2020-2021学年人教版数学九年级上册22.2二次函数与一元二次方程课件（23张ppt）

22.2 二次函数与一元二次方程
（第1课时）
二次函数与一元二次方程的联系再次展示了函数与方
程的联系，一方面可以深化对一元二次方程的认识，
另一方面又可以运用二次函数解决一元二次方程的有
关问题．
课件说明
课件说明
学习目标：
了解二次函数与一元二次方程的联系.
学习重点：
二次函数与一元二次方程的联系
二次函数的一般式：
（a≠0）
______是自变量，____是____的函数。
x
y
x
当 y = 0 时，
ax? + bx + c = 0
复习引入
ax? + bx + c = 0
这是什么方程？
我们学习了的“一元二次方程”
一元二次方程与二次函数有什么关系？
问题: 如图以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系
h = 20t－5t 2
考虑以下问题：
（1）球的飞行高度能否达到15m？如能，需要多少飞行时间？
（2）球的飞行高度能否达到20m？如能，需要多少飞行时间？
（3）球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？
（4）球从飞出到落地需要用多少时间？
所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关于t的一元二次方
程，如果方程有合乎实际的解，则说明球的飞行高度可以达到问题中h
的值；否则，说明球的飞行高度不能达到问题中h的值．
分析：由于球的飞行高度h与飞行时间t的关系是二次函数
h=20t－5t 2
t1=1s
t2=3s
15 m
15m
20 t – 5 t 2 = 15
t 2 － 4 t ＋3 = 0
t 1 = 1，t 2 = 3
1s
3s
解：（1）当 h = 15 时，
当球飞行 1s 和 3s 时，它的高度为 15m
（2）当 h = 20 时，
20 t – 5 t 2 = 20
t 2 － 4 t ＋4 = 0
t 1 = t 2 = 2
当球飞行 2s 时，它的高度为 20m .
2s
20 m
（3）当 h = 20.5 时，
20 t – 5 t 2 = 20.5
t 2 － 4 t ＋4.1 = 0
因为(－4)2－4×4.1 < 0 ，所以方程无实根。
球的飞行高度达不到 20.5 m.
20.5 m
（4）当 h = 0 时，
20 t – 5 t 2 = 0
t 2 － 4 t = 0
t 1 = 0，t 2 = 4
当球飞行 0s 和 4s 时，它的高度为 0m ，即 0s时，球从地面飞出，4s 时球落回地面。
0s
4s
0 m
从上面可以看出，二次函数与一元二次方程关系密切．
一般地，我们可以利用二次函数y=ax2+bx+c 深入讨论一元二次方程ax2+bx+c=0
例如，已知二次函数y = －x2＋4x的值为3，求自变量x的值，
可以解一元二次方程－x2＋4x=3（即x2－4x+3=0）．
反过来，解方程x2－4x+3=0 又可
以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自变量x的值．
从上面发现，二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程?
一般地，当y取定值时，二次函数为一元二次方程。
如：y=5时，则5=ax2+bx+c就是一个一元二次方程。
为一个常数
（定值）
探究思考2
1、二次函数y = x2+x-2 , y = x2 - 6x +9 , y = x2 – x+ 1的图象如图所示。
(1).每个图象与x轴有几个交点？
(2).一元二次方程: x2+x-2=0 , x2 - 6x +9=0有几个根?
验证一下一元二次方程x2 – x+ 1 =0有根吗?
(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与
一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
答：2个，1个，0个
(3)二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与 一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
二次函数
与x轴交点坐标
相应方程的根
(-2,0),(1,0)
x1=-2,x2=1
(3,0)
x1=x2=3
无交点
无实根
抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标是方程ax2+bx+c =0的根。
反之，方程ax2+bx+c =0的根是抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标。
有两个根
有一个根（两个相同的根）
没有根
有两个交点
有一个交点
没有交点
b2 – 4ac > 0
b2 – 4ac = 0
b2 – 4ac < 0
ax2+bx+c = 0 的根的情况
y=ax2+bx+c 的图象
与x轴交点情况
若抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴有交点，则________________ 。
b2 – 4ac ≥ 0
△＞0
△=0
△＜0
o
x
y
△ = b2 – 4ac
归纳小结
二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点的三种情况与一元二次方程根的关系：
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点
一元二次方程ax2+bx+c= 0的根
一元二次方程ax2+bx+c= 0根的判别式Δ=b2-4ac
有两个交点
有两个不相等的实数根
只有一个交点
有两个相等的实数根
没有交点
没有实数根
b2 – 4ac > 0
b2 – 4ac = 0
b2 – 4ac < 0
随堂练习
1.不与x轴相交的抛物线是（ ）
A. y = 2x2 – 3 B. y=－2 x2 + 3
C. y= －x2 – 3x D. y=－2(x+1)2 －3
2.若抛物线 y = ax2+bx+c= 0，当 a>0，c<0时，图象与x轴交点情况是（ ）
A. 无交点 B. 只有一个交点
C. 有两个交点 D. 不能确定
D
C
3. 如果关于x的一元二次方程 x2－2x+m=0有两个相等的实数根，则m=＿＿＿，此时抛物线 y=x2－2x+m与x轴有＿＿个交点.
4.已知抛物线 y=x2 – 8x + c的顶点在 x轴上，则 c =＿＿.
1
1
16
5.若抛物线 y=x2 + bx+ c 的顶点在第一象限,则方程 x2 + bx+ c =0 的根的情况是＿＿＿＿＿.
b2－4ac < 0 无实数根
6.抛物线 y=2x2－3x－5 与y轴交于点＿＿＿＿，与x轴交于点　　　　　　　　　　　　.
(0，－5)
(2.5，0) (－1，0)
7.已知抛物线y = ax2+bx+c的图象如图,则关于x的方程ax2 + bx + c－3 = 0根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个异号绝对值相等的实数根
C. 有两个相等的实数根
D. 没有实数根
x
A
o
y
x=－1
3
-1
1.3
.
交
点
b2-4ac>0
b2-4ac<0
b2-4ac=0
两个交点
没有交点
一个交点
二次函数与x轴的交点
当二次函数y=ax2+bx+c中y的值确定，求x的值时，二次函数就变为一元二次方程。即当y取定值时，二次函数就为一元二次方程。
二次函数与一元二次方程的关系
二次函数与x轴的交点的横坐标是一元二次方程的解
　　教科书习题 22.2 第 1,2,3 题．
6．布置作业