2.2基本不等式-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册练习（Word含解析）

基本不等式巩固练习
一、选择题
若a,b,c,d,m,n均为正数，p=ab+cd,q=ma+nc?bm+dn，则p,q的大小关系是(??? )
A. p>q B. p?q C. p=q D. p?q
0 A. a2+b2 B. a+b C. 2ab D. 2ab
已知m=a+1a?2(a>2)，n=22?x2(x<0)，则m，n之间的大小关系是(??? )
A. m>n B. m在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，∠ABC=120?，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=2，则9a+c的最小值为（ ）
A. 12 B. 32 C. 24 D. 18
已知a>32，则2a+12a?3的最小值为（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
某产品的产量第一年的增长率为p，第二看的增长率为q，设这两年平均增长率为x，则有(??? )
A. x=p+q2 B. x已知a>0，b>0，若a+b=4，则（ ）
A. a2+b2有最小值 B. ab有最小值
C. 1a+1b有最大值 D. 1a+b有最大值
设非零实数a、b，则“a2+b2≥2ab”是“ab+ba≥2”成立的(????)
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
建造一个容积为8?m3，深为2?m的长方体无盖水池，若池底的造价为每平方米120元，池壁的造价为每平方米80元，则这个水池的最低造价为
A. 1120元 B. 1280元 C. 1760元 D. 1960元
若实数x，y满足x2y2+x2+y2=8，则x2+y2的取值范围为(????)
A. [4,8] B. [8,+∞) C. [2,8] D. [2,4]
二、填空题
已知x,y均为正数，且x+y=1，则1x+1y的最________值是________，此时x=________，y=________．
若x>y>0，则2x4+1y(x?y)的最小值是______．
已知实数a，b，c满足a2?8a?bc+7=0，b2+c2+bc?6a+6=0，则实数a的取值范围是??????????．
P为椭圆x29+y24=1上异于顶点的任意一点，过P作直线PA、PB分别与圆x2+y2=4相切于A、B两点，则直线AB与两坐标轴围成的三角形面积最小值为___________．
(1)已知0(2)若a>0，b>0，且1a+1b=ab，则a3+b3的最小值为______ ．
三、计算题
已知a,b,c都是正数，求证：(a+b)(b+c)?(c+a)≥8abc．
(1)用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短？最短的篱笆长多少？(2)用长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
若a>0,b>0，且2a+b+2=3ab．
(1)求ab的最小值；
(2)是否存在a,b，使得a3+b3=42
(1)若正数a，b满足2a+8b=1，求a+b的最小值；
(2)若正数x，y满足x+y+8=xy，求xy的取值范围。
答案和解析
1.D
解：因为a,b,c,d,m,n均为正数
q=ma+nc?bm+dn=ma+ncbm+dn
=ab+cd+nbcm+madn
≥ab+cd+2nbcm×madn
=ab+cd+2abcd
=ab+cd=p，(当且仅当nbcm=madn时等号成立)
故q≥p，
2.C
解：∵0∴a+b>2ab,a2+b2>2ab，
又2ab?2ab=2abab?1<0，
∴2ab<2ab，
∴这四个中最小的是2ab．
故选C．
3.A
解：m=a+1a?2=a?2+1a?2+2≥4，a>2，当且仅当a=3时取等号，
由n=22?x2(x<0)，则n<4，
∴m>n，
4.B
解：由题意得12acsin120°=12×2asin60°+12×2csin60°，
即ac=2a+2c，
得1a+1c=12，
则9a+c=2(9a+c)(1a+1c)
=2(ca+9ac+10)≥2(2ca?9ac+10)=32，
当且仅当ca=9ac，即c=3a时，取等号，
5.B
解：因为a>32，所以2a?3>0，
2a+12a?3=2a?3+12a?3+3≥2(2a?3)?12a?3+3=5，
当且仅当2a?3=1，即a=2时等号成立．
6.C
解：由题得A(1+p)(1+q)=A(1+x)2?(1+p)(1+q)=(1+x)2．
又∵(1+p)(1+q)≤(1+p+1+q2)2．
∴1+x≤2+p+q2=1+p+q2?x≤p+q2．
7.A
解：∵a>0，b>0，且a+b=4，
a+b≥2ab，∴4≥2ab，∴ab≤4，当且仅当a=b=2时取等号，
a2+b2=(a+b)2?2ab=16?2ab≥8，
a2+b2有最小值8，故A正确；
由上可知ab≤2，当a=b=2时取等号，当a逐渐接近于0，此时b逐渐接近于4，ab逐渐接近于0，ab没有最小值，故ab没有最小值，故B错误；
同样当a逐渐接近于0，此时b逐渐接近于4，1a+1b趋近于+∞，∴1a+1b没有最大值，故C错误；
a+b2=a+b+2ab=4+2ab，由于ab只有最大值，没有最小值，∴a+b只有最大值，没有最小值，
∴1a+b没有最大值，故D错误．
故选：A．
8.B
解：由a2+b2≥2ab可得a?b2≥0，当且仅当a=b≠0时取等号，
当ab<0时，ab+ba<0，则ab+ba≥2不成立，即充分性不成立；
