3.2.1单调性与最大（小)值-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册练习（Word含解析）

单调性与最大（小)值同步练习
一、选择题
若函数f(x)=2x+6,1≤x≤2,x+7,?1≤x<1,则f(x)的最大值、最小值分别为（ ）
A. 10，6 B. 10，8 C. 8，6 D. 以上都不对
函数f(x)=x+x,x∈[0,9]的最大值为(????)
A. 0 B. 2 C. 6 D. 12
一次函数fx=3a?2x+1?a，在[?2,3]上的最大值是f?2，则实数a的取值范围是（ ）
A. a≥23 B. a>23 C. a≤23 D. a<23
已知使不等式2ax2+ax?3>0对任意的a∈[1,3]恒成立的x的取值集合为A，使不等式mx2+(m?1)x?m>0对任意的x∈[1,3]恒成立的m的取值集合为B，则有（ ）．
A. A?(CRB) B. A?B C. B?(CRA) D. B?A
已知函数f(x)是奇函数，且在区间[1,2]上单调递减，则f(x)在区间[?2,?1]上是
A. 单调递减函数，且有最小值?f(2)
B. 单调递减函数，且有最大值?f(2)
C. 单调递增函数，且有最小值f(2)
D. 单调递增函数，且有最大值f(2)
对于函数f(x)=12x?1给出以下说法
(1)f(x)的图像可以由函数y=12x的图像向右移一个单位得到
(2)函数f(x)的值域是{y|y≠0}
(3)函数f(x)在[1,3]的最大值和最小值分别是f(1)，f(3)
则以上判断正确的个数为
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
已知函数f(x)=4x2?mx+5在区间[?2,+∞)上是增函数，在区间(?∞,?2]上是减函数，则f(1)=?(????)
A. ?7 B. 1 C. 17 D. 25
已知函数f(x)=m(x?2)+3,g(x)=x2?4x+3,若对任意x1∈[0,4]，总存在x2∈[1,4]，使得f(x1)>g(x2)成立，则实数m的取值范围是(???? )
A. m∈(?2,2) B. m∈(?32,32) C. m∈(?∞,?2) D. m∈(?32,+∞)
已知f(x)=(x+2)2x2+4，则f(x)在区间[?2,2]上的最大值最小值之和为（）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 8
已知函数fx=ax2+x?1x2，函数gx=2?acos2x?2asinx，若?x1∈1,+∞，?x2∈0,π3，不等式fx1 A. ?∞,710 B. ?710,78 C. 710,78 D. ?∞,78
函数f(x)的图象与函数g(x)=(12)x的图象关于直线y=x对称，则f(2x?x2)的单调减区间为(????)
A. (?∞,1) B. [1,+∞] C. (0,1) D. [1,2]
已知函数f(x)=lg|1+x|+lg|1?x|，则f(x)(????)
A. 是奇函数，且在(1,+∞)上是增函数
B. 是偶函数，且在(1,+∞)上是增函数
C. 是奇函数，且在(1,+∞)上是减函数
D. 是偶函数，且在(1,+∞)上是减函数
二、填空题
函数y=f(x)的定义域为[?4,6]，且在区间[?4,?2]上单调递减，在区间[?2,6]上单调递增，且f(?4)已知函数f(x)=x+4x，函数g(x)=2x+a，若?x1∈12,1，?x2∈[2,3]，使得f(x1)≤g(x2)，则实数a的取值范围是________．
若函效f(x)=x(x+2)(x?a)为奇函数，则实数a的值为__________；且当x≥4时，f(x)的最大值为__________．
已知f(x)是定义在上的偶函数，且在上单调递增.若对任意，不等式恒成立，则2a2+b2的最小值是_______．
三、解答题
已知函数f(x)=log22x?12x+2，
(1)判断函数f(x)的单调性；
(2)当x∈[1,2]时，求函数f(x)的最大值和最小值．
已知函数f(x)=x2?2ax+1．
(1)若对任意的实数x都有f(1+x)=f(1?x)成立，求实数a的值;
(2)若f(x)在区间(1,+∞)上为单调增函数，求实数a的取值范围;
(3)当x∈[?1,1]时，求函数f(x)的最大值．
已知函数f(x)=log2(x2?mx)(m∈R)．
