为：D.
【分析】根据题意，由完全平方公式的性质，将式子变形，求出答案即可。
6．【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：根据题意可知，a2+ab+b2+ab=（a+b）2=16
∴a+b=±4
故答案为：A.
【分析】根据题意，由完全平方公式的性质，求出a+b的值即可。
7．【答案】A
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：由题意可知：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2.
故答案为：A.
【分析】抓住已知条件，结合图形变化，根据两图形的面积相等可得结论.
8．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：观察上面式子，总结规律可得 的展开式第三项系数为 ，所以 的展开式第三项的系数是
故答案为：C.
【分析】利用各个等式中第三项的系数，可得 的展开式第三项系数为 ，然后将n=10代入计算即可.
9．【答案】4-x2
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：(2+x)(2-x)=4-x2.
故答案为：4-x2.
【分析】利用平方差公式进行计算，可求出结果.
10．【答案】34
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵a+b＝8，ab＝15，
∴，
∴，
故答案为：34.
【分析】先将a+b两边同时平方，再用完全平方公式展开式子，接着代入ab的值即可求出答案.
11．【答案】
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解： (6+1)(6 +1)(64+1)(68+1)=
故答案为：.
【分析】将原式乘以后，利用题干提供的方法，连续利用平方差公式即可算出答案.
12．【答案】（1）
（2）4
【知识点】列式表示数量关系；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）∵甲、乙都是正方形纸片，其边长分别为
∴取甲、乙纸片各1块，其面积和为 ；
故答案为： ．
（2）要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，则它们的面积和为 ，若再加上 （刚好是4个丙），则 ，则刚好能组成边长为 的正方形，图形如下所示，所以应取丙纸片4块．
故答案为：4．
【分析】，掌握完全平方式是解题的关键。
13．【答案】（1）解：原式＝3﹣1+4＝6
（2）解：原式＝9﹣4a2
【知识点】实数的运算；平方差公式及应用
【解析】【分析】（1）运用绝对值、零指数幂、负整数指数幂进行计算即可得出答案；
（2）运用平方差公式即可得出答案.
14．【答案】（1）解：P＝3a（a+1）﹣（a+1）（a﹣1）
=3a2+3a-a2+1
=2a2+3a+1；
（2）解： x2+x﹣ ＝0，
整理得：2x2+3x﹣5＝0，
∵a为方程 x2+x﹣ ＝0的解，
∴2a2+3a﹣5＝0，即：2a2+3a=5，
∴P=2a2+3a+1=5+1=6．
【知识点】单项式乘多项式；平方差公式及应用
【解析】【分析】（1）根据多项式乘单项式、平方差公式的性质，运算式子得到答案即可；
（2）将x=a代入方程，根据方程的值求出P的值即可。
15．【答案】（1）是；1212
（2）解：设m=ab，n=xy（a＞b，x＞y），
F（m，n）
=F（ab，xy）
=10a+x+10a+y+10b+x+10b+y
=2（10a+10b+x+y），
∵0＜a，b，x，y＜9，
∴0＜2（10a+10b+x+y）＜396，
∵2（10a+10b+x+y）是偶数，又是一个完全平方数，
∴满足条件的完全平方数有64，100，144，196，256，324，
当2（10a+10b+x+y）=64时，a=1，b=1，x=6，y=6满足题意，
当2（10a+10b+x+y）=100时，a=3，b=1，x=8，y=2满足题意，
当2（10a+10b+x+y）=144时，a=5，b=1，x=8，y=4满足题意，
当2（10a+10b+x+y）=196时，a=7，b=1，x=9，y=9不满足题意，
当2（10a+10b+x+y）=256时，a=7，b=5，x=6，y=2满足题意，
当2（10a+10b+x+y）=324时，没有解.
故所有满足条件的“均衡数”为1616，3812，5814，7622，7652.
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：（1）由“均衡数”的定义可得3456是“均衡数”，最小的“均衡数”为1212.
故答案为：是，1212；
【分析】（1）根据“均衡数”的定义可得3456是“均衡数”，进一步求得最小的“均衡数”；
（2）设m=ab，n=xy（a＞b，x＞y），可得F（m，n）=2（10a+10b+x+y），由于0＜2（10a+10b+x+y）＜396，2（10a+10b+x+y）是偶数，又是一个完全平方数，可得满足条件的完全平方数有64，100，144，196，256，324，依此进行分析即可求解.
