矩形导学案
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文档简介
矩形的性质与判定导学案
学习目标：1、理解矩形的意义，知道矩形与平行四边形的区别与联系。
2、掌握矩形的性质定理，会用性质定理进行有关的计算与证明。
3、掌握直角三角形斜边上中线的性质与应用。
学习过程：
一、知识回顾：平行四边形有哪些性质？画图说出它的几何语言。
二、学习新知：
任务一：
自主学习
（1）自学课本82页：平行四边形活动框架在变化过程中，何时平行四边形的面积最大？这时这个平行四边形的内角是多少度？为什么
（2）总结：矩形的定义：有一个角是 的平行四边形，叫做矩形。
（3）、练习：四边形、平行四边形、矩形有什么关系？
2、合作探究（1）由于矩形是特殊的平行四边形，因此它具有平行四边形的所有性质，还具有平行四边形不具有的特殊性质。如图，同学们研究矩形的性质，填写下表：
矩形的性质 边 角 对角线 对称性
具有平行四边形的所有性质
具有平行四边形不具有的特殊性质
（2）你能证明以下性质的正确性
⑴矩形的四个角都是直角 ⑵矩形的对角线相等
3.巩固练习
（1）矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）
A.对角相等 B.对边相等 C.对角线相等 D.对角线互相平分
（2）已知矩形ABCD,请找出相等的线段和相等的角
（3）如图,矩形ABCD的两条对角线相交于点O,
∠AOB=60°,AB=4cm,求矩形对角线的长.
任务二：1.自主学习：小明同学在研究矩形的性质时发现，矩形ABCD的对角线AC将矩形分成两个全等的三角形，在Rt△ABC中，BO与AC之间存在特殊的大小关系。你知道是什么关系吗？并说明理由。
归纳：“直角三角形斜边上的中线等于 ．
2.巩固练习：用上面的性质解释生活中的问题
（1）投圈游戏，三位学生正在做投圈游戏,他们分别站在一个直角三角形的三个顶点处，目标物放在斜边的中点处,这样的队形对每个人公平吗 为什么？
（2）如图：四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=900 ,E、F分别是AC、BD的中点，
求证：EF⊥BD
3、思考：刚才探究的直角三角形的性质逆命题正确吗？为什么？
任务三：自主学习：
1、矩形有哪些判定方法？结合图形说出它们的几何语言。
① ② ③
2、练习：下列各句判定矩形的说法是否正确？为什么？
（1）有一个角是直角的四边形是矩形；（ ） （2）有四个角是直角的四边形是矩形；（ ）
（3）四个角都相等的四边形是矩形；（ ） （4）对角线相等的四边形是矩形；（ ）
(5）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形；（ ）
（6）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（ ）
（7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形； （ ）
（8）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；（ ）
（9）两组对边分别平行，且对角线相等的四边形是矩形． ( )
合作研究：已知：如图，□ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E、F、G、H．求证：四边形EFGH是矩形．
巩固练习：如图，在△ABC中，点O是AC边上（端点除外）的一个
动点，过点O作直线MN∥BC.设MN交∠BCA的平分线于点E,
交∠BCA的外角平分线于点F，连接AE、AF。那么当点O
运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论。
三、本节课你的收获是什么？
菱形导学案
学习目标： 1．菱形的性质定理的运用．
2．菱形的判定定理的运用．
学习重点：掌握菱形的性质推导及面积计算方法的推导．
学习难点：运用综合法解决菱形的相关题型。
任务一、1、自主自习：
菱形的对边 。
菱形的四边 。
菱形的性质： 菱形的对角线 。
菱形是 对称图形。
菱形的面积= 或 菱形的面积=
四边 的平行四边形是菱形。
一组 的四边形是菱形。
菱形的判定： 对角线 的平行四边形是菱形。
对角线 的四边形是菱形。
2、合作探究：如图，四边形ABCD是边长为13 cm的菱形，其中对角线BD长10 cm，
求：(1)对角线AC的长度；(2)菱形ABCD的面积
由此（2）推出：S菱形= ．
任务二：1、如图，ΔABC为等腰三角形，把它沿底边BC翻折后，
得到ΔDBC．请你判断四边形ABDC的形状，并说出你的理由．
2.如下图，在菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，
连结AE、AF.。求证：AE=AF
课堂小结：通过本节课的学习，你学会了什么？还有什么疑问？
巩固练习
1.有一组邻边相等的平行四边形是__________.