(Ⅰ)若m=1，求f(2)的值；
(Ⅱ)若m<0，函数f(x)在x∈[2,3]上的最小值为3，求，实数m的值．
答案和解析
1.A
解：函数y=2x+6在R上单调递增，且函数y=x+7在R上单调递增，
而当x=1时，2x+6=x+7=8，
故得f(x)在[?1,2]上单调递增，
所以f(x)的最大值为f(2)=10，最小值为f(?1)=6．
2.D
解：设0≤x1∴f(x1)?f(x2)=x1+x1?x2?x2，
=(x1?x2)+(x1?x2)(x1+x2)x1+x2，
=(x1?x2)+x1?x2x1+x2，
=(x1?x2)(1+1x1+x2)，
∵x1∴x1?x2<0，1+1x1+x2>0，
∴f(x1)?f(x2)<0，
∴f(x1)∴f(x)在[0,9]上为增函数，
∴f(x)的最大值为f(9)=9+9=9+3=12，
3.D
解：因为一次函数，在[?2,3]上的最大值是f?2，
则函数f(x)在[?2,3]上为减函数，
则3a?2<0，解得a<23，
4.D
解：令f(a)=(2x2+x)a?3，
因为f(a)>0对任意的a∈[1,3]恒成立，
所以f(3)>0,f(1)>0,即3(2x2+x)?3>02x2+x?3>0,
解得x1，
即，
mx2+(m?1)x?m>0，即m(x2+x?1)>x，
因为当x∈[1,3]时，x2+x?1>0，
所以m>xx2+x?1对任意x∈[1,3]恒成立，
又y=xx2+x?1=1x?1x+1在[1,3]上单调递减，故ymax=1，
故m>1，即B=(1,+∞)．
综上，B?A．
5.B
解：由题意，得f(x)在[1,2]有最小值f(2)，
则f(x)在区间[?2,?1]上是单调递减函数，且有最大值f(?2)=?f(2)，
6.C
解：(1)f(x)=12x?1=12x?12，f(x)的图象应当由y=12x的图象向右平移12个单位得到，故(1)错误；
(2)函数f(x)=12x?1的值域为：?y∈Ry≠0，故(2)正确；
(3)f(x)=12x?1在[1,3]上是单调递减函数，函数的最大值为f(1)，最小值为f(3)，故(3)正确；
7.D
解：由题意知函数f(x)的对称轴方程为x=m8=?2，
∴m=?16，
∴f(x)=4x2+16x+5，
∴f(1)=25．
8.A
解：∵对任意x1∈[0,4]，总存在x2∈[1,4]，使得f(x1)>g(x2)成立，
∴f(x1)min>g(x2)min，
又∵g(x)=x2?4x+3，x2∈[1,4]，
∴g(x)的值域为[?1,3]，
当m=0时，f(x)=3，符合题意；
当m>0时，f(x)=m(x?2)+3为增函数，
又∵x1∈[0,4]，
∴f(x1)min=f(0)=?2m+3，
∴?2m+3>?1，
解得：m<2，
∴0当m<0时，f(x)=m(x?2)+3为减函数，
又∵x1∈[0,4]，
∴f(x1)min=f(4)=2m+3，
∴2m+3>?1，
解得：m>?2，
∴?2综上所述：?29.A
解：由f(x)=x2+4+4xx2+4=1+4xx2+4
令g(x)=4xx2+4，
可得g(?x)=?4xx2+4=?g(x)是奇函数，
可得g(x)区间[?2,2]上的最大值最小值之和为0．
那么f(x)在区间[?2,2]上的最大值为1+g(x)max，最小值为1+g(x)min；
∴f(x)在区间[?2,2]上的最大值最小值之和为2．
10.D
解：函数f(x)=ax2+x?1x2，函数g(x)=2?acos2x?2asinx，
若?x1∈(1,+∞)，?x2∈[0,π3]，使得不等式f(x1)?f(x1)在(1,+∞)上的最大值小于g(x2)在[0,π3]上的最大值．
由f(x)=ax2+x?1x2
=a+x?1x2=?(1x?12)2+a+14，
所以f(x)max=a+14；
由g(x)=2?acos2x?2asinx
=2?a(cos2x+2sinx)
=2+a(2sin2x?2sinx?1)
=2?32a+2a(sinx?12)2，x∈[0,π3]；
∴当a=0时，f(x)max=14，g(x)=2，符合题意；
当a>0时，g(x)在x∈[0,π6]单调递减，在x∈[π6,π3]单调递增，
g(0)=2?a，g(π3)=2+a2?3a，
因为(2?a)?(2+a2?3a)=3a?32a>0，
则g(x)max=2?a；
此时a>02?a>a+14，得出0?当a<0时，g(x)在x∈[0,π6]单调递增，在x∈[π6,π3]单调递减，
