2020-2021学年人教版数学九年级上册二次函数的图象与性质（共25张ppt）

【课例分析】
探究二次函数的图象与性质
一、教学背景
学习内容
学生情况
教学方式
前期教学
技术支持
二、教学目标
知识技能
巩固用描点法绘制函数图象的方法；
了解二次函数图象的形状和基本特征；
数学思考
通过提出问题，由浅入深地体会函数“数形结合”的特征；
在针对问题构造函数的过程中，进一步探索和体会函数图象与解析式中各系数的关系，加深理解和思考。
解决问题
通过观察函数图象的变化，初步确定图象的形状和位置与二次函数解析式的联系，并从中总结规律；
通过对函数解析式进行分析、转化，进一步明确函数图象特征与解析式的关系，并精确计算出顶点坐标与对称轴方程。
情感态度
在“提出问题——设计方案——得出结论”的过程中，让学生把握学习的主动，提高学习兴趣和研究能力。
在解决问题的过程中，让学生体验成功，增强信心和动力。
三、教学设计说明
本课的教学以学生“提出问题——设计方案——得出结论”为思路，以教师的引导进行穿针引线，体现了“学生主体，教师主导”的理念。
学习的重点
学习的难点
四、教学过程
教学环节
学生行为
教师行为
1. 提出问题：对于二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)，你想从哪些方面了解它的图象？
针对二次函数的图象，提出自己感兴趣的问题。
对学生提出的问题进行整理归类，确定出本课要研究的几个主要问题及研究的顺序。
2. 设计方案：你用什么方法来寻找这个问题的答案？
针对本课主要问题，提出自己的研究办法，并通过构造函数、观察图象等方法进行反复尝试，寻求问题的结论。
展示学生不同阶段的思路和方法，引导学生不断调整思路、改进方法。鼓励学生归纳、总结出阶段性的结论和规律。
3. 得出结论
整理结论。
整合，归纳。
五、对教学过程的预设
依据1：在使用相同的方式研究一次函数的图象与性质时，学生在掌握了正比例函数相关性质的基础上，提出了以下问题：
（1）一次函数的图象是什么形状？
（2）一次函数y=kx+b(k≠0)中，k、b的取值对图象有什么影响？
（3）一次函数y=kx+b(k≠0)和正比例函数y=kx(k≠0)的图象有什么关系？
（4）一次函数y=kx+b(k≠0)和y=-kx+b(k≠0)的图象有什么关系？……
五、对教学过程的预设
依据2：在研究一次函数的图象与性质时，学生能够举出目的较明确、针对性较强的例子，并能通过观察中得出结论。
依据3：少数学生能够用解析的方法分析出一次函数的图象特征，从数的角度解决前面提出的问题。
【预设】
探究二次函数的图象与性质
对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，你想从哪些方面了解它的图象？
将学生提出的问题进行整理，明确本课的主要问题：
二次函数的图象是什么形状？
a、b、c对图象的形状和位置有什么影响？
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与二次函数y= ax2 (a≠0)的图象有什么关系？
二次函数的图象与坐标轴的交点情况如何？
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有什么关系？
……
问题1：二次函数的图象是什么形状？
你打算用什么方法来寻找这个问题的答案？
例1：
画出函数y=x2，y= -x2的图象。
自己再写几个二次函数，画出它们的图象。
观察，这几个二次函数的图象有什么共同特征？
课上可让学生自行构造几个二次函数，画出图象，此例题备用。
问题1：二次函数的图象是什么形状？
结论：
二次函数的图象是轴对称图形；
是一条抛物线。
问题2：a、b、c对图象的形状和位置有什么影响？
你打算用什么方法来寻找这个问题的答案？
你能否设计一组函数来寻找结论？
方法1：指定a、b、c的值，观察函数图象。
方法2：锁定对象找规律
（1）a的取值对图象的影响>>>
（2）b的取值对图象的影响>>>
（3）c的取值对图象的影响>>>
方法3：固定a、b、c中的两个数，连续变化第三个数，观察图象的变化情况。
归纳结论>>>
例2：
在同一坐标系中画下列函数的图象：
y=2x2, y=-2x2, y=0.5x2,y=-0.5x2
结论：
a>0开口向上，图象有最低点，函数有最小值；a<0开口向下，图象有最高点，函数有最大值。
*|a|越大，开口程度越小。
课上可先让学生自行构造研究，此例题备用。
例3：
在同一坐标系中画下列函数的图象：
(1)y=x2+x, y=x2+2x, y=x2-3x
(2)y=-x2+x, y=-x2+2x, y=-x2-3x
结论：
b的取值不改变开口方向和开口程度；
b对顶点的位置有影响。（?）
课上可先让学生自行构造研究，此例题备用。
例4：
在同一坐标系中画下列函数的图象：
(1)y=2x2+1, y=2x2-2, y=-2x2+1
(2)y=-x2+x+1, y=-x2+x+3, y=-x2+x-2
(3)y=-2x2+x+1, y=-x2+2x-3, y=2x2-3x+2
结论：
c不改变开口方向和开口程度；
c不改变对称轴的位置，但会改变顶点的位置(?)
c增大时图象向上平移，c减小时图象向下平移（对最值有影响）；
图象与y轴交于点(0,c)。(论证？)
课上可先让学生自行构造研究，此例题备用。
问题2：a、b、c对图象的形状和位置有什么影响？
总结：
a的取值影响了抛物线的开口方向和大小；
c的值决定了抛物线与y轴交点的纵坐标；
b的值与a、c一起决定了抛物线的位置
——实质上是决定了顶点的位置。
提出新问题：问题3>>>
问题3：如何确定抛物线y=ax2+bx+c (a≠0)的顶点坐标和对称轴位置？
分析：
当a>0时，开口向上，顶点的位置代表了函数值最小的点；
当a<0时，开口向下，顶点的位置代表了函数值最大的点。
因此，顶点的位置实际上与函数取得的最大值或最小值有关。
例5：
当自变量x取何值时，下列二次函数可以取到最大或最小值？
(1)y=x2+1
(2)y=-0.5(x+1)2
(3)y=x2+2x+3
(4)y=-2x2+4x
(5)y=ax2+bx+c(a≠0)
你得到了什么结论？
此例题的目的在于引导学生找到求最值的通法，并不是备用题。
问题3：如何确定抛物线y=ax2+bx+c (a≠0)的顶点坐标和对称轴位置？
结论：
因为
（1）若a>0，当 时
若a<0，当 时
（2）顶点坐标：
（3）对称轴：直线
通过本课的研究，你能够整理出二次函数的哪些图象特征和性质？
可根据学生情况，有选择地提供二次函数图象与性质的整理框架或总结提纲。
y=ax2+bx+c (a≠0)
图象特征
函数性质
1. 形状
2. 对称性
3. 最值