2.菱形的两条对角线长分别是8 cm和10 cm,则菱形的面积是__________.
3.菱形的两邻角之比为1：2，边长为2，则菱形的面积为__________.
课堂检测
1菱形的面积等于（ ）（20分）
A.对角线乘积 B.一边的平方 C.对角线乘积的一半 D.边长平方的一半
2下列条件中，可以判定一个四边形是菱形的是（ ）（20分）
A.两条对角线相等 B.两条对角线互相垂直
C.两条对角线相等且垂直 D.两条对角线互相垂直平分
3、菱形的两条对角线把菱形分成全等的直角三角形的个数是（ ）．（20分）
A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
4、如图，四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，AB=6cm，则∠ABD=_____，∠DAC的度数为______；对角线BD=_______，AC=_______；菱形ABCD的面积为_______．（20分）
5、在矩形ABCD中，O是对角线AC的中点，EF是线段AC的中垂线，交AD、BC于E、F.求证：四边形AECF是菱形（20分）
正方形导学案
学习目标
1. 掌握正方形的概念、性质。
2. 运用正方形的性质进行有关的论证和计算。
重点与难点
重点：掌握正方形的概念、性质。 难点：运用正方形的性质进行有关的论证和计算。
学习过程
任务一：（一）、自主学习
1、有一组_______相等并且有一个角是________的平行四边形叫做正方形。
有一个角是________的菱形叫做正方形；一组________相等的矩形叫做正方形。
2、正方形既是_____，又是_____，所以它具有_____ 和 _____ 的性质：
（1）正方形的四个角都是_____ ，四条边都 _____ ；
（2）正方形的对角线_____且 ________，每条对角线平分__________；
（3）正方形是_______图形，____________的交点是它的对称中心；
（4）正方形是_______图形，两条对角线所在直线，以及过每一组对边中点的直线都是它的对称轴。如上图，画出该正方形的对称轴。
3、正方形ABCD的对角线把它分成了____个三角形，它们是_____三角形，它们全等吗？请简单说明理由_________ ________。
（二）、问题探究（小组交流合作并展示归纳）
1、正方形具有而一般菱形不具有的性质是 （ ）
A. 四条边都相等B. 对角线互相垂直平分C. 对角线相等D. 每一条对角线平分一组对角
2、正方形具有而一般矩形不一定具有的性质是 （ ）
A. 四个角相等 B. 四条边相等 C. 对角线互相平分 D. 对角线相等
3、已知一个正方形的边长为2cm，则对角线长为______。如果对角线长为2cm，则它的边长为_______。
5、若正方形的一条对角线长为4cm，则正方形的周长为______，面积为________；对角线的交点到边的距离为_______。
6、顺次连接正方形各边中点，得4个等腰直角三角形，则每个小三角形的面积为原正方形面积的______ 。
7、如图，四边形ABCD是正方形，∠CAB是多少度？为什么？至少用两种方法说明理由。
任务二、（一）自主学习
正方形的判定方法
（1）有一组_____________的矩形是正方形。（2）有一个_____的菱形是正方形。
注：判定正方形的一般顺序：先证明它是平行四边形→再证明它是菱形（或矩形）→最后证明它是正方形。
（二）、问题探究
如图，已知E、F、G、H分别是正方形ABCD四条边上的点，且
AE＝BF＝CG＝DH。求证：四边形EFGH为正方形。
（三）巩固练习
1、下列说法中错误的是（ ）
A、对角线相等的菱形是正方形 B、有一组邻边相等的矩形是正方形
C、四条边都相等的四边形是正方法 D、有一个角为直角的菱形是正方形
2、已知四边形两对角线：①互相垂直；②相等；③互相平分。具备条件____可得平行四边形；具备条件_______可得矩形；具备条件_______ 可得是菱形；具备条件________可得正方形。（填序号）
3、已知四边形ABCD是菱形，当满足条件_________时，它成为正方形(填上你认为正确的一个条件即可).
