2020-2021学年人教版数学九年级上册二次函数与一元二次方程课件（共45张ppt）

(共45张PPT)
人教版九年级数学上册
22.2 二次函数与一元二次方程
复习.
1、一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况可由 确定。
＞ 0
= 0
＜ 0
有两个不相等的实数根
有两个相等的实数根
没有实数根
b2- 4ac
2、在式子h=50-20t2中，如果h=15，那么
50-20t2= ，如果h=20，那50-20t2= ，
如果h=0，那50-20t2= 。如果要想求t的值，那么我
们可以求 的解。
15
20
0
方程
一、问题导入
问题1:如图,以40m/s的速度将小球沿与地面成30度角的方向击出时,球的飞行路线是一条抛物线,如果不考虑空气阻力,球的飞行高度h(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间具有函数关系:
h=20t–5t2。考虑下列问题:
(1)球的飞行高度能否达到15m 若能,需要多少时间
(2)球的飞行高度能否达到20m 若能,需要多少时间
(3)球的飞行高度能否达到20.5m 若能,需要多少时间
(4)球从飞出到落地要用多少时间
解：（1）当 h = 15 时，
20t – 5t 2 = 15
t 2 － 4 t ＋3 = 0
t 1 = 1，t 2 = 3
当球飞行 1s 和 3s 时，它的高度为 15m .
1s
3s
15 m
(1)球的飞行高度能否达到15m 若能,需要多少时间
h=20t–5t2
解：（2）当 h = 20 时，
20t – 5t 2 = 20
t 2 － 4 t ＋4 = 0
t 1 = t 2 = 2
当球飞行 2s 时，它的高度为 20m .
2s
20 m
(2)球的飞行高度能否达到20m 若能,需要多少时间
h=20t–5t2
解：（3）当 h = 20.5 时，
20t – 5t2 =20.5
t 2 － 4 t ＋4.1 = 0
因为(－4)2－4×4.1 < 0 ，所以方程无实根。
球的飞行高度达不到 20.5 m.
20.5 m
(3)球的飞行高度能否达到20.5m 若能,需要多少时间
h=20t–5t2
解:（4）当 h = 0 时，
20 t – 5 t 2 = 0
t 2 － 4 t = 0
t 1 = 0，t 2 = 4
当球飞行 0s 和 4s 时，它的高度为 0m ，即 0s时，球从地面飞出，4s 时球落回地面。
0s
4s
0 m
(4)球从飞出到落地要用多少时间
h=20t–5t2
从上面我们看出， 对于二次函数h= 20 t – 5 t2中，已知h的值，求时间t？其实就是把函数值h换成常数，求一元二次方程的解。
再如：
已知二次函数y=-x +4x的值为3，求自变量x的值,可以看作求一元二次方程 的解。
反过来，求方程x -4x+3=0的解又可以看作已知二次函数__________的值为0，求自变量x的值。
y=x -4x+3
-x +4x=3(即x -4x+3=0)
当二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，被给定一个y值(常数)时，二次函数可转化为一元二次方程。求二次函数自变量x的值，就是求相应一元二次方程的解。二次函数与一元二次方程之间可相互转化，两者之间有密切联系。
2、发现
探究1、求二次函数图象y=x2-3x+2与x轴的交点A、B的坐标。
解：∵A、B在X轴上，
∴它们的纵坐标为0，
∴令y=0，则x2-3x+2=0
解得：x1=1，x2=2；
∴A（1，0） ， B（2，0）
你发现方程 的解x1、x2与点A、B的横坐标有什么联系？
x2-3x+2=0
二、讲授新知
(1,0)
(2,0)
结论1：方程x2-3x+2=0的解就是抛物线y=x2-3x+2与x轴的两个交点的横坐标。
即：若一元二次方程ax2+bx+c=0 的两个根是x1、x2,则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点坐标分别是A（ ）， B（ ）。
x1，0
x2，0
x
O
A
B
x1
x2
y
a＞0
同学们自己画出a＜0时抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点坐标。
1 、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 的根的判别式
(△=b2-4ac )与方程根的关系是：
① 当△﹥0 时方程 ；
② 当△=0时，方程 ；
③ 当△﹤0时， 方程 。。
有两个相等实数根
复习提问
有两个不等实数根
没有实数根
2、二次函数 y=ax2+bx+c 图像与x轴的 交点个数有几种情形？ 想一想,画一画
三种可能：①两个交点
②一个交点
③没有交点
1. a＞0时
2. a＜0时
0
y
x
0
y
x
0
y
x
y
o
x
o
y
x
o
y
x
有两个根
有一个根（两个相同的根）
没有根
有两个交点
有一个交点
没有交点
b2 – 4ac > 0
b2 – 4ac = 0
b2 – 4ac < 0
二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点的三种情况与一元二次方程根的关系
ax2+bx+c = 0 的根
y=ax2+bx+c 的图象与x轴
若抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴有交点，则________________ 。
b2 – 4ac ≥ 0
△＞0
△=0
△＜0
o
x
y
△ = b2 – 4ac
△＞0
△=0
△＜0
o
x
y
△ = b2 – 4ac
课堂小结
二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点的三种情况与一元二次方程根的关系：
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点 一元二次方程ax2+bx+c= 0的根 一元二次方程ax2+bx+c= 0根的判别式Δ=b2-4ac
有两个交点
有两个不相等的实数根
只有一个交点
有两个相等的实数根
没有交点
没有实数根
b2 – 4ac > 0
b2 – 4ac = 0
b2 – 4ac < 0
(1). 图象y=x2+2x与x轴交点个数( )
一元二次方程x2+2x=0根的个数 ( )
(2)图象y=x2-2x+1与x轴交点个数( )
一元二次方程x2-2x+1=0根的个数( )
(3)图象y=x2-2x+2与x轴交点个数( )
一元二次方程x2-2x+2=0根的个数( ）
例1、二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象如图：
y=x2-2x+2
两个交点
一个交点
没有交点
△﹥0，有两个不相等实数根
△=0，有两个相等实数根
△﹤0无实数根
y=x2-2x+1
y=x2+2x
1.一元二次方程 3 x2+x－10=0的两个根是x1=－2 ，x2=5/3，那么二次函数 y= 3 x2+x－10与x轴的交点坐标是＿＿＿＿＿＿＿＿.