1 / 1初中数学华师大版八年级上学期第12章12.3乘法公式同步练习
一、单选题
1．（2021·张家界）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；幂的乘方
【解析】【解答】解：A， 不能合并同类项，故答案为：错误，不符合题意；
B， ，故答案为：错误，不符合题意；
C， ，故答案为：正确，符合题意；
D， ，故答案为：错误，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据合并同类项、完全平方公式、幂的乘方、同底数幂的除法分别进行计算，然后判断即可.
2．（2021七下·昆山月考）下列各式能用平方差公式计算的是
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A中不存在互为相同或相反的项，不能用平方差公式计算，故本选项错误；
B中 是相同的项，互为相反项是 与 ，符合平方差公式的要求，故本选项正确；
C中不存在相反的项，不能用平方差公式计算，故本选项错误 ；
D中符合完全平方公式，不能用平方差公式计算，故本选项错误.
故答案为：B.
【分析】平方差公式表示两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，可表示为(a+b)(a-b)=a2-b2，据此判断即可.
3．（2021·东坡模拟）已知 ，则代数式 的值是（ ）
A．-30 B．20 C．-10 D．0
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
＝
当 时，
原式＝25-5
＝20.
故答案为：B.
【分析】首先根据已知条件得，然后把代数式运用完全平方式变形，最后整体代值计算即可.
4．（2021·玉田模拟）若 ，则 的值是（ ）
A．100 B．105 C．200 D．205
【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵ ，
∴k=1002-992+1=（100+99）×（100-99）+1=199+1=200．
故答案为：C．
【分析】利用平方差公式及有理数的混合运算计算即可。
5．（2021七下·濉溪期中）已知a2-b2+2a+4b-3=0，下列哪个选项可以确定（ ）
A．a的值 B．b的值
C．a的值和b的值 D．a-b的值或a+b的值
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：原式可变为
a2+2a+1-（b2-4b+4）=0
∴（a+1）2-（b-2）2=0
即|a+1|=|b-2|
∴a+1=b-2或a+1=2-b
∴a-b=-3或a+b=1
∴可以确定a-b和a+b的值
故答案为：D.
【分析】根据题意，由完全平方公式的性质，将式子变形，求出答案即可。
6．（2021七下·瑶海期中）若a2+ab=7+m，b2+ab=9-m，则a+b的值为（ ）
A．土4 B．4 C．土2 D 2
【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：根据题意可知，a2+ab+b2+ab=（a+b）2=16
∴a+b=±4
故答案为：A.
【分析】根据题意，由完全平方公式的性质，求出a+b的值即可。
7．（2021七下·鄞州期中）从图1到图2的变化过程可以发现的代数结论是（ ）
A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．a2+2ab+b2＝（a+b）2
【答案】A
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：由题意可知：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2.
故答案为：A.
【分析】抓住已知条件，结合图形变化，根据两图形的面积相等可得结论.
8．（2019七下·兰州月考）观察下列各式及其展开式：（ ）
……
你猜想 的展开式第三项的系数是（ ）
A．66 B．55 C．45 D．36
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：观察上面式子，总结规律可得 的展开式第三项系数为 ，所以 的展开式第三项的系数是
故答案为：C.
【分析】利用各个等式中第三项的系数，可得 的展开式第三项系数为 ，然后将n=10代入计算即可.
二、填空题
9．（2021七下·长兴期中）计算：(2+x)(2-x)=
【答案】4-x2
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：(2+x)(2-x)=4-x2.
故答案为：4-x2.
【分析】利用平方差公式进行计算，可求出结果.
10．（2021七下·海曙月考）已知a+b＝8，ab＝15，则a2+b2＝ ．
【答案】34
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵a+b＝8，ab＝15，
∴，
∴，
故答案为：34.
【分析】先将a+b两边同时平方，再用完全平方公式展开式子，接着代入ab的值即可求出答案.
11．（2020七下·衢州期中）阅读材料后解决问题：
小明遇到下面一个问题：计算(2+1)(2 +1)(24+1)(28+1)。
经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下：
(2+1)(2 +1)(24+1)(28+1)=(2-1)(2+1)(2 +1)(24+1)(28+1)=(2 -1)(2 +1)(24+1)(28+1)=(24-1)(24+1)(28+1)=(28-1)(28+1)=216-1
请你仿照小明解决问题的方法，尝试计算：(6+1)(6 +1)(64+1)(68+1)= 。
【答案】
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解： (6+1)(6 +1)(64+1)(68+1)=
故答案为：.
【分析】将原式乘以后，利用题干提供的方法，连续利用平方差公式即可算出答案.
