2.3二次函数与一元二次方程、不等式-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册练习（Word含解析）
文档属性
| 名称 | 2.3二次函数与一元二次方程、不等式-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册练习（Word含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 85.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-07-20 15:20:21 | ||
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文档简介
二次函数与一元二次方程、不等式巩固练习
一、选择题
已知不等式x2?3x+t<0的解集为{x?10对于任意的x∈R恒成立，则实数m的取值范围为(? ?)
A. (2,?+∞) B. C. (0,?2) D. [0,?2)
一元二次不等式2kx2+kx?38<0对一切实数x都成立，则k的取值范围是(????)
A. (?3,0) B. (?3,0]
C. [?3,0] D. (?∞,?3)∪[0,+∞)
已知关于x的不等式x2?4ax+3a2<0(a<0)的解集为(x1,x2)，则x1+x2+ax1x2的最大值是(??? )
A. 63 B. ?233 C. 433 D. ?433
若函数y=ax2+ax+1的图象恒在函数y=2x2+2x?1的图象上方，则实数a的最小值为(? ?)
A. 2 B. 3 C. 5 D. 10
设a∈R，若关于x的不等式x2?ax+1≥0在1≤x≤2上有解，则(? ? ? )
A. a≤2 B. a≥2 C. a≤52 D. a≥52
已知不等式x2+ax+b<0的解集是x|?1 A. ?3 B. 1 C. ?1 D. 3
不等式2x2?x?1>0的解集是??? (?? )
A. ?∞,?12?1,+∞ B. ?∞,1?2,+∞
C. 1,+∞ D. ?12,1
若00的解集是(? )
A. (1a,a) B. (a,1a)
C. (?∞,1a)?(a,+∞) D. (?∞,a)?(1a,+∞)
已知不等式xy≤ax2+2y2对于x∈[1,2],y∈2,3恒成立，则a的取值范围是(? )
A. 1,+∞ B. ?1,4 C. ?1,+∞ D. ?1,6
关于x的一元二次方程x2+(a2?2a)x+a?1=0的两个实数根互为相反数，则a的值为(????)
A. 2 B. 0 C. 1 D. 2或0
若命题p:?x∈R,ax2+2ax?4≥0为假命题，则a的取值范围是(?? )
A. (?4,0] B. [?4,0) C. [?3,1] D. [?3,2]
在下列不等式中，解集是空集的不等式是（ ）
A. x2?4x+4≤0 B. x2?2C. 3x2+3x+2<0 D. 2x2>0
下列不等式中，解集是?的是(??? )
A. 2x2?3x+2>0 B. x2+4x+4≤0
C. 4?4x?x2<0 D. ?3+2x?x2>0
二、填空题
若不等式3x2?4x+k+1≤0的解集中仅有一个元素，则k等于________．
函数y=1x2?2的定义域是________．
已知不等式x2?2x?3<0的解集是A，不等式x2+x?6<0的解集是B，则A?B=________．
不等式?x2?2x+5>2x的解集是________．
已知函数f(x)=13x3+x2+ax，若g(x)=1ex，对任意x1∈[?1,3]，存在x2∈[?1,3]，使f?’(x1)≤g(x2)成立，则实数a的取值范围是_________．
三、计算题
已知函数f(x)=ax2?(a+1)x+2(a∈R)．
(Ⅰ)当a=2时，解不等式f(x)>1；
(Ⅱ)若对任意x∈[?1,3]，都有f(x)≥0成立，求实数a的取值范围．
已知f(x)=2x2+bx+c，不等式f(x)<0的解集为(0,2)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若对于任意的x∈[?1,1]，不等式f(x)+t≤2恒成立，求t的取值范围．
已知二次函数f(x)=x2+mx?6(m>0)的两个零点为x1和x2，且x2?x1=5．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)解关于x的不等式f(x)<4?2x．
