浙江省名校新高考研究联盟2012届高三第二次联考试题数学文

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浙江省名校新高考研究联盟2012届第二次联考
数学(文科)试题卷
注意事项：
1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答．答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、考号、姓名;
2．本试题卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．
参考公式：
如果事件A，B互斥，那么．
如果事件A，B相互独立，那么．
如果事件A在一次试验中发生的概率是，那么次独立重复试验中事件恰好发生次
的概率 ．
球的表面积公式，其中R表示球的半径．
球的体积公式，其中R表示球的半径．
柱体的体积公式，其中表示柱体的底面积，表示柱体的高．
锥体的体积公式，其中表示锥体的底面积，表示锥体的高．
台体的体积公式，其中分别表示台体的上、下底面积，表示台体的高．
第I卷(选择题 共50分)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设全集R，集合，，则 ( )
A． B． C． D．
2．已知复数满足,为虚数单位，则= ( )
A． B． C． D．
3．已知为实数,则“”是“且”的 ( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知直线平面，直线平面，下列命题中正确的是 ( )
A．若则 B．若则
C．若则 D．若则
5．在中，角的对边分别为，若，则角的值为
A． B． ( )
C．或 D．或
6．如右图是一个空间几何体的三视图，这个几何体的体积是
A．　　　　　 B． ( )
C． D．
7．已知，且，则的最大值为
A． B． ( )
C．4 D．
8．则与的夹角为
( )
A． B． C． D．
9．设圆的圆心与双曲线的右焦点重合，且该圆与此双曲线的渐近线相切，若直线被圆截得的弦长等于，则的值为 ( )
A． B． C．2 D．3
10．已知函数为自然对数的底)在区间上是减函数，则的最小值是 ( )
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分
11．某大学对1000名学生的自主招生水平测试成绩进行统计，得到样本频率分布直方图(如图)，则这1000名学生在该次自主招生水平测试中不低于分的学生数是 ▲ ．
12．椭圆的离心率为 ▲ ．
13．已知函数，若，则的所有可能值为 ▲ ．
14．在一个袋子中装有分别标注的个小球，这些小球除标注的数字外完全相同，现从中随机取出个小球，则取出小球标注的数字之差的绝对值为或的概率是 ▲ ．
15．执行如右图的程序框图，那么输出的值是 ▲ ．
16．若函数是奇函数，
则 ▲ ．
17．在数列中，，,
则数列的通项 ▲ ．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18．已知函数(R,)的图象如右图，P是图象的最高点，Q是图象的最低点．且．
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）将函数图象向右平移1个单位后得到函数的图象，当时，求函数的最大值．
19．设是公差不为零的等差数列，为其前项和，满足：且成等比数列.
（I）求数列的通项公式；
（II）设数列满足：，，为数列的前项和,问是否存在正整数,使得成立？若存在，求出;若不存在，请说明理由.
20．三棱锥中, 是的中点,
（I）求证：；
（II）若，且二面角为,求与面所成角的正弦值。
21．已知函数．
（I）判断函数在上的单调性（为自然对数的底）；
（II）记为的导函数，若函数在区间上存在极值，求实数的取值范围。
22．设直线与抛物线交于不同两点、，点为抛物线准线上的一点。
（I）若，且三角形的面积为4,求抛物线的方程；
（II）当为正三角形时，求出点的坐标。
浙江省名校新高考研究联盟2012届第二次联考
数学（文科）试题 参考答案
一、选择题：1：B 2 ：A 3：B 4：D 5：C 6：D 7：C 8：D 9： A 10：B
二、填空题:
(11) 600 (12) (13) 1或(答对一个给2分)
(14) (15) (16) (17)
三、解答题： 18： 解：（Ⅰ）过点P作x 轴的垂线PM，过点Q作y 轴的垂线QM，
两直线交于点M.
则由已知得由勾股定理得
…………3分
∴的解析式为…………5分
（Ⅱ）， …………7分
．…………11分
当时，， ∴ 当，即时．…14分
（19） 解：（I）设数列的公差为，且 且成等比数列.
，即
解得……3分 ∴……6分
（II）由题知：，
∴ u…………10分
若，则，即
令,知单调递增， 当时，
当时，，
故不存在正整数,使得成立。U …………14分
(20) 解：（I）如图取的中点，连，
∵为中点，为中点，∴.
∴.
∵ ∴
又，
∴ …………4分
∵，∴ …………6分
（II）由（I）知,
。
…………8分
,
为等腰直角三角形，，
…………10分
又由(1)知
就是与面所成角 ， …………12分
在中，， .
即直线与面所成角的正弦值为 …………14分
(21) 解：（I） …………1分
若,当时，函数在上单调递减，
当时，函数在上单调递增，…………5分
若,则,函数在上单调递减. …………7分
（II） ， ， …………8分
方法一：函数在区间上存在极值
等价为关于方程在上有变号实根
……11分 在上单调递减，在上单调递增。
…………14分
当时，，不存在极值 ……15分
方法二： 等价为关于方程在上有变号实根。
关于方程在上有两个不相等实数根；
…………10分
⑵关于方程在上有一个实数根；
…………12分
时，的解为
符合题意 …………13分
当时，的解为
均不符合题意 (舍)………14分 综上所述，．………15分
(22) 解：（I）直线过焦点
时，不妨设，则,
又点到直线的距离
所以=4
抛物线的方程为 …
…4分
（II）设
由得则
从而
线段AB的中点为 …………6分
由得,即，解得
从而
……10分
由得到= ， …………13分
解 …………14分
此时，点 …………15分
第（6）题图
O
40
50
60
70
80
90
100
分数
0.005
0.010
0.015
0.020
0.025
0.030
0.035
频率
组距
第（11）题图
输出
开始
否
是
结束
第（15）题图
（第18题）
第（20）题图
（第18题）
M