则g(x)max=g(π6)=2?32a，
此时a<02?32a>a+14，得出a<0．
综上所述实数a的取值范围为??(?∞,78)，
11.C
解：由题意函数f(x)的图象与函数g(x)=(12)x的图象关于直线y=x对称知，函数f(x)是函数g(x)=(12)x的反函数，
所以f(x)=log12x，
即f(2x?x2)=log12(2x?x2)，
令2x?x2>0，解得0又f(x)=log12x是减函数，t=2x?x2在(?∞,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，
由复合函数的单调性知，f(2x?x2)的单调减区间为(0,1)．
12.B
解：根据题意，函数f(x)=lg|1+x|+lg|1?x|，
函数定义域为x|x≠±1
f(?x)=lg|1?x|+lg|1+x|=f(x)，
则函数f(x)为偶函数．
x>1时，f(x)=lg(1+x)+lg(x?1)=lg(x2?1)，
∵t(x)=x2?1在1,+∞单调递增，y=lgt在(0,+∞)单调递增，
故函数f(x)在(1,+∞)上是增函数，
故选B．
13.f(?2)；f(6)
解：依题意，x∈[?4,?2]时，f(?2)≤f(x)≤f(?4)，
又x∈[?2,6]时，f(?2)≤f(x)≤f(6)，
由于f(?4)故f(x)在[?4,6]上的最大值为f(6)，最小值为f(?2)．
14.12,+∞
解：依题意知f(x)max≤g(x)max．
因为f(x)=x+4x在12,1上是减函数，
所以f(x)max=f12=172．
又g(x)=2x+a在[2,3]上是增函数，
所以g(x)max=g(3)=8+a，
因此172≤8+a，则a≥12．
15.2；13
解：∵函数f(x)=x(x+2)(x?a)为奇函数，
∴f1=?f?1，即1(1+2)(1?a)=??1(?1+2)(?1?a)，
解得a=2；
∴当x≥4时，f(x)=x(x+2)(x?2)=xx2?4=1x?4x，
又f(x)=1x?4x在[4,+∞)上为减函数，
∴当x≥4时，f(x)的最大值为f4=14?1=13．
故答案为2；13．
16.83
解：因为f(x)是偶函数，且在[0,+∞)上单调递增，
所以不等式恒成立，
转化为a+x?b≥x?2x?1，
令gx=a+x?b，?(x)=x?2x?1，
则g(x)图象恒在?(x)图象上方或重合，
易知当a<0时，g(x)图象不可能恒在?(x)图象上方或重合，所以a≥0，
则gx=a+x?b=a+x?b，最低点为(b,a)，
?(x)、g(x)的图象如下图：
由图象可知：点(b,a)在y=|x?2|的图象上或图象上方，
则a≥b?2，即a2≥b?22，
所以2a2+b2≥2b?22+b2=3b2?8b+8=3b?432+83≥83，
则2a2+b2的最小值是83．
故答案为83．
17.解：(1)∵f(x)=log22x?12x+2=log2(1?32x+2)，
∴2x?12x+2>0，即x12，
因为u=1?32x+2为增函数，log2u为增函数，
根据复合函数的单调性，
∴f(x)在(?∞,?1)和(12,+∞)上单调递增．
(2)由(1)知，函数f(x)在[1,2]上单调递增，
故当x=1是函数有最小值，最小值为f(1)=log214=?2，
故当x=2是函数有最大值，最大值为f(2)=log212=?1，
18.解：(1)由题意知函数f(x)=x2?2ax+1的对称轴为x=1，即a=1．
(2)函数f(x)=x2?2ax+1的图像的对称轴为直线x=a．
y=f(x)在区间[1,+∞)上为单调递增函数，得，a≤1.
(3)函数图像开口向上，对称轴为直线x=a，
当a<0时，x=1时，函数取得最大值为：f(x)max=2?2a;
当a>0时，x=?1时，函数取得最大值为：f(x)max=2+2a;
当a=0时，x=1或?1时，函数取得最大值为：f(x)max=2．
19.解：(Ⅰ)若m=1，则f(x)=log2(x2?x)，
可得f(2)=log22=1；
(Ⅱ)若m<0，函数f(x)在x∈[2,3]上的最小值为3，
可令z=x2?mx，可得z的对称轴为x=m2<0，
可得区间[2,3]为函数z=x2?mx的增区间，
即为函数f(x)的增区间，
可得x=2时，f(x)取得最小值，且为3，
则log2(22?2m)=3，
解得m=?2．