一个汽车制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x(辆)与创造的价值y(元)之间有如下的关系：y=?2x2+220x.若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？
答案和解析
1.D
解：由题意得：t=1×2=2，
则不等式mx2+2mx+t>0，即mx2+2mx+2>0对于任意的x∈R恒成立，
等价于m=0或m>04m2?8m<0，
解得：0≤m<2．
则实数m的取值范围为[0,?2),
2.A
解：由一元二次不等式2kx2+kx?38<0对一切实数x都成立，
则k<0Δ=k2?4×2k×(?38)<0，
解得?33.D
解：不等式x2?4ax+3a2<0(a<0)的解集为(x1,x2)，
根据韦达定理，可得：x1x2=3a2，x1+x2=4a，
那么：x1+x2+ax1x2=4a+13a．
∵a<0，
∴?(4a+13a)≥2(?4a)×(?13a)=433，
即4a+13a≤?433，当且仅当a=?36时，等号成立，
故x1+x2+ax1x2的最大值为?433．
4.A
解：由题知，ax2+ax+1>2x2+2x?1，
即a?2x2+a?2x+2>0对x∈R恒成立，
当a=2时，2>0恒成立;
当a≠2时，由二次函数图象知，a?2>0Δ=a?22?8a?2<0，解得a>22所以2综上所述，实数a的取值范围为[2,10)．
所以a的最小值为2，
5.C
解：由题意得：二次函数fx=x2?ax+1的图象开口向上，
当，满足题意，
当Δ>0f(1)≥0或?f(2)≥0，解得a当，满足题意，
综上所述：a?52．
6.A
解：不等式x2+ax+b<0的解集是{x|?1∴方程x2+ax+b=0的实数根是?1和2，
由根与系数的关系知，
a=?(?1+2)=?1，
b=?1×2=?2，
∴a+b=?1?2=?3．
7.A
解：不等式2x2?x?1>0，
∴(x?1)(2x+1)>0，
解得x1，
∴不等式的解集是(?∞,?12)∪(1,+∞)．
8.B
解：∵(a?x)(x?1a)>0，
故(x?a)(x?1a)<0，
∵0因此不等式的解为a9.C
解：由题意可知：不等式xy≤ax2+2y2对于x∈[1,2]，y∈[2,3]恒成立，
即：a≥yx?2(yx)2对于x∈[1,2]，y∈[2,3]恒成立，
令t=yx，则1≤t≤3，
∴a≥t?2t2在[1,3]上恒成立，
∵u=?2t2+t=?2(t?14)2+18，
∴umax=?1，
∴a≥?1．
10.B
解：由题意x2+(a2?2a)x+a?1=0的两实根为相反数，
则Δ>0x1+x2=0,
即?a2?2a2?4a?1>02a?a2=0，解得a=0，
11.A
解：∵命题为假命题，
∴￢p：“?x∈R，ax2+2ax?4<0”为真命题，
当a?=0时，ax2+2ax?4<0显然成立；
当a≠0时，则有a<0Δ=2a2+16a<0，解得?4综上，a的取值范围是(?4,0]．
12.C
解：A.x2?4x+4?0，(x?2)?≤0，所以不等式的解集为{x|x=2}；
B.x2?2C.3x2+3x+2<0，由于△=3??4×3×2<0，所以解集为空集；
D.2x2>0?，则x≠0，所以解集不为空集．
13.D
解：A.2x2?3x+2>0，由于△=b??4ac<0，所以不等式解集为R；
B.x2+4x+4≤0，(x+2)?≤0，所以不等式解集为{x|x=?2}；
C.4?4x?x2<0，即x?+4x?4>0，由于△>0，所以不等式解集不为?；
D.?3+2x?x2>0?，即x??2x+3<0，由于△<0，所以不等式解集为?．
14.13
解：∵不等式3x2?4x+k+1?0的解集中只有一个元素，
∴方程3x2?4x+k+1=0只有一个根，
∴Δ=16?12(k+1)=0，
解得k=13．
故答案为13．
15.(?∞,?2)?(2,+∞)
解：由题意得，x2?2>0，
解得，x>2或x∴函数的定义域为(?∞,?2)?(2,+∞)?．
16.(?1,2)
解：x2?2x?3<0的解集为(?1,3)，所以A=(?1,3)，
x2+x?6<0的解集为(?3,2)，所以B=(?3,2)，
∴A∩B=?1,2．
17.x|?5解：不等式?x2?2x+5>2x等价于x2+4x?5<0，
即x+5x?1<0，解得?518.
