1.5.1全称量词与存在量词-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册练习（Word含解析）

全称量词与存在量词巩固练习
一、选择题
下列是全称量词命题并且是真命题的是（ ）
A. ?x∈R，x2>0 B. ?x，y∈R，x2+y2>0
C. ?x∈Q，x2∈Q D. ?x0∈Z，x02>1
下列命题中，真命题是（ ）
A. ?x∈R，x>0 B. 如果x<2，那么x<1
C. ?x∈R，x2≤?1 D. ?x∈R，使x2+1≠0
命题p：?n∈Z，n∈Q，则（ ）
A. ￢p：?n?Z，n?Q B. ￢p：?n∈Z，n?Q
C. ￢p：?n0?Z，n0∈Q D. ￢p：?n0∈Z，n0?Q
将a2+b2+2ab=(a+b)2改写成全称命题是（ ）
A. ?a，b∈R，a2+b2+2ab=(a+b)2
B. ?a<0，b>0，a2+b2+2ab=(a+b)2
C. ?a>0，b>0，a2+b2+2ab=(a+b)2
D. ?a，b∈R，a2+b2+2ab=(a+b)2
给出如下四个命题：
①若“p且q”为假命题，则p，q均为假命题；
②命题“若a>b，则2a>2b?1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b?1”；
③“?x∈R，x2+1≥1”的否定是“?x∈R，x2+1<1”；
④命题“若cosx=cosy，则x=y”的逆否命题为真命题；
其中正确的命题的个数是（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
“关于x的不等式f(x)>0有实数解”等价于（ ）
A. ?x∈R，都有f(x)>0成立 B. ?x1∈R，使得f(x1)≤0成立
C. ?x1∈R，使得f(x1)>0成立 D. ?x∈R，都有f(x)≤0成立
下列命题中假命题的是（ ）
A. ?x∈R，2x?1>0 B. ?x0∈R，tanx0=2014
C. ?x∈R，x2?2x?1>0 D. ?x0∈R，sinx0+cosx0=?2
已知命题“?x∈R，使4x2+(a?2)x+14≤0”是假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A. (?∞,0) B. [0,4] C. [4,+∞) D. (0,4)
若对任意x>0，xx2+3x+1≤a恒成立，则a的最小值是（ ）
A. 13 B. 14 C. 15 D. 16
若命题“?x0∈R使得x02+ax0+a+3<0”为假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A. [?6,2] B. [?6,?2]
C. [?2,6] D. [2?7,?2+7]
二、填空题
若命题“?x0∈R，x02+(a?1)x0+1<0”是假命题，则实数a的取值范围为______．
已知命题p：?x0∈R，tan?x0=3；命题q：?x∈R，x2?x+1>0，则命题“p且q”是______ 命题．(填“真”或“假”)
下列命题中正确命题的序号是：______
①两条直线a，b和两条异面直线m，n相交，则直线a，b一定异面；
②?α，β∈R，使cos(α+β)=cosα+cosβ；
③?x>0，都有ln6x+ln3x+1>0；
④?m∈R，使f(x)=(m?1)xm2?4m+3是幂函数，且在(0,+∞)上递减；
⑤??∈R，函数y=sin(2x+?)都不是偶函数．
命题：?x∈R，x2?x+1<0是______ 命题(填写“真“或“假”)
命题“?x∈[1,2]，使x2?a≥0”是真命题，则a的范围是______．
三、计算题
已知集合A={x|x2?3x+2≤0}，函数f(x)=x2?2ax+1．
(1)当a≠0时，解关于x的不等式f(x)≤3a2+1；
(2)若命题“存在x0∈A，使得f(x0)≤A”为假命题，求实数a的取值范围．
命题“?x∈[1,+∞)，f(x)=x2+x+m≥0”是假命题，求实数m的取值范围．
判断下列命题是全称命题还是特称命题，写出这些命题的否定，并说出这些否定的真假，不必证明．
(1)存在实数x，使得x2+2x+3≤0；
(2)有些三角形是等边三角形；
(3)方程x2?8x?10=0的每一个根都不是奇数．
已知函数f(x)=22x?52?2x+1?6
(1)当x∈[0,4]时，求f(x)的最大值和最小值；
(2)若?x∈[0,4]，使f(x)+12?a?2x≥0成立，求实数a的取值范围．
答案和解析
1.C
解：对于A，?x∈R，x2>0是全称量词命题，但是x=0时，命题不成立，A不正确；
对于B，?x，y∈R，x2+y2>0是全称量词命题，但是x=0，y=0时，命题不成立，B不正确；
对于C，?x∈Q，x2∈Q是全称量词命题，满足有理数的基本性质，C正确；
对于D，?x0∈Z，x02>1，是存在量词命题，不是全称量词命题，所以不正确；
2.D
解：A显然是假命题，
B中取x=1.5，满足x<2，但x不小于1.B是假命题
C中不存在x，使得x2≤?1，
D中对?x∈R总有x2+1≥1
∴x2+1≠0，故D是真命题，
3.D
解：命题p为全称命题，根据全称命题的否定是特称命题可知：
￢p：?n0∈Z，n0?Q．
4.D
