2020-2021学年人教版数学九年级上册22.2二次函数与一元二次方程新课课件 (20张ppt)

22.2 二次函数与一元二次方程

学习目标
问题: 如图以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系
h = 20t－5t 2
考虑以下问题：
（1）球的飞行高度能否达到15m？如能，需要多少飞行时间？
（2）球的飞行高度能否达到20m？如能，需要多少飞行时间？
（3）球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？
（4）球从飞出到落地需要用多少时间？
所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关于t的一元二次方
程，如果方程有合乎实际的解，则说明球的飞行高度可以达到问题中h
的值；否则，说明球的飞行高度不能达到问题中h的值．
解：（1）解方程
15＝20t－5t 2
t 2－4t＋3=0
t1=1，t2=3
当球飞行1s和3s时，它的高度为15m．
分析：由于球的飞行高度h与飞行时间t的关系是二次函数
h=20t－5t 2
t1=1s
t2=3s
15m
15m
（2）解方程
20＝20t－5t 2
t 2－4t＋4=0
t1=t2=2
当球飞行2s时，它的高度为20m．
t1=2s
20m
（3）解方程
20.5＝20t－5t 2
t 2－4t＋4.1=0
因为（－4）2－4×4.1＜0，所以方程无解．
球的飞行高度达不到20.5m．
20m
（4）解方程
0＝20t－5t2
t2－4t=0
t1=0,t2=4
当球飞行0s和4s时，它的高度为0m，即0s时球从地面发出，4s时球落回地面．
0ｓ
４ｓ
从上面可以看出，二次函数与一元二次方程关系密切．
一般地，我们可以利用二次函数y=ax2+bx+c 深入讨论一元二次方程ax2+bx+c=0
例如，已知二次函数y = －x2＋4x的值为3，求自变量x的值，
可以解一元二次方程－x2＋4x=3（即x2－4x+3=0）．
反过来，解方程x2－4x+3=0 又可
以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自变量x的值．
下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？
（1）y = x2＋x－2
（2）y = x2－6x＋9
（3）y = x2－x＋1
（1）抛物线y = x2＋x－2与x轴有两个公共点，它们的横坐标是－2，1.当x取公共点的横坐标时，函数的值是0.由此得出方程x2＋x－2＝0的根是－2，1.
（2）抛物线y = x2－6x＋9与x轴有一个公共点，这点的横坐标是3. 当x = 3 时，函数的值是0．由此得出方程 x2－6x＋9＝0有两个相等的实数根3.
（3）抛物线y = x2－x＋1与x轴没有公共点，由此可知，方程x2－x＋1＝0没有实数根．
1
y = x2－6x＋9
y = x2－x＋1
y = x2＋x－2
（2）二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共
点，有两个公共点，这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，
有两个相等的实数根，有两个不等的实数根．
一般地，从二次函数y=ax2+bx+c 的图象可知
（1）如果抛物线y=ax2+bx+c 与x轴有公共点，公共点的横坐标是
x0，那么当x =x0时，函数的值是0，因此x = x0 就是方程
ax2+bx+c=0 的一个根．
由上面的结论，我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根．由于作图或观察可能存在误差，由图象将得的根，一般是近似的．
例 利用函数图象求方程x2－2x－2=0 的实数根．
解：作y = x2－2x－2的图象，它与x轴的公共点的横坐标大约 　　
是－0.7，2.7.
所以方程x2－2x－2＝0的实数根为
x1≈－0.7，x2≈2.7
　－2
2
2
4
6
4
－4
8
－2
－4
y = x2－2x－2
( 2.7, 0 )
(－0.7, 0 )
1. 汽车刹车后的距离S（单位：m）与行驶时间t（单位为：s）的函数关系式S=15t－6t2，汽车刹车后停下来行驶5米，求汽车刹车后停下来的时间是多少？
解：由函数关系可得：
5 =15t－6t2
解方程得
x1≈0.98
x2≈28.75（不符合实际舍去）
所以汽车刹车后停下来的时间为0.98s．
2. 一个滑雪者从85m长的山坡滑下，滑行的距离为S（单位：m）与滑行的时间t（单位：s）的函数关系式是S=1.8t+0.064t2，他通过这段山坡需要多长时间？
解：由函数关系可得：
85 =1.8t+0.064t2
解方程得
t1=25
t2 = －53.125（不符合实际舍去）
他通过这段山坡需要25秒的时间
小结
2.抛物线y=2x2-3x-5 与x轴有无交点？若无说出理由,若有求出交点坐标？
1.一元二次方程 3 x2+x-10=0的两个根是x1= -2 ,x2=5/3, 那么二次函数y= 3 x2+x-10与x轴的交点坐标是＿＿＿＿＿.
归纳：一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1,x2 ,则抛物线 y=ax2+bx+c与x轴的交点坐标是(x1,0),(x2,0)
(2.5,0)， (-1,0)
(-2,0) (5/3,0)
有
解:
思路: (1)先作出图象;
(2)写出交点的坐标;
(3)得出方程的解.
例题讲解
随堂练习
1.不与x轴相交的抛物线是（ ）
A. y = 2x2 – 3 B. y=－2 x2 + 3
C. y= －x2 – 3x D. y=－2(x+1)2 －3
2.若抛物线 y = ax2+bx+c= 0，当 a>0，c<0时，图象与x轴交点情况是（ ）
A. 无交点 B. 只有一个交点
C. 有两个交点 D. 不能确定
D
C
3. 如果关于x的一元二次方程 x2－2x+m=0有两个相等的实数根，则m=＿＿＿，此时抛物线 y=x2－2x+m与x轴有＿＿个交点.
4.已知抛物线 y=x2 – 8x + c的顶点在 x轴上，则 c =＿＿.
1
1
16
5.若抛物线 y=x2 + bx+ c 的顶点在第一象限,则方程 x2 + bx+ c =0 的根的情况是＿＿＿＿＿.
b2－4ac < 0 无实数根
6.抛物线 y=2x2－3x－5 与y轴交于点＿＿＿＿，与x轴交于点　　　　　　　　　　　　.
(0，－5)
(2.5，0) (－1，0)
7.已知抛物线y = ax2+bx+c的图象如图,则关于x的方程ax2 + bx + c－3 = 0根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个异号绝对值相等的实数根
C. 有两个相等的实数根
D. 没有实数根
x
A
o
y
x=－1
3
-1
1.3
.