2021-2022学年人教版九年级数学上册21.1一元二次方程课件（24张PPT）

21.1 一元二次方程
九年级上册
理解一元二次方程的概念
能将一元二次方程转化为一般形式
1
2
5
理解一元二次方程的根的意义，能够运用代入法检验根的正确性．
3
4
掌握一元二次方程的一般形式
确定出二次项系数、一次项系数和常数项.
本节目标
1、我们学过哪些方程？概念是什么？
2、它们的一般形式是什么？
3、它们的根是什么？
复习回顾
问题
情境导入
如图，有一块长方形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？
情境导入
分析：设切去的正方形的边长为xcm，则盒底的长为　　　　　　，宽为 ；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
得方程： ；
整理得： .　　　　　　　　
100-2x
50－2x
（100-2x）· （50-2x） ＝3600
4x2－300x＋1400＝0 ①
新课讲解
1个
(1)方程①中未知数的个数是多少？
(2)它最高次数分别是几次？
2次
整式
一个
二次
归纳：方程①特点是：方程的两边都是　　　，只含有　　　未知数(一元)，并且未知数的最高次数是　　　的整式方程.
像这样的等号两边都是整式, 只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程叫做一元二次方程（必须满足三个特征）
一元二次方程的概念
请问：1????2+9????+160=0是一元二次方程吗？
?
一元二次方程的一般形式
一般地,任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，都可以化为????????2+????????+????=0的形式,我们把????????2+????????+????=0(a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式。
?
一元二次方程的一般形式
想一想：为什么要限制????≠????,????,????可以为零吗？
?
????????????+????????+????=????
?
注意：二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都是包括符号。
常数项
一次项系数
二次项系数
一元二次方程的一般形式
当 a = 0 时
bx＋c = 0
当 a ≠ 0 ， b = 0时
ax2＋c = 0
当 a ≠ 0 ， c = 0时
ax2＋bx = 0
当 a ≠ 0 ，b = c =0时
ax2 = 0
总结：只要满足a≠0，b、c可以为任意实数.
一元二次方程的根
使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（又叫做根）.
练一练：
下面哪些数是方程 x2 – x – 6 = 0 的解?
-4 ，-3， -2，-1，0，1，2，3，4.
解：3和-2.
你注意到了吗？一元二次方程可能不止一个根.
知识拓展
★ax2 + bx +c = 0强调：
①“ = ”左边最多有三项，一次项、常数项可不出现，但二次项必须有；
②“ = ”左边按未知数 x 的降幂排列；
③“ = ”右边必须整理为0.
例题：一元二次方程的概念
C
不是整式方程
含两个未知数
化简整理成x2-3x+2=0
少了限制条件a≠0
提示：判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不是整式方程；如果是整式方程，再进一步化简整理后再作判断.
下列选项中，关于x的一元二次方程的是（ ）
例1
变式：一元二次方程的概念
(1)ax2-x=2x2；
(2)?????1????????+1?2?????7=0
?
解：(1)将方程式转化为一般形式，得(a-2)x2-x=0,所以当a-2≠0，即a≠2时，原方程是一元二次方程.
(2)由∣a ∣+1 =2，且a-1 ≠0知，当a=-1时，原方程是一元二次方程.
方法总结：用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未知数的最高次数等于2，列出关于某个字母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值．
a为何值时，下列方程为一元二次方程？
例题:一元二次方程的一般形式
解：去括号，得
3x2-3x=5x+10.
移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式
3x2-8x-10=0.
其中二次项是3x2,系数是3；一次项是-8x,系数是-8；常数项是-10.
注意：系数和项均包含前面的符号.
将方程3x(x-1)=5(x+2)化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数.
例2
变式：一元二次方程的一般形式
将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：
( 2 )（x-2）(x+3)=8
（1）(x+3)(3x-4)=(x+2)2
一般形式2x2+x-16=0
二次项系数为2，一次项系数为1，常数项为-16
一般形式x2+x-14=0
二次项系数为1，一次项系数为1，常数项为-14
例题：一元二次方程的根
例2
例3
关于x的方程x2-kx-6=0的一个根为x=3，则实数k的值为（ ）
A.1 B.-2 C.2 D.-2
【解析】选A. 将x=3代入方程x2-kx-6=0得32-3k-6=0 ，解得k=1.
变式：一元二次方程的根
关于x的一元二次方程????+1????2?????????+?????1=0的一个根为0，则a= .
?
【点拨】将x=0代入一元二次方程，得到关于a的方程，解方程即可.注意二次项系数a+1≠0.
1
问题
探究
求证：关于x的方程（m2－8m＋17）x2＋2mx＋1＝0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．
证明：m2－8m＋17＝（m－4）2＋1
　　 ∵（m－4）2≥0
　　 ∴（m－4）2＋1>0，即（m－4）2＋1≠0
∴不论m取何值，该方程都是一元二次方程．
课堂练习
1．判断下列方程是否为一元二次方程：
(1)1－x2＝0　 (2)2(x2－1)＝3y　
(3)2x2－3x－1＝0 (4) ＝0　　
(5)(x＋3)2＝(x－3)2　　(6)9x2＝5－4x
解：(1)是；(2)不是；(3)是；(4)不是；(5)不是；(6)是.
课堂练习
2．若x＝2是方程????????2+4?????5=0的一个根，求a的值.
?
解：∵x＝2是????????2+4?????5=0方程的一个根
　　 ∴4????+8?5=0?，
　　解之得：????=34 ．
?
课堂练习
3．根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式：
(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x；
(2)一个长方形的长比宽多2，面积是100 ，求长方形的长x；
(3)把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x.
解：(1)4x2＝25； 4x2－25＝0；
(2)x(x－2)＝100； x2－2x－100＝0；
(3)x＝(1－x)2； x2－3x＋1＝0.
本节总结
一元二次方程
概念
是整式方程；
含一个未知数；
最高次数是2
一般形式
ax2+bx+c=0 (a ≠0)
其中(a≠0)是一元二次方程的必要条件；
确定一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项要先化为一般式
根
使方程左右两边相等的未知数的值
再见