1.5.2全称量词命题和存在量词命题的否定-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册练习（Word含解析）

全称量词命题和存在量词命题的否定巩固练习
一、选择题
命题p：?a∈R，使得x2+ax+1=0有解，则?p为（ ）
A. ?a∈R，使得x2+ax+1≠0有解
B. ?a∈R，使得x2+ax+1=0无解
C. ?a∈R，都有x2+ax+1=0无解
D. ?a∈R，都有x2+ax+1≠0无解
命题“?x0∈R，x2+3x+2≤0”的否定是（ ）
A. “?x∈R，x2+3x+2>0” B. “?x0?R，x2+3x+2≤0”
C. “?x∈R，x2+3x+2≤0” D. “?x0∈R，x2+3x+2>0”
下列命题：①?x∈R，x2≥x；②?x∈R，x2≥x；③4≥3；④“x2≠1”的充要条件是“x≠1，或x≠?1”.其中正确命题的个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
有下列命题
(1)若两直线平行，则其斜率相等；
(2)若两直线斜率之积为?1，则两直线乘直；
(3)过点(?1,1)且斜率为2的直线方程为y?1x+1=2；
(4)垂直于x轴的直线平行于y轴，
其中正确命题的个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
由命题“存在x∈R，使e|x?1|?m≤0”是假命题，得m的取值范围是(?∞,a)，则实数a的取值集合是（ ）
A. (?∞,1) B. (?∞,2) C. {1} D. {2}
命题p：?x≤2，x3?8>0的否命题为（ ）
A. ?x≤2，x3?8≤0 B. ?x≤2，x3?8≤0
C. ?x>2，x3?8≤0 D. ?x>2，x3?8≤0
下列命题中，真命题是（ ）
A. ?x0∈R，ex0≤0
B. ?x∈R，2x>x2
C. a+b=0的充要条件是ab=?1
D. a>1，b>1是ab>1的充分条件
下列说法正确的是（ ）
A. 若p：?x∈R，x2+3x+5>0，则￢p：?x0∈R，x02+3x0+5<0
B. “若α=π3，则cosα=12”的否命题是“若α=π3，则cosα≠12”
C. 已知A，B是△ABC的两个内角，则“A>B”是“sinA>sinB”的充要条件
D. 命题“p∨q为真”是命题“p∧q为真”的充分不必要条件
下列说法正确的是（ ）
A. 若“x=π4，则tanx=1”的逆命题为真命题
B. 在△ABC中，sinA>sinB的充要条件是A>B
C. 函数f(x)=sinx+4sinx，x∈(0,π)的最小值为4
D. ?x∈R，使得sinx?cosx=35
命题“?x∈R，sinx>1”的否定是（ ）
A. ?x∈R，sinx≤1 B. ?x∈R，sinx>1
C. ?x0∈R，sinx0≤1 D. ?x0∈R，sinx0>1
下列命题中，假命题是（ ）
A. ?x∈R，3x?2>0 B. ?x0∈R，tanx0=2
C. ?x0∈R，lgx0<2 D. ?x∈N?，(x?2)2>0
二、填空题
命题p：?x>1，使x2?2x?3≠0的否定是______．
给出以下命题：
①“a=0”是“函数f(x)=x2+ax，(x∈R)为偶函数的充要条件”；
②?x∈N，使x2≤x；
③命题“若α是锐角，则sinα>0”的否命题
其中说法正确的是______．
写出命题“矩形的对角线相等”的否定______．
三、计算题
已知椭圆C：x24+y23=1(y≠0)，其左右焦点分别为F1，F2.对于命题p：“?点P∈C，∠F1PF2<π2”.写出?p，判断?p的真假，并说明理由．
命题p：f(x)=ax?sin2x在R上单调递增；命题q：g(x)=x3?3x2+a只有唯一的零点．若命题p和命题q中有且只有一个为真，求a的范围．
已知命题p：?x∈R，使得x2?2x+m<0，命题q：方程x2m+1+y22?m=1表示双曲线．
(1)写出命题p的否定形式；
(2)若命题p为假，命题q为真，求实数m的取值范围．
答案和解析
1.C
解：命题p：?a∈R，使得x2+ax+1=0有解，是一个特称命题，
其否定是一个全称命题．
故?p：?a∈R，都有x2+ax+1=0无解，
2.A
解：∵特称命题的否定是全称命题．
∴命题“?x0∈R，x2+3x+2≤0”的否定是：?x∈R，x2+3x+2>0．
3.C
解：当x=0.1时x2≥x不成立，故①不正确；
显然②正确；
③是“4>3或4=3”，正确；
④x2≠1的充要条件是x≠1且x≠?1，故④不正确．
故选：C．
①?x∈R，x2≥x，可找出反例，证明①不正确；②?x∈R，x2≥x，找出一个使②成立的x即可；③4≥3，成立；④“x2≠1”的充要条件是“x≠1，或x≠?1”，不成立．x2≠1的充要条件是x≠1且x≠?1．
4.B
解：若两直线的斜率都存在且平行，则其斜率相等，故(1)错误；
