五年级下册数学教案-6.6 圆的面积公式推导和简单运用苏教版
文档属性
| 名称 | 五年级下册数学教案-6.6 圆的面积公式推导和简单运用苏教版 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 36.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-07-20 11:50:43 | ||
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文档简介
圆的面积公式推导和简单运用
教学目标：
知识与技能目标：了解圆的面积的含义，掌握圆面积计算公式。
过程与方法目标：经历圆面积计算公式的推导过程，让学生在动手实践、自主探究的过程中，体会并积累“化曲为直”的方法和经验，初步感受极限思想。
情感与态度目标：体验数学问题的探索性和挑战性，在困难和挫折中树立探索真理的勇气和信心，在合作交流中共享成功的喜悦。
教学重点：
让学生经历圆面积计算公式的推导;
教学难点：
“化曲为直”的转化;
教学准备：
课件，半径5厘米的圆纸片，方格图等
教学过程：
课前谈话导入
师：同学们，离上课还有几分钟，咱们先来猜个谜语，怎么样?听好了。谜面是：草地上来了一群羊(打一水果)
生想了一会儿说：草莓。
师：你是怎么想的?
生：你想，羊是吃草的，羊来了，草不就没有了吗?所以是草莓。
师：再猜一个，怎么样?草地上有一群羊，突然来了一群狼。(打一水果)
生1：杨梅。
生2：杨桃。
师：为什么第一个谜语我们要仔细思考，而第二个谜语很快就猜到了呢?
生：因为第二个谜语与第一个很相似。
师：说得真好，有了解决一种问题的经验，就可以用这种经验解决类似的问题，生活中是这样，在我们数学探究中也是这样。
师：看来大家的精神状态很不错，那我们开始上课，好吗?
(一)情境引入 起疑导思
师：同学们去过公园吗?来，让我们一起去公园走走。(播放公园喷水头正在给草地浇水的场面)到了公园，你看到了什么?
生：我看到喷水头正在浇灌草地。
师：你能提出一两个数学问题吗?
生：喷水头浇灌了多大面积的草地?
[设计意图：爱因斯坦曾经说过：“提出一个问题比解决一个问题更重要。”在教学中，学生主动提出问题、探究问题的习惯和能力的培养，是一个值得关注的课题。从生活的情境出发，更有利于培养学生的问题意识。]
师：那这节课我们就来研究浇灌了多大面积的草地，好吗?
师：刚才有的同学看到喷水头旋转一周形成了一个圆形，求浇灌部分的面积，实际上就是求(圆的面积)。(板书课题)请大家想一想：什么叫做圆的面积呢?
生：比如说图中浇灌的草地占的位置的大小就是圆的面积。
师：你的意思是说把圆所占平面的大小叫做圆的的面积。说得真好!
师：继续看，你还能发现什么?
生：圆的面积越来越大。
师：这是为什么呢?
生：水喷得远了，也就是半径长了，当然面积也就大了。
师：看来圆的面积与它的半径是有关的。
(二)首次探究 自主估算 巧设玄机
师：圆的面积与它的半径到底有什么关系?用什么办法能找到它们之间的关系呢?我们在学习圆的周长和直径有什么关系时，用圆的周长除以直径得到圆周率。如果能找出圆的半径和它的面积，也许能找出它们之间的关系。
师：这儿有两个圆，一个半径是(1厘米)，另一个半径是(2厘米)。任选一个你能估出它的面积吗?(投影出示)
生1：半径1厘米的圆，面积大约是4平方厘米。
生2：我估计半径1厘米的圆，面积没有4平方厘米多。
师：你是怎么估的呢?
生：数方格数出来的。
师：看样子，方格还很有作用的。有估计半径2厘米圆的吗?
生3：我估计半径2厘米的圆，面积大约有12平方厘米。
师：刚才的一个同学认为方格很有作用。谁来说说这里每个方格的边长是(1厘米)，那每个方格的面积就是(1平方厘米)。再来估一下，你选择的圆面积大约是多少?你是怎么估的?
生4：我选择的是半径1厘米的圆，这个圆正好在4个方格中，每个方格1平方厘米，4个方格也就是4平方厘米，去掉四个角上的空隙，它的面积比4平方厘米小，大约3平方厘米。
师：这个同学的想法实际上是拿圆的面积与谁相比?