课堂小结：本节课你学会了什么？还有什么疑问？
课堂检测
1、下列判断正确的是（ ）
A、四边相等的四边形是正方形 B、四个角相等的四边形是正方形C、对角线互相垂直的平行四边形是正方形 D、对角线互相垂直、平分且相等的四边形是正方形
3、正方形是轴对称图形，它的对称轴有____条，正方形也中心对称图形，它的对称中心是________。
4、已知一正方形的对角线长为6cm，则它的边长为_______。
5、在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别是E，F。求证：（1）四边形CFDE是平行四边形。
（2）四边形CFDE是矩形或菱形（任选一项）。
（3）四边形CFDE是正方形。
5、选择题
（1）正方形的边和对角线构成的等腰直角三角形共有（ ）
A、4个 B、6个 C、8个 D、10个
（2）如图，在正方形ABCD中，∠DAE＝25°，AE交对角线BD于E点，
那么∠BEC等于（ ）
A、45° B、60° C、70° D、75°
（3）如图，在正方形ABCD中作等边△AEF，则∠AFD的度数为（ ）
A、40° B、75° C、50° D、55°
6、如图，在正方形ABCD是，E为对角线AC上一点，连结EB、ED。
（1）求证：△BEC≌△DEC。
（2）延长BE交AD于点F，若∠DEB＝140°，求∠AFE的度数。
效果检测
1、在箭头上填上适当的条件
（ ） （ ）
2、在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，当有_________________条件时，可判定它是正方形。
3、如图，在正方形ABCD中，E是对角线AC上的一点，EF⊥BC于F，EG⊥CD于G。
（1）证明：四边形EFCG是正方形
（2）如果AC＝6cm，AE＝2EC，求四边形EFCG的面积。
D
F
E
A
C
B
A
B
C
E
F
D
A
B
C
D
O
正方形
菱形
平行四边形
矩形
A
B
C
D
A
B
C
D
B
C
D
E
F
G
H
A
A
B
C
D
E
F
D
E
A
B
C
A
B
C
D
E
F
正方形
菱形
矩形
正方形
D
C
B
A
F
G
E
学习目标：1、理解矩形的意义，知道矩形与平行四边形的区别与联系。
2、掌握矩形的性质定理，会用性质定理进行有关的计算与证明。
3、掌握直角三角形斜边上中线的性质与应用。
学习过程：
一、知识回顾：平行四边形有哪些性质？画图说出它的几何语言。
二、学习新知：
任务一：
自主学习
（1）自学课本82页：平行四边形活动框架在变化过程中，何时平行四边形的面积最大？这时这个平行四边形的内角是多少度？为什么
（2）总结：矩形的定义：有一个角是 的平行四边形，叫做矩形。
（3）、练习：四边形、平行四边形、矩形有什么关系？
2、合作探究（1）由于矩形是特殊的平行四边形，因此它具有平行四边形的所有性质，还具有平行四边形不具有的特殊性质。如图，同学们研究矩形的性质，填写下表：
矩形的性质 边 角 对角线 对称性
具有平行四边形的所有性质
具有平行四边形不具有的特殊性质
（2）你能证明以下性质的正确性
⑴矩形的四个角都是直角 ⑵矩形的对角线相等
3.巩固练习
（1）矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）
A.对角相等 B.对边相等 C.对角线相等 D.对角线互相平分
（2）已知矩形ABCD,请找出相等的线段和相等的角
（3）如图,矩形ABCD的两条对角线相交于点O,
∠AOB=60°,AB=4cm,求矩形对角线的长.