若两直线斜率之积为?1，则两直线乘直，故(2)正确；
过点(?1,1)且斜率为2的直线方程为y?1=2(x+1)，即2x?y+3=0，而非y?1x+1=2(x≠?1)，故(3)错误；
垂直于x轴的直线可能为y轴或平行于y轴，故(4)错误．
其中正确的命题个数为1．
5.C
解：∵命题“存在x∈R，使e|x?1|?m≤0”是假命题，
∴命题“?x∈R，e|x?1|?m>0”是真命题，
即m故实数a的取值集合是{1}，
6.D
解：因为全称命题的否定是特称命题，
所以命题p：?x≤2，x3?8>0，则命题P的否定是?x>2，x3?8≤0．
7.D
试题分析：利用指数函数的单调性判断A的正误；
通过特例判断，全称命题判断B的正误；
通过充要条件判断C、D的正误；
因为y=ex>0，x∈R恒成立，所以A不正确；
因为x=?5时2?5<(?5)2，所以?x∈R，2x>x2不成立．
a=b=0时a+b=0，但是ab没有意义，所以C不正确；
a>1，b>1是ab>1的充分条件，显然正确．
8.C
解：若p：?x∈R，x2+3x+5>0，则￢p：?x0∈R，x02+3x0+5≤0，故A错误；
“若α=π3，则cosα=12”的否命题是“若α≠π3，则cosα≠12”，故B错误；
已知A，B是△ABC的两个内角，由A>B?a>b?sinA>sinB，可知，“A>B”是“sinA>sinB”的充要条件，故C正确；
命题“p∨q为真”是命题，说明p、q中至少有一个为真命题，反之，若“p∧q为真”，则p、q均为真，
∴命题“p∨q为真”是命题“p∧q为真”的必要不充分条件，故D错误．
9.B
解：对于A，若tanx=1，则x=kπ+π4，故错；
对于B，在△ABC中，sinA>sinB?2RsinA>2RsinB?a>b?A>B，故正确；
对于C，函数f(x)=sinx+4sinx，x∈(0,π)，当sinx=1时，f(x)有最小值为5，故错；
对于D，sinx?cosx=12sin2x≤12<35，故错．
10.C
解：∵全称命题否定是特称命题，
∴命题“?x∈R，sinx>1”的否定是：?x0∈R，sinx0≤1．
11.D
解：①令u=x?2，则u∈R，根据指数函数的性质，3u>0，即?x∈R，3x?2>0，A为真命题．
②由于函数y=tanx值域为R，所以tanx=2必有解，即?x0∈R，tanx0=2，B为真命题．
③根据对数函数的性质，当0④当x=2时，(x?2)2=0，?x∈N?，(x?2)2>0为假命题
12.?x0>1,x02?2x0?3=0
解：由全称命题的否定为特称命题，可得
命题p：?x>1，使x2?2x?3≠0的否定是?x0>1,x02?2x0?3=0，
13.①②
解：①若“a=0”则f(x)=x2+ax=x2为偶函数，
若f(x)=x2+ax为偶函数，则f(?x)=f(x)，即x2?ax=x2+ax，则?a=a，则a=0，
即“a=0”是“函数f(x)=x2+ax，(x∈R)为偶函数的充要条件”；故①正确，
②当n=0或1时，不等式x2≤x成立，故②正确；
③命题“若α是锐角，则sinα>0”的逆命题为若sinα>0，则α是锐角，错误当α=2π3时，满足sinα>0，但α=2π3不是锐角，
则逆命题为假命题，则命题的否命题也是假命题，故③错误，
14.存在一个矩形的对角线不相等
解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“矩形的对角线相等”的否定：存在一个矩形的对角线不相等．
15.解：￢p：?点P∈C，∠F1PF2≥π2，该命题为假命题；
理由如下：
因为∠F1PF2≥π2?PF1?PF2≤0；
设P(x,y)，F1(?1,0)，F2(1,0)，PF1=(?1?x,?y),PF2=(1?x,?y)；
∴PF1?PF2=x2+y2?1≤0时，x2+3?34x2?1≤0；
即x2≤?8，无解；
所以￢p为假命题．
￢p容易写出为，￢q：?点P∈C，∠F1PF2≥π2，由于∠F1PF2≥π2?PF1?PF2≤0，可设P(x,y)，从而可求出PF1?PF2，并且可得到x2≤?8，显然不成立，从而得出￢p为假命题．
16.解：p真，f′(x)=a?2cos2x≥0恒成立，则a≥2；
q真，则g(x)满足极大值为负或极小值为正，又g′(x)=3x2?6x=0，得x=0或x=2；
∴极大值g(0)=a<0，极小值g(2)=a?4>0，即a<0或a>4，
∴当p真q假时：2≤a≤4，当p假q真时：a<0，
故a的范围是：a<0或2≤a≤4
17.解：(1)命题p的否定形式：
￢p：?x∈R，使得x2?2x+m≥0，
(2)∵命题p：?x∈R，使得x2?2x+m<0为假命题，
∴4?4m≤0，
∴m≥1，①
∵命题q：方程x2m+1+y22?m=1表示双曲线为真命题，
∴(m+1)(2?m)<0，②
联立①②，得m>2．
∴实数m的取值范围(2,+∞)．