生：和圆外的正方形相比。
生5：圆的面积比2平方厘米大。
师：你又是怎么估的?
生5：我是把1/4圆看小了，看成0.5平方厘米，整个圆的面积就比2平方厘米大。
师：这样一来，半径1厘米的圆的面积就比4平方厘米小，而比2平方厘米大。(借助学生的回答和幻灯的演示，让学生初步了解圆的面积比圆外切正方形的面积小，比圆内接的正方形面积大。)
师：那半径为2厘米圆的面积，谁估出啦?
生：它的面积大约是16平方厘米。正方形的边长就是4厘米，面积是16平方厘米，减去四个角的4平方厘米，结果大约是12平方厘米。
生：我估计这个圆的面积大约是13平方厘米。
师：同学们，刚才我们借助方格和正方形很快估出了圆的面积。我们手中都有一个圆片，拿出来，你能估出它的面积是多少吗?
生：我估出圆片的面积大约是80平方厘米，我是把圆片映在方格指上看出来的。
生：我估出圆片的面积比100平方厘米小，因为圆片外面的正方形边长是10厘米，面积是10×10=100(平方厘米)。去掉四个角，面积大约是70平方厘米。
生：我估出圆片的面积比50平方厘米大。
师：我发现，刚才我们在估算圆的面积时，都有意无意的拿圆的面积与圆外的大正方形的面积比。(出示图)
师：如果一个圆的半径是r，你还能表达出它的大概面积吗?
生：先计算圆外正方形的面积是4r2，圆的面积小于4r2。
师：谁来说说这里r2指的是哪部分的面积呢?
生：小正方形的面积。
师：我们是不是也可这样理解，将1/4圆看大一些，就成了正方形，面积为r2，那么圆的面积就会小于4r2。如果将这里的扇形看小一些，就成了(三角形)，那圆的面积就会大于(2r2)。得出：2r2<圆的面积<4r2。
师：看样子，圆的面积还真与半径有关系。大胆的猜一猜，圆的面积最有可能是多少?
生：大约是r2的3倍。
生：我认为可能是r2的∏倍。
(三)再次探究 触发灵感 体会“极限”
师：现在如果知道圆的半径，你能求出圆的面积吗?
生：还不能，只能大致确定一下范围。
师：看来，我们还得继续探索下去。
师：还记得以前，我们研究一个图形的面积时，用到过哪些好的方法?
生：将新的图形转化成为已经学过的图形。
师：举个例子。
生：沿着平行四边形高剪，拼成学过的长方形。
生：还有三角形和梯形，我们把两个完全一样的三角形和梯形拼成学过的平行四边形。
师：(借助课件)这两种思路，都是将新图形转化成已学过的图形。
师：我们能不能从中受到启发，也来将圆转化成我们学过的图形?
师：这样吧，同桌为一个小组，先讨论一下怎么做，再合作试一试。好吗?开始!
(几分钟后)
师：同学们，很多小组已经有想法了。来，听听他们是怎么转化的吧!
评方案一：[将一个圆折成若干等份，每份象一个三角形，用一个三角形的面积乘份数就是圆的面积。]
评方案二：[③将圆片沿半径等分成4等份，拼成一个近似的平行四边形或长方形。]
师：我们把圆转化成学过的长方形，形状变了，什么没有变呢?
生：面积。
师：要想求出圆的面积，只要求出长方形的面积就可以了。长方形的面积怎么求?
生：长方形的面积=长×宽。
师：这里的长和宽又相当于圆的什么?
生：长相当于圆周长的一半，宽相当于圆的半径。
师：那么，圆的面积=圆周长的一半×圆的半径，也就是∏r×r=∏r2.
师：刚才我们把圆片通过折一折得到三角形，通过剪拼得到长方形。不管哪一种，我们都是将它们转化成我们学过的图形。并都推倒出圆的面积公式是：s=∏r2，真是条条大路同罗马呀!
(四)运用公式 巩固提高
师：怎样计算圆的面积?圆的面积是r2的pài倍，刚才哪位同学猜对了?掌声祝贺他!
