2020-2021学年人教版数学九年级上册22.2.1二次函数的图象与性质课件（第1课时）（共21张ppt）

二次函数的定义：
函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)
叫做x的二次函数
思考：你认为判断二次函数的关键是什么？
判断一个函数是否是二次函数的关键是：看二次项的系数是否为0．
练习：
若函数y=(m2+3m-4)x2+(m+2)x+3m是x的二次函数，则m______
探究１：二次函数的图象
1：画出 y= x2 的图象。
解： （1）列表
9
3
y
x
…
4
1
0
1
4
9
…
…
2
1
0
-1
-2
-3
…
以0为中
心选取7个x
值列表
（2）描点
（3）连线
9
3
y
x
…
4
1
0
1
4
9
…
…
2
1
0
-1
-2
-3
…
X
0
10
8
6
4
2
-5
5
Y
轴对称图形
这是一条抛物线
这是抛物线的顶点
对称轴是y轴
2：请同学们画出 y=-x2 的图象。
-9
3
y
x
…
-4
-1
0
-1
-4
-9
…
…
2
1
0
-1
-2
-3
…
3. 探究２:观察y=x2,y=-x2的图象,它们整体上给你
一种什么感觉?
答:这两个图象都是以y轴为对称轴的轴对称图形。
两个图象关于x轴对称。
定义:函数y=x2,y=-x2的图象是一条关于y轴对称的曲线,这条曲线叫做抛物线.
y轴是对称轴,对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点.
8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
5
y
o
x
探究３,观察y=x2,y=-x2的图象,说出它们的开口方向和顶点坐标及其规律.
1. 抛物线y=x2的图象开口向上,
抛物线y=-x2的图象开口向下.
2. 图象的顶点都在原点.
y=x2的顶点是图象的最低点,
y=-x2的顶点是图象的最高点.
8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
5
y
o
X
结论：二次函数 y=ax2 的图象与性质
1. 顶点都在原点;
当a>0时，开口向上；
当a<0时，开口向下．
3.还可以发现，｜a｜越大，则开口越小；
　　　　　　 ｜a｜越小，则开口越大
探究4、观察图形，Y随X的变化如何变化？
y=-2x2
x
8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
5
y
o
y=2x2
当a＞0时，
对称轴的左侧:y随x的增大而减小；
对称轴的右侧:y随x的增大而增大。
当a＜0时，
对称轴的左侧:y随x的 增大而增大；
对称轴的右侧:y随x的增大而减小。
6请同学们把所学的二次函数图象的知识归纳小结。
y
y
x
x
a＜0
a＞0
右侧
左侧
图象
开口
对称轴
顶点
y=ax2
(0,0)最低点
(0,0)
最高点
y轴
y轴
向上
向下
增大 增大
减小 增大
增大 减小
6
2
10
增大 增大
(2)、开口方向：
当a大于0时，开口向上；
当a小 于0时，开口向下。
二次函数y=ax2的图象的性质
(1)、顶点是原点，对称轴是y轴。
a>0
a即:直线:x=0,
(3)、增减性
a＞0
a<0
y随x的增大而增大。
在对称轴的左侧(x<0):
y随x的增大而减小；
在对称轴的右侧(x>0):
当a<0时
当a＞0时，
在对称轴的左侧(x<0):
y随x的增大而增大。
在对称轴的右侧(x>0):
y随x的增大而减小。
∴ 当 x=0 时, y最小值=o.
∴ 当 x=0 时, y最大值=o.
试一试：
1、函数y=2x2的图象的开口 ，对称轴是 ，顶点是 ；在对称轴的左
侧，y随x的增大而 ，在对称轴的右侧，
y随x的增大而 ；
2、函数y=-3x2的图象的开口 ，对称轴是 ，顶点是 ；在对称轴的左
侧，y随x的增大而 ，在对称轴的右侧，
y随x的增大而 ；
3、观察函数y=x2的图象，则下列判断中正确的是 （ ）
A 若a,b互为相反数，则x=a与x=b的函数值相等。
B 对于同一个自变量x，有两个函数值与它对应。
C 对任一个实数y，有两个x和它对应。
D 对任意实数x，都有y＞0
x
y
o
A
例1、已知y =(m+1)x 是二次函数且其
图象开口向下
（1）求m的值和函数解析式。
（2）x在何范围内，y随x的增大而增大?
y随x的增大而减小?
x
y
o
练习一
2、已知函数
是二次函数，且开口向上。
求m的值及二次函数的解析式，并回答y随x的变化规律
1、已知y=（k+2）x 是二次函数，
且当x>0时，y随X增大而增大，则k= ；
k2+k-4
例2、函数y=ax2(a≠0)与直线y=2x-3交于点(1,b).求：
(1)a与b的值；
(2)求抛物线y=ax2的解析式，并求顶点坐标和对称轴；
(3)x取何值时，二次函数y=ax2的 y随x增大而增大？
(4)求抛物线与直线y=-2的两交点与顶点构成的三角形
的面积。
O
A
B
x
y
y=-2
先代入直线，得到交点再代入二次函数
例3、求抛物线y=4x2与直线y=3x+1的
交点坐标
y
x
O
求抛物线与直线的交点坐标的方法：
两解析式联列方程组
y=4x2
y=3x+1
回顾练习及提高：
　　1、二次函数　　　　的顶点坐标是　　，对称轴是　　，
图像在　轴的　　　（顶点除外），开口方向向　　，当　　
　　　时，　随着　的增大而减小，当　　　　时，　随着　
的增大而增大。
　2、抛物线　　　　，当　　　　　时，　随着　的增大而
减小，当　　　　　时，函数　有最　值，此时　＝　。
　　3、根据二次函数　　　　的图像的性质，回答下列问题：
（1）如果点P　　　在抛物线　　　上，那么点Q　　　也在
这条抛物线上吗？为什么？
（2）当　　　时，设自变量　，　的对应值分别为　，　，
当　　　　　时，必有　　　吗？为什么？
小结：
（1） 顶点都在原点;对称轴是y轴
（２）当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下．
（３）当a＞0时，
在对称轴的左侧:y随x的增大而减小；
在对称轴的右侧:y随x的增大而增大。
　　　当a<0时，
在对称轴的左侧:y随x的 增大而增大；
在对称轴的右侧:y随x的增大而减小。
２．二次函数y=ax2的图象性质与特点：
１．函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)叫做x的二次函数．