2.抛物线 y=2x2－3x－5 与y轴交于点＿＿＿＿，与x轴交于点( , ).　　　　　　　　　　　　
3.抛物线y=x2-4x+4与 x 轴有 个交点,坐标是 ( , ).
4.抛物线y=0.5x2-x+3与x轴的交点情况是（ ）
A 两个交点 B 一个交点 C 没有交点
5.若抛物线 y = ax2+bx+c= 0，当 a>0，c<0时，图象与x轴的交点情况是（ ）
A. 无交点 B. 只有一个交点
C. 有两个交点 D. 不能确定
6.若二次函数y = mx2-6x+1 图象与x 轴只有一个公共点,求m的值.
随堂演练
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点 一元二次方程ax2+bx+c= 0的根 一元二次方程ax2+bx+c= 0根的判别式Δ=b2-4ac
有两个交点
有两个不相等的实数根
只有一个交点
有两个相等的实数根
没有交点
没有实数根
b2 – 4ac > 0
b2 – 4ac = 0
b2 – 4ac < 0
二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与x轴的交点个数和一元二次方程y=ax2+bx+c的根的个数关系：
归纳
三、课堂小结
1、二次函数y=ax2+bx+c与一元二次方程ax2+bx+c=0之间可相互转化：求二次函数y=ax2+bx+c自变量x的值，就是求一元二次方程ax2+bx+c=0的解；求一元二次方程ax2+bx+c=0的解，就是二次函数的值为0时，求自变量x的值。
2、二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标和一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根相等。
二次函数y=ax2+bx+c的
图象和x轴交点 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 一元二次方程ax2+bx+c=0根的
判别式Δ=b2-4ac
有两个交点
有两个不相等的实数根
b2-4ac > 0
只有一个交点
有两个相等的实数根
b2-4ac = 0
没有交点
没有实数根
b2-4ac < 0
3、二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点和一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系
随堂练习
1.不与x轴相交的抛物线是（ ）
A. y = 2x2 – 3 B. y=－2 x2 + 3
C. y= －x2 – 3x D. y=－2(x+1)2 －3
2.若抛物线 y = ax2+bx+c，当 a>0，c<0时，图象与x轴交点情况是（ ）
A. 无交点 B. 只有一个交点
C. 有两个交点 D. 不能确定
D
C
3. 如果关于x的一元二次方程 x2－2x+m=0有两个相等的实数根，则m=＿＿＿，此时抛物线 y=x2－2x+m与x轴有＿＿个交点.
4.已知抛物线 y=x2 – 8x + c的顶点在 x轴上，则 c =＿＿.
1
1
16
5.若抛物线 y=x2 + bx+ c 的顶点在第一象限,则方程 x2 + bx+ c =0 的根的情况是＿＿＿＿＿.
b2－4ac < 0
6.抛物线 y=2x2－3x－5 与y轴交于点＿＿＿＿，与x轴交于点　　　　　　　　　　　　.
7.一元二次方程 3 x2+x－10=0的两个根是x1=－2 ，x2=5/3，那么二次函数 y= 3 x2+x－10与x轴的交点坐标是＿＿＿＿＿＿＿＿.
(0，－5)
(5/2，0) (－1，0)
(-2，0) (5/3，0)
8.已知抛物线y = ax2+bx+c的图象如图,则关于x的方程ax2 + bx + c－3 = 0根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个异号的实数根
C. 有两个相等的实数根
D. 没有实数根
x
A
o
y
x=－1
3
-1
1.3
.