解：解：对任意，存在，使f′(x1)?g(x2)，
，
∵函数，，
，
在[?1,3]上单调递增，
，
g(x)在上单调递减，则，
，解得．
∴实数a的取值范围是
19.解：(Ⅰ)a=2时，函数f(x)=2x2?3x+2，
不等式f(x)>1化为2x2?3x+1>0，
解得x<12或x>1；
所以该不等式的解集为{x|x<12或x>1}；
(Ⅱ)由对任意x∈[?1,3]，都有f(x)≥0成立；
讨论：①当a=0时，f(x)=?x+2在区间[?1,3]上是单调减函数，
且f(3)=?3+2=?1<0，不满足题意；
②当a>0时，二次函数f(x)图象的对称轴为x=12+12a>12，
若12+12a<3，则a>15，函数f(x)在区间[?1,3]上的最小值为f(12+12a)≥0，
即a2?6a+1≤0，解得3?22≤a≤3+22，取15若12+12a≥3，则0解得a≥16，取16≤a≤15；
当a<0时，二次函数f(x)图象的对称轴为x=12+12a<12，
函数f(x)在区间[?1,3]上的最小值为f(3)≥0，解得a≥16，此时a不存在；
综上，实数a的取值范围是16≤a≤3+22．
20.解：(1)∵不等式的解集是(0,2)，即的解集是(0,2)，
和2是方程的两个根，
由根与系数的关系知：?b2=2,c2=0，
∴b=?4,c=0，
∴f(x)=2x2?4x；
(2)f(x)+t?2在上恒成立等价于2x2?4x+t?2?0恒成立，
设g(x)=2x2?4x+t?2，则g(x)在上的最大值小于或等于0，
?由二次函数的图象可知，g(x)=2x2?4x+t?2在区间上为减函数，
又g(x)max=g(?1)，
∴g(?1)=4+t?0，即t??4，
故t的取值范围为．
21.解：(1)由题意得：x2+mx?6=0(m>0)的两个根为x1和x2，
Δ=m2+24，
由韦达定理得x1+x2=?mx1x2=?6,
故(x2?x1)2=(x1+x2)2?4x1x2=m2+24=25，
故m2=1，∵m>0，∴m=1，
故f(x)=x2+x?6；
(2)由f(x)<4?2x得，
x2+x?6<4?2x，
即x2+3x?10<0，
即(x+5)(x?2)<0，
解得?5故不等式的解集是{x|?522.解：设在一个星期内大约应该生产x辆摩托车．
根据题意，?2x2+220x>6000，
移项整理，得x2?110x+3000<0．
因为，所以方程x2?110x+3000=0有两个实数根x1=52,x2=60．
由二次函数的图象，得不等式的解为52因为x只能取正整数，所以这条摩托车整车装配流水线在一周内生产的摩托车数量在53?59辆之间时，这家工厂能够获得6000元以上的收益．
一、选择题
已知不等式x2?3x+t<0的解集为{x?1
A. (2,?+∞) B. C. (0,?2) D. [0,?2)
一元二次不等式2kx2+kx?38<0对一切实数x都成立，则k的取值范围是(????)
A. (?3,0) B. (?3,0]
C. [?3,0] D. (?∞,?3)∪[0,+∞)
已知关于x的不等式x2?4ax+3a2<0(a<0)的解集为(x1,x2)，则x1+x2+ax1x2的最大值是(??? )
A. 63 B. ?233 C. 433 D. ?433
若函数y=ax2+ax+1的图象恒在函数y=2x2+2x?1的图象上方，则实数a的最小值为(? ?)
A. 2 B. 3 C. 5 D. 10
设a∈R，若关于x的不等式x2?ax+1≥0在1≤x≤2上有解，则(? ? ? )
A. a≤2 B. a≥2 C. a≤52 D. a≥52
已知不等式x2+ax+b<0的解集是x|?1
不等式2x2?x?1>0的解集是??? (?? )
A. ?∞,?12?1,+∞ B. ?∞,1?2,+∞
C. 1,+∞ D. ?12,1
若0
A. (1a,a) B. (a,1a)
C. (?∞,1a)?(a,+∞) D. (?∞,a)?(1a,+∞)
已知不等式xy≤ax2+2y2对于x∈[1,2],y∈2,3恒成立，则a的取值范围是(? )
A. 1,+∞ B. ?1,4 C. ?1,+∞ D. ?1,6
关于x的一元二次方程x2+(a2?2a)x+a?1=0的两个实数根互为相反数，则a的值为(????)