12．（2021·河北）现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）．
（1）取甲、乙纸片各1块，其面积和为 ；
（2）嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，还需取丙纸片 块．
【答案】（1）
（2）4
【知识点】列式表示数量关系；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）∵甲、乙都是正方形纸片，其边长分别为
∴取甲、乙纸片各1块，其面积和为 ；
故答案为： ．
（2）要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，则它们的面积和为 ，若再加上 （刚好是4个丙），则 ，则刚好能组成边长为 的正方形，图形如下所示，所以应取丙纸片4块．
故答案为：4．
【分析】，掌握完全平方式是解题的关键。
三、计算题
13．（2021七下·海曙月考）计算
（1）|﹣3|﹣（ ﹣2）0+（ ）﹣2
（2）（2a+3）（3﹣2a）
【答案】（1）解：原式＝3﹣1+4＝6
（2）解：原式＝9﹣4a2
【知识点】实数的运算；平方差公式及应用
【解析】【分析】（1）运用绝对值、零指数幂、负整数指数幂进行计算即可得出答案；
（2）运用平方差公式即可得出答案.
四、综合题
14．（2021·从化模拟）已知：P＝3a（a+1）﹣（a+1）（a﹣1）
（1）化简P；
（2）若a为方程 x2+x﹣ ＝0的解，求P的值．
【答案】（1）解：P＝3a（a+1）﹣（a+1）（a﹣1）
=3a2+3a-a2+1
=2a2+3a+1；
（2）解： x2+x﹣ ＝0，
整理得：2x2+3x﹣5＝0，
∵a为方程 x2+x﹣ ＝0的解，
∴2a2+3a﹣5＝0，即：2a2+3a=5，
∴P=2a2+3a+1=5+1=6．
【知识点】单项式乘多项式；平方差公式及应用
【解析】【分析】（1）根据多项式乘单项式、平方差公式的性质，运算式子得到答案即可；
（2）将x=a代入方程，根据方程的值求出P的值即可。
15．（2021·重庆模拟）阅读理解：对于任意一个四位数，若千位数字与十位数字均为奇数，百位数字与个位数字均为偶数，则称这个四位数为“均衡数”.将一个“均衡数”的千位数字与十位数字组成一个新的两位数m，原来千位数字作为m的十位数字；将一个“均衡数”的百位数字与个位数字组成另一个新的两位数n，原来百位数字作为n的十位数字.例如：“均衡数”3812，则 .若 各个数位上的数字都不为零且十位数字大于个位数字，则将m中的任意一个数字作为一个新的两位数的十位数字，n中的任意一个数字作为这个新的两位数的个位数字，按这个方式产生的所有新的两位数的和记为 .例如： 时， .
（1）3456 （填“是”或“不是”）“均衡数”，最小的“均衡数”为 ；
（2）若 是一个完全平方数，请求出所有满足条件的“均衡数”.
【答案】（1）是；1212
（2）解：设m=ab，n=xy（a＞b，x＞y），
F（m，n）
=F（ab，xy）
=10a+x+10a+y+10b+x+10b+y
=2（10a+10b+x+y），
∵0＜a，b，x，y＜9，
∴0＜2（10a+10b+x+y）＜396，
∵2（10a+10b+x+y）是偶数，又是一个完全平方数，
∴满足条件的完全平方数有64，100，144，196，256，324，
当2（10a+10b+x+y）=64时，a=1，b=1，x=6，y=6满足题意，
当2（10a+10b+x+y）=100时，a=3，b=1，x=8，y=2满足题意，
当2（10a+10b+x+y）=144时，a=5，b=1，x=8，y=4满足题意，
当2（10a+10b+x+y）=196时，a=7，b=1，x=9，y=9不满足题意，
当2（10a+10b+x+y）=256时，a=7，b=5，x=6，y=2满足题意，
当2（10a+10b+x+y）=324时，没有解.
故所有满足条件的“均衡数”为1616，3812，5814，7622，7652.
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：（1）由“均衡数”的定义可得3456是“均衡数”，最小的“均衡数”为1212.
故答案为：是，1212；
【分析】（1）根据“均衡数”的定义可得3456是“均衡数”，进一步求得最小的“均衡数”；
（2）设m=ab，n=xy（a＞b，x＞y），可得F（m，n）=2（10a+10b+x+y），由于0＜2（10a+10b+x+y）＜396，2（10a+10b+x+y）是偶数，又是一个完全平方数，可得满足条件的完全平方数有64，100，144，196，256，324，依此进行分析即可求解.
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