解：命题对应的全称命题为：?a，b∈R，a2+b2+2ab=(a+b)2
故选：D
5.C
解：①若“p且q”为假命题，则p，q均为假命题；判断不正确，p，q中有一个是假命题就是假命题．
②命题“若a>b，则2a>2b?1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b?1”；正确，满足否命题与原命题的定义．
③“?x∈R，x2+1≥1”的否定是“?x∈R，x2+1<1”；符合全称命题与特称命题的否定关系，正确；
④命题“若cosx=cosy，则x=y”的逆否命题为真命题，因为原命题与逆否命题具有相同的真假关系，原命题错误，所以判断不正确；
故正确命题只有②③．
6.C
解：命题“关于x的不等式f(x)>0有实数解”为特称命题，
则等价为?x1∈R，使得f(x1)>0成立，
7.C
解：对于A，?x∈R，2x?1>0，∵y=2x?1>0恒成立，∴A正确；
对于B，?x0∈R，tanx0=2014，∵正切函数的值域是R，∴B正确；
对于C，?x∈R，x2?2x?1>0，∵Δ=8>0，∴不等式不恒成立，∴C不正确；
对于D，?x0∈R，sinx0+cosx0=2sin(x0+45°)≥?2，∴D正确；
只有C是假命题．
8.D
解：∵命题“?x∈R，使4x2+(a?2)x+14≤0”是假命题，
∴命题“?x∈R，使4x2+(a?2)x+14>0”是真命题，
即判别式△=(a?2)2?4×4×14<0，
即△=(a?2)2<4，
则?29.C
解：xx2+3x+1=1x+3+1x，
∵x>0，
∴x+3+1x≥3+2x?1x=3+2=5，当且仅当x=1x，
即x=1时取等号，
∴0<1x+3+1x≤15，
∴要xx2+3x+1≤a恒成立，
则a≥15，
故a的最小值为15，
10.C
解：“?x0∈R，x02+ax0+a+3<0”为假命题，
等价于?x∈R，x2+ax+a+3≥0为真命题，
∴△=a2?4(a+3)≤0，
解得：?2≤a≤6，
11.[?1,3]
解：∵命题“?x0∈R，x?02+(a?1)x0+1<0”是假命题，
∴命题“?x∈R，x2+(a?1)x+1≥0”是真命题，
即对应的判别式Δ=(a?1)2?4≤0，
即(a?1)2≤4，
∴?2≤a?1≤2，
即?1≤a≤3，
12.真
解：当x0=π3时，tan?x0=3，
∴命题p为真命题；
x2?x+1=(x?12)2+34>0恒成立，
∴命题q为真命题，
∴“p且q”为真命题．
13.②③④
解：①两条直线a，b和两条异面直线m，n相交，则直线a，b可能相交或异面，但是一定不平行，故不正确；
②取α=?π4，β=π2，则满足cos(α+β)=cosα+cosβ，故正确；
③∵?x>0，都有ln6x+ln3x+1=(ln3x+12)2+34≥34>0，因此成立；
④当m=2时，f(x)=1x是幂函数，且在(0,+∞)上递减，因此正确；
⑤取Φ=π2时，函数y=sin(2x+π2)=cos2x是偶函数，故⑤不正确．
综上可知：正确答案为②③④．
故答案为②③④．
①利用异面直线的意义即可判断出；
②取α=?π4，β=π2即可；
③通过配方即可判断出；
④取m=2即可；
⑤取Φ=π2即可否定．
14.假
解；∵判别式△=1?4=?3<0，
∴x2?x+1>0恒成立，
即命题：?x∈R，x2?x+1<0是假命题，
15.(?∞,1]
解：命题p：a≤x2在[1,2]上恒成立，y=x2在[1,2]上的最小值为1；
∴a≤1；
16.解：(1)不等式f(x)≤3a2+1整理得x2?2ax?3a2≤0，即(x+a)(x?3a)≤0，
若a>0，则不等式解集为[?a,3a]，
若a<0，则不等式解集为[3a,?a]．
(2)A={x|1≤x≤2}，
命题“存在x0∈A，使得f(x0)≤0”的否定为：
“对任意的x∈[1,2]，均有x2?2ax+1>0成立”为真命题，
即2a当x=1时，(x+1x)min=2，所以2a<2，即a<1．
17.解：由题意得：命题“?x∈[1,+∞)，f(x)=x2+x+m<0”是真命题，
因为f(x)=x2+x+m≥0对称轴为x=?12，
所以要使“?x∈[1,+∞)，f(x)=x2+x+m<0成立，
只要f(1)<0即2+m<0，解得m所以实数m的取值范围是(?∞,?2)．
18.解：(1)含有特称量词存在，命题为特称命题，
命题的否定是：对任意一个实数x，都有x2+2x+3>0；该命题为真命题．
(2)含有特称量词有些，命题为特称命题，
命题的否定是：所有的三角形都不是等边三角形；故命题为假命题．
(3)含有全称量词每一个，命题为全称命题，
命题的否定是：方程x2?8x?10=0的至少有一个根是奇数．故命题为假命题．
19.解：(1)令t=2x(1≤t≤16)，则y=f(x)=t2?5t?6，
对称轴t=52，当t=52时，即x=log252，取得最小值?494；
当t=1时，y=?10，当t=16时，y=170．
则x=4时，取得最大值170．
(2)若?x∈[0,4]，使f(x)+12?a?2x≥0成立，
令t=2x(1≤t≤16)，
即为t2?5t+6?at≥0，即有a≤t+6t?5的最大值．
由于t+6t?5在[1,6)递减，在(6,16]递增，
当t=1时，t+6t?5=2；当t=16时，t+6t?5=918．
即有t=16取得最大值．
则a≤918．