A. 2 B. 0 C. 1 D. 2或0
若命题p:?x∈R,ax2+2ax?4≥0为假命题，则a的取值范围是(?? )
A. (?4,0] B. [?4,0) C. [?3,1] D. [?3,2]
在下列不等式中，解集是空集的不等式是（ ）
A. x2?4x+4≤0 B. x2?2
下列不等式中，解集是?的是(??? )
A. 2x2?3x+2>0 B. x2+4x+4≤0
C. 4?4x?x2<0 D. ?3+2x?x2>0
二、填空题
若不等式3x2?4x+k+1≤0的解集中仅有一个元素，则k等于________．
函数y=1x2?2的定义域是________．
已知不等式x2?2x?3<0的解集是A，不等式x2+x?6<0的解集是B，则A?B=________．
不等式?x2?2x+5>2x的解集是________．
已知函数f(x)=13x3+x2+ax，若g(x)=1ex，对任意x1∈[?1,3]，存在x2∈[?1,3]，使f?’(x1)≤g(x2)成立，则实数a的取值范围是_________．
三、计算题
已知函数f(x)=ax2?(a+1)x+2(a∈R)．
(Ⅰ)当a=2时，解不等式f(x)>1；
(Ⅱ)若对任意x∈[?1,3]，都有f(x)≥0成立，求实数a的取值范围．
已知f(x)=2x2+bx+c，不等式f(x)<0的解集为(0,2)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若对于任意的x∈[?1,1]，不等式f(x)+t≤2恒成立，求t的取值范围．
已知二次函数f(x)=x2+mx?6(m>0)的两个零点为x1和x2，且x2?x1=5．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)解关于x的不等式f(x)<4?2x．
一个汽车制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x(辆)与创造的价值y(元)之间有如下的关系：y=?2x2+220x.若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？
答案和解析
1.D
解：由题意得：t=1×2=2，
则不等式mx2+2mx+t>0，即mx2+2mx+2>0对于任意的x∈R恒成立，
等价于m=0或m>04m2?8m<0，
解得：0≤m<2．
则实数m的取值范围为[0,?2),
2.A
解：由一元二次不等式2kx2+kx?38<0对一切实数x都成立，
则k<0Δ=k2?4×2k×(?38)<0，
解得?3
解：不等式x2?4ax+3a2<0(a<0)的解集为(x1,x2)，
根据韦达定理，可得：x1x2=3a2，x1+x2=4a，
那么：x1+x2+ax1x2=4a+13a．
∵a<0，
∴?(4a+13a)≥2(?4a)×(?13a)=433，
即4a+13a≤?433，当且仅当a=?36时，等号成立，
故x1+x2+ax1x2的最大值为?433．
4.A
解：由题知，ax2+ax+1>2x2+2x?1，
即a?2x2+a?2x+2>0对x∈R恒成立，
当a=2时，2>0恒成立;
当a≠2时，由二次函数图象知，a?2>0Δ=a?22?8a?2<0，解得a>22
所以a的最小值为2，
5.C
解：由题意得：二次函数fx=x2?ax+1的图象开口向上，
当，满足题意，
当Δ>0f(1)≥0或?f(2)≥0，解得a当，满足题意，
综上所述：a?52．
6.A
解：不等式x2+ax+b<0的解集是{x|?1
由根与系数的关系知，
a=?(?1+2)=?1，
b=?1×2=?2，
∴a+b=?1?2=?3．
7.A
解：不等式2x2?x?1>0，
∴(x?1)(2x+1)>0，
解得x1，
∴不等式的解集是(?∞,?12)∪(1,+∞)．
8.B
解：∵(a?x)(x?1a)>0，
故(x?a)(x?1a)<0，
∵0
解：由题意可知：不等式xy≤ax2+2y2对于x∈[1,2]，y∈[2,3]恒成立，
即：a≥yx?2(yx)2对于x∈[1,2]，y∈[2,3]恒成立，
令t=yx，则1≤t≤3，
∴a≥t?2t2在[1,3]上恒成立，
∵u=?2t2+t=?2(t?14)2+18，
∴umax=?1，
∴a≥?1．
10.B
解：由题意x2+(a2?2a)x+a?1=0的两实根为相反数，
则Δ>0x1+x2=0,
即?a2?2a2?4a?1>02a?a2=0，解得a=0，
11.A
解：∵命题为假命题，
∴￢p：“?x∈R，ax2+2ax?4<0”为真命题，
当a?=0时，ax2+2ax?4<0显然成立；
当a≠0时，则有a<0Δ=2a2+16a<0，解得?4
