浙江省名校新高考研究联盟2012届高三第二次联考试题数学理

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浙江省名校新高考研究联盟2012届第二次联考
数学(理科)试题卷
注意事项：
1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答．答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、考号、姓名;
2．本试题卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．
参考公式：
如果事件A，B互斥，那么．
如果事件A，B相互独立，那么．
如果事件A在一次试验中发生的概率是，那么次独立重复试验中事件恰好发生次
的概率 ．
球的表面积公式，其中R表示球的半径．
球的体积公式，其中R表示球的半径．
柱体的体积公式，其中表示柱体的底面积，表示柱体的高．
锥体的体积公式，其中表示锥体的底面积，表示锥体的高．
台体的体积公式，其中分别表示台体的上、下底面积，表示台体的高．
第I卷(选择题 共50分)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设全集R，集合，，则 ( )
A. B.
C. D.
2．已知复数，，若为实数，则实数的值为 ( )
A. 1 B. C. 4 D.
3．右图是计算值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是 ( )
A. B.
C. D.
4．在的展开式中的系数为 ( )
A. 5 B. 10
C. 20 D. 40
5．数列前n项和为，则“”是“数列为递增数列”的 ( )
A. 充分不必要条件 　B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6．下列命题中错误的是 ( )
A. 如果平面平面，平面平面，，那么
B. 如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面
C. 如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面
D. 如果平面平面，过内任意一点作交线的垂线，那么此垂线必垂直于
7．已知，分别是双曲线的左、右焦点，过与双曲线的一条渐近线平行的直线交另一条渐近线于点M，若为锐角，则双曲线离心率的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
8．从集合中任取5个数组成集合A，则A中任意两个元素之和不等于11的概率为
A. B. C. D. ( )
9．已知函数，则函数（）的零点个数不可能为
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 ( )
10．在中，已知，，边上的中线，则 ( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
二、填空题（本题共7道小题，每题4分，共28分；将答案直接答在答题卷上指定的位置）
11．已知为奇函数，且当时，则　　▲　　．
12．已知直线交圆于A、B两点，且（O为原点），则实数的值为
　　▲　　．
13．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为　　▲　　．
14．已知实数满足，则的最大值是　▲　．
15．将3个小球随机地放入3个盒子中，记放有小球的盒子个数为X，则X的均值　　▲　　．
16．非零向量，夹角为，且，则的取值范围
为　　▲　　．
17．已知为抛物线C：上的一点，为抛物线C的焦点，其准线与轴交于点，直线与抛物线交于另一点，且，则点坐标为　　▲　　．
三、解答题：(本大题共5小题，共72分．解答应给出文字说明，证明过程或演算步骤．)
18．（本题满分14分）已知函数(R，，，)图象如图，P是图象的最高点，Q为图象与x轴的交点，O为原点．且，，．
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）将函数图象向右平移1个单位后得到函数的图象，当时，求函数的最大值．
19．（本题满分14分）数列是公比为的等比数列，且是与的等比中项，前项和为．数列 是等差数列，，前项和满足为常数，且．
（Ⅰ）求数列的通项公式及的值；
（Ⅱ）比较与的大小.
20．（本题满分14分）如图，四边形ABCD中，为正三角形，，，AC与BD交于O点．将沿边AC折起，使D点至P点，已知PO与平面ABCD所成的角为，且P点在平面ABCD内的射影落在内．
（Ⅰ）求证：平面PBD；
（Ⅱ）若已知二面角的余弦值为，求的大小.
21．（本题满分15分）如图，分别过椭圆E：左右焦点、的动直线l1、l2相交于P点，与椭圆E分别交于A、B与C、D不同四点，直线OA、OB、OC、OD的斜率、、、满足．已知当l1与x轴重合时，，．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）是否存在定点M、N，使得为定值．若存在，求出M、N点坐标，若不存在，说明理由．
22．（本题满分15分）已知，函数，．
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）若恒成立，求实数的取值范围．
浙江省名校新高考研究联盟2012届第二次联考
数学（理科）试题 参考答案
1－5:：B D A B B 6--10： D D C A C
11．-2； 12．； 13．； 14．5；
15．； 16．； 17．．
18．解（Ⅰ）由余弦定理得，（2分）
∴，得P点坐标为．　（3分）
∴ ，，．（5分）
由，得．
∴的解析式为．（7分）
（Ⅱ），（9分）
．（12分）
当时，，
∴ 当，即时．（14分）
19．解（Ⅰ）由题意，即（2分）
解得，∴（4分）
又，即（6分）
解得 或（舍）∴（8分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
∴①（10分）
又，
∴②（13分）
由①②可知（14分）
20.解：(Ⅰ)易知为的中点，则，又，
又，平面，
所以平面 （5分）
(Ⅱ)方法一：以为轴，为轴，过垂直于
平面向上的直线为轴建立如图所示空间
直角坐标系，则,
（7分）
易知平面的法向量为 （8分）
，
设平面的法向量为
则由得，
解得，，令，则 （11分）
则
解得，，即，即，
又，∴
故.（14分）
方法二：
作，连接，
由(Ⅰ)知平面，又平面，
∴，又，平面，
∴平面，又平面，
∴，
∴即为二面角的平面角 （8分）
作于，由平面及平面知，
又，平面，所以平面
所以即为直线与平面所成的角，即 （10分）
在中，，
由=知，，
则，又，所以，故.（14分）
21．解（Ⅰ）当l1与x轴重合时，，即，（2分）
∴ l2垂直于x轴，得，，（4分）
得，，　　∴ 椭圆E的方程为．（6分）
（Ⅱ）焦点、坐标分别为(-1, 0)、(1, 0)．
当直线l1或l2斜率不存在时，P点坐标为(-1, 0)或(1, 0)．
当直线l1、l2斜率存在时，设斜率分别为，，设，，
由得　，
∴ ，．（8分）
，（10分）
同理．
∵， ∴，即．
由题意知，　∴．（12分）
设，则，即，（14分）
由当直线l1或l2斜率不存在时，P点坐标为(-1, 0)或(1, 0)也满足，
∴点椭圆上，
∴ 存在点M、N其坐标分别为(0 , -1)、(0, 1)，使得为定值．（15分）
22．解：（Ⅰ）当时，，（2分）
，，（4分）
又，曲线在点处的切线方程为：
，即：．（6分）
（Ⅱ）由得
①当时
，，∴在上递减，
∴，∴，此时不存在；（ 8分）
②当时
若时，由①得在上递减，
∴，此时（9分）
若时
令得，又在递增，故
∴，当时,∴在递增，（12分）
∴
，，∴，（13分）
又， ∴
综上知，实数的取值范围（15分）
（第3题）
（第13题）
正视图
侧视图
俯视图
（第18题）
（第20题）
（第21题）
（第20题）
（第20题）