师：现在利用这个公式，你能求出浇灌了多大的面积的草地吗?
生：能。
师：那就开始吧!
生：老师，还需要一个条件。
师：缺什么条件?
生：要求出浇灌草地的面积，还需要知道它的半径是多少?
师：告诉你吧，这个圆的半径是10米。现在能吗?请求出浇灌部分的面积。你是怎样计算的?
生：3.14×10×10=314(平方米)
师：也可以这样列：3.14×102，先算102=100，再算3.14×100，结果也是314平方米。
(五)归纳总结课后延伸
师：同学们，通过这节课的学习，你有什么收获?
生1：我会计算圆的面积了。
师：说说看怎样计算圆的面积?
生1： S=∏r2。
生2：我知道怎样把圆转化成已经学过的图形。
师：说得好!这是一种非常好的方法。在以后的学习中，如果遇到新问题，我们也可试着将它转化成已经学过的知识来解决，你说好不好!
教学反思：
在《圆的面积》这一课的教学中，我着重培养学生的主体意识，发展学生的能动性上下工夫。因此，在课堂教学中主要是多给学生学习的思考时间，让学生成为时间的主人。比如，在圆的面积的推导过程中，学生只知道平面图形面积的推导，但对于圆这样的曲线图形面积的推导，这是摆在学生面前的现实的问题。此时的学生可能一片茫然，也可能会有惊人的发现，所以在设计时我由学生已经知道的平面图形的面积公式的推导做引子，目的在于激发学生的思维，让学生利用知识的迁移自己想办法来解决这一问题，给了学生充分的思考时间。在推导公式的最后阶段，我也给了足够的时间让学生研究拼成的平行四边形形的边与圆中的线段的关系，这一点正是本节课的关键所在，让学生自己动手操作比教师的直接演示给学生留下的印象要深刻得多。这样才能发展学生的智力和创造力，才能把重心由“教”转到“学”的方面，从教学生“学会”，转移到教学生“会学”，才能使学生能获得独立自主地去探求和掌握新知识的本领，使学生始终处于自觉、积极的学习状态中。实现以教师为中心的被动接受式教学向以学生为主体的主动参与式教学的转变，以记忆为主的机械学习向深刻理解的意义学习的转变。
教学目标：
知识与技能目标：了解圆的面积的含义，掌握圆面积计算公式。
过程与方法目标：经历圆面积计算公式的推导过程，让学生在动手实践、自主探究的过程中，体会并积累“化曲为直”的方法和经验，初步感受极限思想。
情感与态度目标：体验数学问题的探索性和挑战性，在困难和挫折中树立探索真理的勇气和信心，在合作交流中共享成功的喜悦。
教学重点：
让学生经历圆面积计算公式的推导;
教学难点：
“化曲为直”的转化;
教学准备：
课件，半径5厘米的圆纸片，方格图等
教学过程：
课前谈话导入
师：同学们，离上课还有几分钟，咱们先来猜个谜语，怎么样?听好了。谜面是：草地上来了一群羊(打一水果)
生想了一会儿说：草莓。
师：你是怎么想的?
生：你想，羊是吃草的，羊来了，草不就没有了吗?所以是草莓。
师：再猜一个，怎么样?草地上有一群羊，突然来了一群狼。(打一水果)
生1：杨梅。
生2：杨桃。
师：为什么第一个谜语我们要仔细思考，而第二个谜语很快就猜到了呢?
生：因为第二个谜语与第一个很相似。
师：说得真好，有了解决一种问题的经验，就可以用这种经验解决类似的问题，生活中是这样，在我们数学探究中也是这样。
师：看来大家的精神状态很不错，那我们开始上课，好吗?
(一)情境引入 起疑导思
师：同学们去过公园吗?来，让我们一起去公园走走。(播放公园喷水头正在给草地浇水的场面)到了公园，你看到了什么?
生：我看到喷水头正在浇灌草地。
师：你能提出一两个数学问题吗?
生：喷水头浇灌了多大面积的草地?
[设计意图：爱因斯坦曾经说过：“提出一个问题比解决一个问题更重要。”在教学中，学生主动提出问题、探究问题的习惯和能力的培养，是一个值得关注的课题。从生活的情境出发，更有利于培养学生的问题意识。]
师：那这节课我们就来研究浇灌了多大面积的草地，好吗?