若ab+ba≥2，则ab>0，即ab>0，可以推出a2+b2≥2ab成立，即必要性成立．
故“a2+b2≥2ab”是“ab+ba≥2”成立的必要不充分条件．
9.C
解：∵容积是8m3，深2m，
∴底面积为4m2，
设长xm，则宽4xm，无盖长方体水池的底面面积为4，四个侧面面积为4x+16x，
∴造价y=4×120+4x+16x×80
≥480+80×24x·16x=1760，
当且仅当：4x=16x，即x=2时取等号．
10.A
解：∵x2y2≤x2+y224，
，
∴x2+y2?4x2+y2+8≥0
∴x2+y2≥4，
又x2y2≥0，
∴x2+y2≤8，
∴x2+y2∈4,8．
11.小；4；12；12
解：1x+1y=x+yx+x+yy=2+yx+xy≥2+2yx·xy=4?．
当且仅当yx=xy，即x=y时等号成立，又∵x+y=1，∴x=y=12．
12.6
解：因为x>y>0，所以y(x?y)≤(y+x?y2)2=x24，当且仅当y=x?y即x=2y时取等号，
则2x4+1y(x?y)≥2x4+4x2=2x4+2x2+2x2≥33x4?2x2?2x2=6，
当且仅当2x4=2x2即x=1，y=12时取等号，
13.[1,9]
解法一：将b2+c2+bc?6a+6=0变形为b2+c2+bc=6a?6，将(b+c)2变形表示为a2?2a+1，进而得b，c为方程x2±(a?1)x+a2?8a+7=0的两实根，结合韦达定理进行求解即可．
解法二：将b2+c2+bc?6a+6=0变形为b2+c2+bc=6a?6，再利用不等式b+c2?4bc求解即可．
【解答】
解：解法一：由a2?8a?bc+7=0，可得bc=a2?8a+7，
由b2+c2+bc?6a+6=0，
可得b2+c2+bc=6a?6，
所以(b+c)2=b2+c2+bc+bc=6a?6+a2?8a+7=a2?2a+1，
即b+c=±(a?1)，
因此可得b，c为方程x2±(a?1)x+a2?8a+7=0的两实根，
所以Δ=[±(a?1)]2?4(a2?8a+7)≥0，
即a2?10a+9≤0，解得1≤a≤9.
解法二：由a2?8a?bc+7=0，可得bc=a2?8a+7，
由b2+c2+bc?6a+6=0，可得b2+c2+bc=6a?6，
所以(b+c)2=b2+c2+bc+bc=6a?6+a2?8a+7=a2?2a+1，
由(b+c)2≥4bc，得a2?2a+1≥4(a2?8a+7)
即a2?10a+9≤0.
解得1≤a≤9.
14.83
解：设P(x0,y0)为椭圆x29+y24=1上的点，则x029+y024=1，
∴x029+y024=1?2x029×y024=13|x0||y0|，
即|x0||y0|?3，当且仅当2|x0|=3|y0|时等号成立，
以OP为直径的圆的方程为x?x022+y?y022=x02+y024，
整理得，x2+y2?x0x?y0y=0
又圆x2+y2=4，
两圆方程相减得，直线AB的方程为x0x+y0y=4，
?令x=0，得y=4y0，
令y=0，得x=4x0，
则直线AB与两坐标轴围成的三角形面积S=12×16|x0||y0|?83，
则三角形面积最小值为83．
15.(1)12
(2)42
解：由0所以有x(3?3x)=3?x(1?x)≤3?[x+(1?x)2]2=34，
当且仅当x=1?x，即x=12时，取等号．
故答案为12．
(2)【分析】
本题主要考查基本不等式在最值中的应用，要注意检验等号成立条件是否具备，属于基础题．
由条件利用基本不等式求得ab≥2，再利用基本不等式求得a3+b3的最小值．?
解：∵a>0，b>0，且且1a+1b=ab，?
∴ab=1a+1b≥21ab，?
∴ab≥2，?
当且仅当a=b=2时取等号．?
∵a3+b3?≥2(ab)3≥223=42，当且仅当a=b=2时取等号，?
∴a3+b3的最小值为42.?
故答案为42?．
16.：∵a,b,c都是正数，
∴a+b≥2ab>0(当且仅当a=b时，取等号)，
b+c≥2bc>0(当且仅当b=c时，取等号)，
a+c≥2ac>0(当且仅当c=a时，取等号)．∴(a+b)(b+c)(c+a)≥2ab?2bc?2ac=8abc，
即(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc．
17.解：(1)设矩形菜园的长为x??m，宽为y??m，
则xy=100，篱的长为2(x+y)m．
由x+y2≥xy，可得x+y≥2100，
所以2(x+y)≥40.等号当且仅当x=y时成立，
此时x=y=10.此时2(x+y)=40m
所以这个矩形的长、宽各都为10m时，所用篱笆最短，最短的篱笆长40m;
(2)设矩形的长和宽分别为xm，ym，x>0，y>0，
∴2(x+y)=36，
∴x+y=18，
∵x>0，y>0，
∴矩形的面积S=xy≤(x+y2)2=92=81，
当且仅当x=y=9时取“=”，
∴当长和宽都为9m时，面积最大为81m2．
18.解：(1)由已知得?3ab=2a+b+2≥22ab+2，
所以?3ab2?22ab?2≥0，
得?ab≥2，即ab?2，
当且仅当2a=bab=2即a=1,b=2时取“=”号，
故?ab的最小值是2．
(2)因为a3+b3≥2a3b3，
当且仅当a=b时取“=”号，
由(1)得ab≥2，
当且仅当a=1,b=2时取“=”号，
所以，a3+b3>42，
即不存在a,b，使得a3+b3=42．
19.解：(1)因为2a+8b=1，所以a+b=(a+b)(2a+8b)=2+2ba+8ab+8≥10+22ba×8ab=18，
当且仅当a=6，b=12时取等号，
所以a+b最小值为18；
(2)因为xy=x+y+8≥2xy+8，当且仅当x=y时取等号，
所以xy2?2xy?8≥0，
即(xy?4)(xy+2)≥0，
所以xy≥16．