任务二：1.自主学习：小明同学在研究矩形的性质时发现，矩形ABCD的对角线AC将矩形分成两个全等的三角形，在Rt△ABC中，BO与AC之间存在特殊的大小关系。你知道是什么关系吗？并说明理由。
归纳：“直角三角形斜边上的中线等于 ．
2.巩固练习：用上面的性质解释生活中的问题
（1）投圈游戏，三位学生正在做投圈游戏,他们分别站在一个直角三角形的三个顶点处，目标物放在斜边的中点处,这样的队形对每个人公平吗 为什么？
（2）如图：四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=900 ,E、F分别是AC、BD的中点，
求证：EF⊥BD
3、思考：刚才探究的直角三角形的性质逆命题正确吗？为什么？
任务三：自主学习：
1、矩形有哪些判定方法？结合图形说出它们的几何语言。
① ② ③
2、练习：下列各句判定矩形的说法是否正确？为什么？
（1）有一个角是直角的四边形是矩形；（ ） （2）有四个角是直角的四边形是矩形；（ ）
（3）四个角都相等的四边形是矩形；（ ） （4）对角线相等的四边形是矩形；（ ）
(5）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形；（ ）
（6）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（ ）
（7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形； （ ）
（8）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；（ ）
（9）两组对边分别平行，且对角线相等的四边形是矩形． ( )
合作研究：已知：如图，□ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E、F、G、H．求证：四边形EFGH是矩形．
巩固练习：如图，在△ABC中，点O是AC边上（端点除外）的一个
动点，过点O作直线MN∥BC.设MN交∠BCA的平分线于点E,
交∠BCA的外角平分线于点F，连接AE、AF。那么当点O
运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论。
三、本节课你的收获是什么？
菱形导学案
学习目标： 1．菱形的性质定理的运用．
2．菱形的判定定理的运用．
学习重点：掌握菱形的性质推导及面积计算方法的推导．
学习难点：运用综合法解决菱形的相关题型。
任务一、1、自主自习：
菱形的对边 。
菱形的四边 。
菱形的性质： 菱形的对角线 。
菱形是 对称图形。
菱形的面积= 或 菱形的面积=
四边 的平行四边形是菱形。
一组 的四边形是菱形。
菱形的判定： 对角线 的平行四边形是菱形。
对角线 的四边形是菱形。
2、合作探究：如图，四边形ABCD是边长为13 cm的菱形，其中对角线BD长10 cm，
求：(1)对角线AC的长度；(2)菱形ABCD的面积
由此（2）推出：S菱形= ．
任务二：1、如图，ΔABC为等腰三角形，把它沿底边BC翻折后，
得到ΔDBC．请你判断四边形ABDC的形状，并说出你的理由．
2.如下图，在菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，
连结AE、AF.。求证：AE=AF
课堂小结：通过本节课的学习，你学会了什么？还有什么疑问？
巩固练习
1.有一组邻边相等的平行四边形是__________.
2.菱形的两条对角线长分别是8 cm和10 cm,则菱形的面积是__________.
3.菱形的两邻角之比为1：2，边长为2，则菱形的面积为__________.
课堂检测
1菱形的面积等于（ ）（20分）
A.对角线乘积 B.一边的平方 C.对角线乘积的一半 D.边长平方的一半
2下列条件中，可以判定一个四边形是菱形的是（ ）（20分）
A.两条对角线相等 B.两条对角线互相垂直
C.两条对角线相等且垂直 D.两条对角线互相垂直平分
3、菱形的两条对角线把菱形分成全等的直角三角形的个数是（ ）．（20分）
A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
4、如图，四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，AB=6cm，则∠ABD=_____，∠DAC的度数为______；对角线BD=_______，AC=_______；菱形ABCD的面积为_______．（20分）
5、在矩形ABCD中，O是对角线AC的中点，EF是线段AC的中垂线，交AD、BC于E、F.求证：四边形AECF是菱形（20分）
正方形导学案
学习目标
1. 掌握正方形的概念、性质。
2. 运用正方形的性质进行有关的论证和计算。
重点与难点
重点：掌握正方形的概念、性质。 难点：运用正方形的性质进行有关的论证和计算。
学习过程
任务一：（一）、自主学习
1、有一组_______相等并且有一个角是________的平行四边形叫做正方形。
有一个角是________的菱形叫做正方形；一组________相等的矩形叫做正方形。
2、正方形既是_____，又是_____，所以它具有_____ 和 _____ 的性质：