师：刚才有的同学看到喷水头旋转一周形成了一个圆形，求浇灌部分的面积，实际上就是求(圆的面积)。(板书课题)请大家想一想：什么叫做圆的面积呢?
生：比如说图中浇灌的草地占的位置的大小就是圆的面积。
师：你的意思是说把圆所占平面的大小叫做圆的的面积。说得真好!
师：继续看，你还能发现什么?
生：圆的面积越来越大。
师：这是为什么呢?
生：水喷得远了，也就是半径长了，当然面积也就大了。
师：看来圆的面积与它的半径是有关的。
(二)首次探究 自主估算 巧设玄机
师：圆的面积与它的半径到底有什么关系?用什么办法能找到它们之间的关系呢?我们在学习圆的周长和直径有什么关系时，用圆的周长除以直径得到圆周率。如果能找出圆的半径和它的面积，也许能找出它们之间的关系。
师：这儿有两个圆，一个半径是(1厘米)，另一个半径是(2厘米)。任选一个你能估出它的面积吗?(投影出示)
生1：半径1厘米的圆，面积大约是4平方厘米。
生2：我估计半径1厘米的圆，面积没有4平方厘米多。
师：你是怎么估的呢?
生：数方格数出来的。
师：看样子，方格还很有作用的。有估计半径2厘米圆的吗?
生3：我估计半径2厘米的圆，面积大约有12平方厘米。
师：刚才的一个同学认为方格很有作用。谁来说说这里每个方格的边长是(1厘米)，那每个方格的面积就是(1平方厘米)。再来估一下，你选择的圆面积大约是多少?你是怎么估的?
生4：我选择的是半径1厘米的圆，这个圆正好在4个方格中，每个方格1平方厘米，4个方格也就是4平方厘米，去掉四个角上的空隙，它的面积比4平方厘米小，大约3平方厘米。
师：这个同学的想法实际上是拿圆的面积与谁相比?
生：和圆外的正方形相比。
生5：圆的面积比2平方厘米大。
师：你又是怎么估的?
生5：我是把1/4圆看小了，看成0.5平方厘米，整个圆的面积就比2平方厘米大。
师：这样一来，半径1厘米的圆的面积就比4平方厘米小，而比2平方厘米大。(借助学生的回答和幻灯的演示，让学生初步了解圆的面积比圆外切正方形的面积小，比圆内接的正方形面积大。)
师：那半径为2厘米圆的面积，谁估出啦?
生：它的面积大约是16平方厘米。正方形的边长就是4厘米，面积是16平方厘米，减去四个角的4平方厘米，结果大约是12平方厘米。
生：我估计这个圆的面积大约是13平方厘米。
师：同学们，刚才我们借助方格和正方形很快估出了圆的面积。我们手中都有一个圆片，拿出来，你能估出它的面积是多少吗?
生：我估出圆片的面积大约是80平方厘米，我是把圆片映在方格指上看出来的。
生：我估出圆片的面积比100平方厘米小，因为圆片外面的正方形边长是10厘米，面积是10×10=100(平方厘米)。去掉四个角，面积大约是70平方厘米。
生：我估出圆片的面积比50平方厘米大。
师：我发现，刚才我们在估算圆的面积时，都有意无意的拿圆的面积与圆外的大正方形的面积比。(出示图)
师：如果一个圆的半径是r，你还能表达出它的大概面积吗?
生：先计算圆外正方形的面积是4r2，圆的面积小于4r2。
师：谁来说说这里r2指的是哪部分的面积呢?
生：小正方形的面积。
师：我们是不是也可这样理解，将1/4圆看大一些，就成了正方形，面积为r2，那么圆的面积就会小于4r2。如果将这里的扇形看小一些，就成了(三角形)，那圆的面积就会大于(2r2)。得出：2r2<圆的面积<4r2。
师：看样子，圆的面积还真与半径有关系。大胆的猜一猜，圆的面积最有可能是多少?
生：大约是r2的3倍。
生：我认为可能是r2的∏倍。
(三)再次探究 触发灵感 体会“极限”
师：现在如果知道圆的半径，你能求出圆的面积吗?
