2.1等式性质与不等式性质-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册练习（Word含解析）

等式性质与不等式性质巩固练习
一、选择题
如果a∈R，且a2+a<0，那么a，a2，?a的大小关系为（ ）
A. a2>a>?a B. ?a>a2>a C. ?a>a>a2 D. a2>?a>a
已知a，b为实数，则“ab>b2”是“a>b>0”的? (??? )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
下列命题为真命题的是（ ）．
A. 若a>b>0，则ac2>bc2 B. 若a>b>0，则a2>b2
C. 若a设0 A. 12 B. a C. 2ab D. a2+b2
已知a<0，?1 A. ab>a>ab2 B. a>ab>ab2 C. ab>ab2>a D. ab2>a>ab
若a A. a2>b2 B. 1a>1b C. a31a
已知0 A. MN C. M=N D. 不确定
已知，c>1，则(????)
A. logacC. abc已知a，b为非零实数，且a A. a2 二、填空题
不等式x4≥x13的解集为??????????．
设a，b是非零实数，若a已知算式20?□=2×□，在方框中填入两个正整数，使它们的乘积最大，则这两个正整数之和是______．
若(1?2x)5的展开式中的第二项小于第一项但不小于第三项，则实数x的取值范围是________．
三、解答题
若a,b,c,d是正实数，ab=cd，且a最大，试比较a+d与b+c的大小．
判断下列各题的真假，并说明理由：
(1)如果a>b，那么a?c>b?c；
(2)如果a>b，那么ac>bc；
(3)如果ac(4)如果ac2>bc2，那么a>b；
已知(x+y)3=x3+3x2y+3xy2+y3，x3±y3=x±y(x2?xy+y2)
(Ⅰ)已知a>0，b>0，a+b=2，证明以a3+b3≥2；
(Ⅱ)已知a>0，b>0，a3+b3=2，证明a+b≤2．
已知函数f(x)=2x,x>1?3x?2,x≤1
(1)比较f(1)与f(2)的大小关系；
(2)求不等式f(x)>12的解集．
答案和解析
1.B
解：因为a2+a<0，
即a2因此?a>a2>0，
所以a<0，
有?a>a2>a．
2.B
解：a>b>0?ab>b2，反之不一定成立，例如：a=?2，b=?1，
∴“ab>b2”是“a>b>0”的必要不充分条件，
3.B
解：A.当c=0时，ac2=bc2=0，因此A不是真命题;
B.因为a>b>0，所以由不等式的性质可得a2>b2，因此B是真命题;
C.取a=?2，b=?1，此时aab>b2，因此C不是真命题;
D.取a=?2，b=?1，此时a1b，因此D不是真命题，
综上可得，B为真命题．
故选B．?
4.D
解：因为0则由b?a2>0得b2+a2?2ab>0，①
由b+a2=1得b2+a2+2ab=1，②
由①+②得2b2+a2>1，即a2+b2>12．
由②+①×(?1)得2ab<12，
因此a2+b2>12>2ab，12>a，
所以a2+b2最大．
故选D．
5.C
解：∵a<0，?1∴a?ab2=a(1?b2)<0，∴aab2?ab=ab(b?1)<0．
∴a6.D
解：∵aA，a2?b2=(a+b)(a?b)>0，正确；
B，ab>0，不等式a1b，正确；
C，由y=x3是R上的单调增函数可知正确；
D，取a=?2，b=?1，
则1a?b=?1<1a=?12．
此时D不成立．
故选D．
7.B
解：M?N=a1a2?(a1+a2?1)
=a1a2?a1?a2+1
=(a1?1)(a2?1)，
又0则(a1?1)(a2?1)>0，
即M?N>0，
所以M>N．
8.D
解：取a=14，b=12，c=2，
得A、B、C错误，D正确，
9.C
解：对于A，若a=?3，b=2，则不等式a2对于B，若a=1，b=2，则不等式1a<1b不成立；
对于C，a3b2?a2b3=a2b2(a?b)<0，不等式成立；
对于D，若c=0，则不等式ac210(?∞,0]∪[1,+∞)
解：x4≥x13?x12?x?0?xx11?1?0，得x?1或x?0，
所以不等式x4≥x13的解集为(?∞,0]∪[1,+∞)，
故答案为(?∞,0]∪[1,+∞).
11.1ab2<1a2b
解：∵a取a=?2，b=1，则ba=?12，ab=?2，∴ba而∵a故只有：1ab2<1a2b一定成立．
故答案为：1ab2<1a2b一定成立．
通过取特殊值可否定a212.15
解：设a，b∈N?，满足20?a=2b，则a=20?2b>0，1≤b<10，b∈N?.可得ab=b(20?2b)=?2(b?5)2+50≤50.当且仅当b=5，a=10时取等号．
∴在横线中填入两个正整数分别为10，5时，可使它们的乘积最大．
故答案分别为：15
设a，b∈N?，满足20?a=2b，则a=20?2b>0，1≤b<10，b∈N?.可得ab=b(20?2b)=?2(b?5)2+50，利用二次函数的单调性即可得出．
13.?11014.解：设ab=cd=k，则a=bk,c=dk，
又a最大，故a>b,∴k>1，
∵(a+d)?(b+c)=(a?c)+ck?ak=(a?c)1?1k，
又k>1,1k<1,1?1k>0，
又a>c,a?c>0,
∴a+d>b+c?．
15.解：(1)真命题，由不等式的性质可知为真命题；
(2)假命题，若c<0，该命题错误；
(3)假命题，若c<0，该命题错误；
(4)真命题，由题意得，此时c2>0，由不等式的性质可知为真命题；
16.证明：(Ⅰ)a3+b3=(a+b)(a2?ab+b2)=2[(a+b)2?3ab]≥2[22?3(a+b2)2]=2，
即a3+b3≥2，当且仅当a=b=1时取等号；
(Ⅱ)因为a>0，b>0，
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=2+3ab(a+b)≤2+3(a+b2)2(a+b)=2+3(a+b)34，
∴(a+b)x≤8，当且仅当a=b时取等号，
因此a+b≤2.
17.解：(1)∵f(1)=?5，f(2)=1
∴f(1)(2)当x>1时，2x>1，解得1当x≤1时，?3x?2>12，解得x∴不等式f(x)>12的解集为x|x