（1）正方形的四个角都是_____ ，四条边都 _____ ；
（2）正方形的对角线_____且 ________，每条对角线平分__________；
（3）正方形是_______图形，____________的交点是它的对称中心；
（4）正方形是_______图形，两条对角线所在直线，以及过每一组对边中点的直线都是它的对称轴。如上图，画出该正方形的对称轴。
3、正方形ABCD的对角线把它分成了____个三角形，它们是_____三角形，它们全等吗？请简单说明理由_________ ________。
（二）、问题探究（小组交流合作并展示归纳）
1、正方形具有而一般菱形不具有的性质是 （ ）
A. 四条边都相等B. 对角线互相垂直平分C. 对角线相等D. 每一条对角线平分一组对角
2、正方形具有而一般矩形不一定具有的性质是 （ ）
A. 四个角相等 B. 四条边相等 C. 对角线互相平分 D. 对角线相等
3、已知一个正方形的边长为2cm，则对角线长为______。如果对角线长为2cm，则它的边长为_______。
5、若正方形的一条对角线长为4cm，则正方形的周长为______，面积为________；对角线的交点到边的距离为_______。
6、顺次连接正方形各边中点，得4个等腰直角三角形，则每个小三角形的面积为原正方形面积的______ 。
7、如图，四边形ABCD是正方形，∠CAB是多少度？为什么？至少用两种方法说明理由。
任务二、（一）自主学习
正方形的判定方法
（1）有一组_____________的矩形是正方形。（2）有一个_____的菱形是正方形。
注：判定正方形的一般顺序：先证明它是平行四边形→再证明它是菱形（或矩形）→最后证明它是正方形。
（二）、问题探究
如图，已知E、F、G、H分别是正方形ABCD四条边上的点，且
AE＝BF＝CG＝DH。求证：四边形EFGH为正方形。
（三）巩固练习
1、下列说法中错误的是（ ）
A、对角线相等的菱形是正方形 B、有一组邻边相等的矩形是正方形
C、四条边都相等的四边形是正方法 D、有一个角为直角的菱形是正方形
2、已知四边形两对角线：①互相垂直；②相等；③互相平分。具备条件____可得平行四边形；具备条件_______可得矩形；具备条件_______ 可得是菱形；具备条件________可得正方形。（填序号）
3、已知四边形ABCD是菱形，当满足条件_________时，它成为正方形(填上你认为正确的一个条件即可).
课堂小结：本节课你学会了什么？还有什么疑问？
课堂检测
1、下列判断正确的是（ ）
A、四边相等的四边形是正方形 B、四个角相等的四边形是正方形C、对角线互相垂直的平行四边形是正方形 D、对角线互相垂直、平分且相等的四边形是正方形
3、正方形是轴对称图形，它的对称轴有____条，正方形也中心对称图形，它的对称中心是________。
4、已知一正方形的对角线长为6cm，则它的边长为_______。
5、在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别是E，F。求证：（1）四边形CFDE是平行四边形。
（2）四边形CFDE是矩形或菱形（任选一项）。
（3）四边形CFDE是正方形。
5、选择题
（1）正方形的边和对角线构成的等腰直角三角形共有（ ）
A、4个 B、6个 C、8个 D、10个
（2）如图，在正方形ABCD中，∠DAE＝25°，AE交对角线BD于E点，
那么∠BEC等于（ ）
A、45° B、60° C、70° D、75°
（3）如图，在正方形ABCD中作等边△AEF，则∠AFD的度数为（ ）
A、40° B、75° C、50° D、55°
6、如图，在正方形ABCD是，E为对角线AC上一点，连结EB、ED。
（1）求证：△BEC≌△DEC。
（2）延长BE交AD于点F，若∠DEB＝140°，求∠AFE的度数。
效果检测
1、在箭头上填上适当的条件
（ ） （ ）
2、在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，当有_________________条件时，可判定它是正方形。
3、如图，在正方形ABCD中，E是对角线AC上的一点，EF⊥BC于F，EG⊥CD于G。
（1）证明：四边形EFCG是正方形
（2）如果AC＝6cm，AE＝2EC，求四边形EFCG的面积。
D
F
E
A
C
B
A
B
C
E
F
D
A
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C
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O
正方形
菱形
平行四边形
矩形
A
B
C
D
A
B
C
D
B
C
D
E
F
G
H
A
A
B
C
D
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F
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E
A
B
C
A
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E
F
正方形
菱形
矩形
正方形
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