生：还不能，只能大致确定一下范围。
师：看来，我们还得继续探索下去。
师：还记得以前，我们研究一个图形的面积时，用到过哪些好的方法?
生：将新的图形转化成为已经学过的图形。
师：举个例子。
生：沿着平行四边形高剪，拼成学过的长方形。
生：还有三角形和梯形，我们把两个完全一样的三角形和梯形拼成学过的平行四边形。
师：(借助课件)这两种思路，都是将新图形转化成已学过的图形。
师：我们能不能从中受到启发，也来将圆转化成我们学过的图形?
师：这样吧，同桌为一个小组，先讨论一下怎么做，再合作试一试。好吗?开始!
(几分钟后)
师：同学们，很多小组已经有想法了。来，听听他们是怎么转化的吧!
评方案一：[将一个圆折成若干等份，每份象一个三角形，用一个三角形的面积乘份数就是圆的面积。]
评方案二：[③将圆片沿半径等分成4等份，拼成一个近似的平行四边形或长方形。]
师：我们把圆转化成学过的长方形，形状变了，什么没有变呢?
生：面积。
师：要想求出圆的面积，只要求出长方形的面积就可以了。长方形的面积怎么求?
生：长方形的面积=长×宽。
师：这里的长和宽又相当于圆的什么?
生：长相当于圆周长的一半，宽相当于圆的半径。
师：那么，圆的面积=圆周长的一半×圆的半径，也就是∏r×r=∏r2.
师：刚才我们把圆片通过折一折得到三角形，通过剪拼得到长方形。不管哪一种，我们都是将它们转化成我们学过的图形。并都推倒出圆的面积公式是：s=∏r2，真是条条大路同罗马呀!
(四)运用公式 巩固提高
师：怎样计算圆的面积?圆的面积是r2的pài倍，刚才哪位同学猜对了?掌声祝贺他!
师：现在利用这个公式，你能求出浇灌了多大的面积的草地吗?
生：能。
师：那就开始吧!
生：老师，还需要一个条件。
师：缺什么条件?
生：要求出浇灌草地的面积，还需要知道它的半径是多少?
师：告诉你吧，这个圆的半径是10米。现在能吗?请求出浇灌部分的面积。你是怎样计算的?
生：3.14×10×10=314(平方米)
师：也可以这样列：3.14×102，先算102=100，再算3.14×100，结果也是314平方米。
(五)归纳总结课后延伸
师：同学们，通过这节课的学习，你有什么收获?
生1：我会计算圆的面积了。
师：说说看怎样计算圆的面积?
生1： S=∏r2。
生2：我知道怎样把圆转化成已经学过的图形。
师：说得好!这是一种非常好的方法。在以后的学习中，如果遇到新问题，我们也可试着将它转化成已经学过的知识来解决，你说好不好!
教学反思：
在《圆的面积》这一课的教学中，我着重培养学生的主体意识，发展学生的能动性上下工夫。因此，在课堂教学中主要是多给学生学习的思考时间，让学生成为时间的主人。比如，在圆的面积的推导过程中，学生只知道平面图形面积的推导，但对于圆这样的曲线图形面积的推导，这是摆在学生面前的现实的问题。此时的学生可能一片茫然，也可能会有惊人的发现，所以在设计时我由学生已经知道的平面图形的面积公式的推导做引子，目的在于激发学生的思维，让学生利用知识的迁移自己想办法来解决这一问题，给了学生充分的思考时间。在推导公式的最后阶段，我也给了足够的时间让学生研究拼成的平行四边形形的边与圆中的线段的关系，这一点正是本节课的关键所在，让学生自己动手操作比教师的直接演示给学生留下的印象要深刻得多。这样才能发展学生的智力和创造力，才能把重心由“教”转到“学”的方面，从教学生“学会”，转移到教学生“会学”，才能使学生能获得独立自主地去探求和掌握新知识的本领，使学生始终处于自觉、积极的学习状态中。实现以教师为中心的被动接受式教学向以学生为主体的主动参与式教学的转变，以记忆为主的机械学习向深刻理解的意义学习的转变。