12.C
解：A.x2?4x+4?0，(x?2)?≤0，所以不等式的解集为{x|x=2}；
B.x2?2
D.2x2>0?，则x≠0，所以解集不为空集．
13.D
解：A.2x2?3x+2>0，由于△=b??4ac<0，所以不等式解集为R；
B.x2+4x+4≤0，(x+2)?≤0，所以不等式解集为{x|x=?2}；
C.4?4x?x2<0，即x?+4x?4>0，由于△>0，所以不等式解集不为?；
D.?3+2x?x2>0?，即x??2x+3<0，由于△<0，所以不等式解集为?．
14.13
解：∵不等式3x2?4x+k+1?0的解集中只有一个元素，
∴方程3x2?4x+k+1=0只有一个根，
∴Δ=16?12(k+1)=0，
解得k=13．
故答案为13．
15.(?∞,?2)?(2,+∞)
解：由题意得，x2?2>0，
解得，x>2或x∴函数的定义域为(?∞,?2)?(2,+∞)?．
16.(?1,2)
解：x2?2x?3<0的解集为(?1,3)，所以A=(?1,3)，
x2+x?6<0的解集为(?3,2)，所以B=(?3,2)，
∴A∩B=?1,2．
17.x|?5
即x+5x?1<0，解得?5
解：解：对任意，存在，使f′(x1)?g(x2)，
，
∵函数，，
，
在[?1,3]上单调递增，
，
g(x)在上单调递减，则，
，解得．
∴实数a的取值范围是
19.解：(Ⅰ)a=2时，函数f(x)=2x2?3x+2，
不等式f(x)>1化为2x2?3x+1>0，
解得x<12或x>1；
所以该不等式的解集为{x|x<12或x>1}；
(Ⅱ)由对任意x∈[?1,3]，都有f(x)≥0成立；
讨论：①当a=0时，f(x)=?x+2在区间[?1,3]上是单调减函数，
且f(3)=?3+2=?1<0，不满足题意；
②当a>0时，二次函数f(x)图象的对称轴为x=12+12a>12，
若12+12a<3，则a>15，函数f(x)在区间[?1,3]上的最小值为f(12+12a)≥0，
即a2?6a+1≤0，解得3?22≤a≤3+22，取15
当a<0时，二次函数f(x)图象的对称轴为x=12+12a<12，
函数f(x)在区间[?1,3]上的最小值为f(3)≥0，解得a≥16，此时a不存在；
综上，实数a的取值范围是16≤a≤3+22．
20.解：(1)∵不等式的解集是(0,2)，即的解集是(0,2)，
和2是方程的两个根，
由根与系数的关系知：?b2=2,c2=0，
∴b=?4,c=0，
∴f(x)=2x2?4x；
(2)f(x)+t?2在上恒成立等价于2x2?4x+t?2?0恒成立，
设g(x)=2x2?4x+t?2，则g(x)在上的最大值小于或等于0，
?由二次函数的图象可知，g(x)=2x2?4x+t?2在区间上为减函数，
又g(x)max=g(?1)，
∴g(?1)=4+t?0，即t??4，
故t的取值范围为．
21.解：(1)由题意得：x2+mx?6=0(m>0)的两个根为x1和x2，
Δ=m2+24，
由韦达定理得x1+x2=?mx1x2=?6,
故(x2?x1)2=(x1+x2)2?4x1x2=m2+24=25，
故m2=1，∵m>0，∴m=1，
故f(x)=x2+x?6；
(2)由f(x)<4?2x得，
x2+x?6<4?2x，
即x2+3x?10<0，
即(x+5)(x?2)<0，
解得?5
根据题意，?2x2+220x>6000，
移项整理，得x2?110x+3000<0．
因为，所以方程x2?110x+3000=0有两个实数根x1=52,x2=60．
由二次函数的图象，得不等式的解为52
同课章节目录
- 第一章 集合与常用逻辑用语
- 1.1 集合的概念
- 1.2 集合间的基本关系
- 1.3 集合的基本运算
- 1.4 充分条件与必要条件
- 1.5 全称量词与存在量词
- 第二章 一元二次函数、方程和不等式
- 2.1 等式性质与不等式性质
- 2.2 基本不等式
- 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
- 第三章 函数概念与性质
- 3.1 函数的概念及其表示
- 3.2 函数的基本性质
- 3.3 幂函数
- 3.4 函数的应用（一）
- 第四章 指数函数与对数函数
- 4.1 指数
- 4.2 指数函数
- 4.3 对数
- 4.4 对数函数
- 4.5 函数的应用（二）
- 第五章 三角函数
- 5.1 任意角和弧度制
- 5.2 三角函数的概念
- 5.3 诱导公式
- 5.4 三角函数的图象与性质
- 5.5 三角恒等变换
- 5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）
- 5.7 三角函数的应用