9.根据下列表格的对应值:
判断方程 ax2+bx+c =0 (a≠0,a,b,c为常数)一个解x的范围是（ ）
A. 3< x < 3.23 B. 3.23 < x < 3.24
C. 3.24 x 3.23 3.24 3.25 3.26
y=ax2+bx+c -0.06 -0.02 0.03 0.09
C
10. 已知抛物线 和直线
相交于点P(3，4m)。
（1）求这两个函数的关系式；
（2）当x取何值时，抛物线与直线相交，并求交点坐标。
解：（1）因为点P（3，4m）在直线 上，所以 ，解得m＝1
所以 ，P（3，4）。因为点P（3，4）在抛物线 上，所以有4＝18－24＋k＋8 解得 k＝2
所以
（2）依题意，得
解这个方程组，得
所以抛物线与直线的两个交点坐标分别是（3，4），（1.5，2.5）。
练习:看谁算的又快又准。
1.不与x轴相交的抛物线是( )
A y=2x2 – 3 B y= - 2 x2 + 3
C y= - x2 – 2x D y=-2(x+1)2 - 3
2.如果关于x的一元二次方程 x2-2x+m=0有两个相等的实数根,则m=＿＿,此时抛物线 y=x2-2x+m与x轴有＿个交点.
3.已知抛物线 y=x2 – 8x +c的顶点在 x轴上,则c=＿＿＿＿.
D
1
1
16
4.抛物线y=x2-3x+2 与y轴交于点＿＿＿＿,与x轴交于点＿＿＿ ＿.
(0,2)
(1,0)
(2,0)
C
A

３.求抛物线　　 　　　　　　①与y轴的交
点坐标;②与x轴的两个交点间的距离.③何时y＞0
练习１.已知抛物线y＝x2－ m x＋m－１.
(2)若抛物线与y轴交于正半轴，则m ______ ；　　　　　　　　
(1)若抛物线经过坐标系原点，则m ______；　　　　　　　
(3)若抛物线的对称轴为y轴，则m ______。
(4)若抛物线与x轴只有一个交点，则m _______.
= 1
＞1
= 2
= 0
２、不论x为何值时，函数y=ax2+bx+c（a≠0）
　　的值永远为正的条件是____　　　　　__
a>0,△<0
(4)已知二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示,则
一元二次方程ax+bx+c=0的解是 .
X
Y
0
5
2
2
(5)若抛物线y=ax2+bx+c,当 a>0,c<0时,图象与x轴交点情况是( )
A 无交点 B 只有一个交点
C 有两个交点 D不能确定
C
X1=0，x2=5
5：已知二次函数y=2x2-(m+1)x+m-1
( 1 )求证：无论m为何值，函数y的图像与x轴总有交点，并指出当m为何值时，只有一个交点。
（2）当m为何值时，函数y的图像经过原点。
（3）指出（2）的图像中，使y＜0时， x的取值范围及使y＞0时， x的取值范围
交
点
b2-4ac>0
b2-4ac<0
b2-4ac=0
两个交点
没有交点
一个交点
二次函数与x轴的交点
当二次函数y=ax2+bx+c中y的值确定，求x的值时，二次函数就变为一元二次方程。即当y取定值时，二次函数就为一元二次方程。
二次函数与一元二次方程的关系
二次函数与x轴的交点的横坐标是一元二次方程的解
这节课应有以下内容：
1.已知函数 的图象如图所示，那么关于 的方程 的根的情况是（ ）
A．无实数根 B．有两个相等实根
C．有两个异号实数根 D．有两个同号不等实数根
D
2.抛物线 与轴只有一个公共点，则m的值为 ．
8
3.如图，抛物线 的对称轴是直线 且经过（3，0），则 的值为( )
A. 0 B. －1 C. 1 D. 2
A
4.二次函数 的图象如图所示， 根据图象解 答下列问题：
（1）写出方程 的两个根
（2）写出不等式 的解集．
（3）写出y随x的增大而减小的自变量的取值范围．
（4）若方程 有两个不相等的实数根，求的取值范围．
3
2
补充练习：
1、抛物线y=x2-x+m与x轴有两个交点，
则m的取值范围是 。
2、如果关于x的方程x2-2x+m=0有两个相等
的实数根，此时抛物线y=x2-2x+m与x轴有
个交点。
3、抛物线y=x2-kx+k-2与x轴交点个数为（ ）
A、0个 B、1个 C、2个 D、无法确定
4、已知二次函数y=-x2+2x+k+2
与x轴的公共点有两个，
（1）求k的取值范围；
（2）当k=1时，求抛物线与
x轴的公共点A和B的坐标及顶点C的坐标；
（3）观察图象，当x取何值时，y=0,y>0,y<0
（4）在x轴下方的抛物线上是否存在点P，使S⊿ABP是S⊿ABC的一半，若存在，求出P点的坐标，若不存在，请说明理由.

y
x

5、已知二次函数y=x2-mx-m2
（1）求证：对于任意实数m，该二次函数的图像与x轴总有公共点;
（2）该二次函数的图像与x轴有两个公共点A、B，且A点坐标为（1、0），求B点坐标。