4.2.1指数函数的概念-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册练习（Word含解析）

指数函数的概念同步练习
一、选择题
有下列函数：①y=2?3x；②y=3x+1；③y=3x；④y=x3.其中指数函数的个数是(?? )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
若函数f(x)是指数函数，且f(2)=2，则f(x)=?(????)
A. (2)x B. 2x C. (12)x D. (22)x
已知函数f(x)=2x2x?1，若f(?m)=2，则f(m)=(? )
A. 12 B. 0 C. ?1 D. ?2
下列函数是指数函数的是（ ）
A. y=(?2)x B. y=x3 C. y=?2x D. y=2x
今有一组数据，如表所示：
x
1
2
3
4
5
y
3
5
6.99
9.01
11
则下列函数模型中，最接近地表示这组数据满足的规律的一个是（ ）
A. 指数函数 B. 反比例函数 C. 一次函数 D. 二次函数
已知定义在R上的函数fx满足fx=fx+2，且当1≤x<2时，fx=9x?9，则f(?12)=(??? )
A. 0 B. ?6 C. 18 D. ?18
已知常数a>0，函数f(x)=3x3x+ax经过点P(p,85)、Q(q,?35)，若3p+q=16pq，则a的值为(? ?)
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
下列以x为自变量的函数中，是指数函数的是 ? (???)
A. y=(?4)x B. y=πx
C. y=?4x D. y=ax+2(a>0且a≠1)
二、填空题
函数y=a2?3a+3ax是指数函数，则a=________．
指数函数y=4x+2x+1+1的值域是__________．
函数f(x)=(a2?3a+3)ax(a>0,a≠1)是指数函数，则f(?1)=_______
给定下列函数：①y=x2；②y=8x；③y=(a?1)x，a>12且a≠1；④y=(?4)x；⑤y=πx；⑥y=52x2+1；⑦y=xx；⑧y=?10x.其中是指数函数的有________.(填序号)
三、解答题
已知f(x)=(α2?α?1)xα(α是常数)为指数函数，且在第一象限单调递增．
(1)求f(x)的表达式；
(2)讨论函数g(x)=f(x)+3x+2x在(2,+∞)上的单调性，并证明．
已知m>0，a>0且a≠1，函数fx=m2?4m?4ax是指数函数，且f(2)=4．
(Ⅰ)求m和a的值;
(Ⅱ)求f(2x)?2f(x)?3>0的解集．
已知指数函数y=g(x)满足g(3)=8，定义域为R的函数f(x)=1?g(x)m+g(x)是奇函数．
(1)确定y=f(x)和y=g(x)的解析式；
(2)判断函数f(x)的单调性，并用定义证明；
(3)若对于任意x∈[?5,?1]，都有f(ax)+f(?x2+x?4)>0成立，求a的取值范围．
答案和解析
1.B
解：形如y=ax(a>0，且a≠1)的函数称为指数函数，
只有③是指数函数．
2.A
解：设f(x)=ax(a>0,a≠1)，
因为f(2)=a2=2，
解得a=2，
所以f(x)=(2)x．
3.C
解：因为f(?x)+f(x)=2?x2?x?1+2x2x?1=11?2x+2x2x?1=1，
所以f(?m)+f(m)=1，
又f(?m)=2，
那么f(m)=1?2=?1．
4.D
?解：由指数函数的定义知，y=2x是指数函数．
5.C
解：随着自变量每增加1函数值大约增加2，
函数值的增量几乎是均匀的，
故一次函数最接近地表示这组数据满足的规律．
6.C
解：∵定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x)，
∴函数f(x)为周期为2的周期函数，
又∵当x∈[1,2)时，f(x)=9x?9，
∴f(?12)=f(32)=932?9=18，
7.B
解：因为f(x)=3x3x+ax=11+ax3x，
fp=3p3p+ap=11+ap3p=85，ap3p=?38，
fq=3q3q+aq=11+aq3q=?35，即aq3q=?83，
所以a2pq3p+q=1，所以a2pq=3p+q，又因为3p+q=16pq，
所以a2=16，
又因为a>0，所以a=4，
8.B
解：? 由指数函数的定义知，形如y=axa>0,a≠1的函数是指数函数，只有B是正确的．
9.2
解：根据指数函数的定义可得a2?3a+3=1a>0,a≠1?，∴a=2．
故答案为2．
10.(1,+∞)
解：令2x=t(t>0)，
则y=t2+2t+1=(t+1)2，
因为该二次函数在t∈(0,+∞)上递增，
所以y>1，即原函数的值域为(1,+∞)．
故答案为(1,+∞)．
11.????12?
解：函数f(x)=(a2?3a+3)ax(a>0,a≠1)是指数函数，
则a≠1a2?3a+3=1，解得a=2．
所以，f(x)=2x．
所以，f(?1)=12．
故答案为??12?．
12.解：指数函数为y=axa>0且a≠1，很显然①为二次函数，②为指数函数，③底数不一定大于0，故不是指数函数，④底数小于0，不是指数函数，⑤是指数函数，⑥不是指数函数，是指数型函数，⑦不是指数函数，⑧不是指数函数，故答案为②⑤
13.解：(1)由题意可得α2?α?1=1α>0，
∴α=2，
∴fx=x2．
(2)∵gx=x2+3x+2x=x+2x+3，∴gx在2,+∞上单调递增．
证明如下：任取x1，x2∈2,+∞，且x1∴gx1?gx2=x1+2x1+3?x2+2x2+3
=x1?x2+2x1?2x2
=x1?x2x1x2?2x1x2
∵2∴x1?x2<0，x1x2?2>0，x1x2>0，
∴x1?x2x1x2?2x1x2<0，
∴gx1?gx2<0，
即gx1∴gx在2,+∞上单调递增．
14.解：(Ⅰ)由题意得，m2?4m?4=1，
解得m=5或m=?1(不合题意，舍去)，
由f2=a2=4，
∴a=2;
(Ⅱ)由(Ⅰ)得，fx=2x，
∴22x?2×2x?3>0，
设2x=tt>0，原不等式化为t2?2t?3>0，
整理得t?3t+1>0，解得t>3或t∵t>0，
∴t>3，
∴2x>3得，，
∴原不等式的解集为．
15.解：(1)设gx=ax(a>0且a≠1)，
∵g(3)=a3=8，
∴a=2，
∴g(x)=2x，
∴f(x)=1?2xm+2x，
∵f(x)是奇函数，
∴f(?1)+f(1)=0，
即1?2?1m+2?1+1?2m+2=0，
解得m=1．
经检验，当m=1时，f(x)=1?2x1+2x为奇函数，
∴f(x)=1?2x1+2x;
(2)f(x)是定义在R上的减函数，
证明如下：任取x1，x2∈R，x1则f(x1)?f(x2)=1?2x11+2x1?1?2x21+2x2=22x2?2x11+2x11+2x2．
∵x1∴2x2?2x1>0，
又∵1+2x1>0，1+2x2>0，
∴f(x1)?f(x2)>0，
∴f(x1)>f(x2)，
∴f(x)是定义在R上的减函数；
(3)∵f(ax)+f(?x2+x?4)>0，且f(x)为奇函数，
∴f(ax)>?f(?x2+x?4)=f(x2?x+4)，
所以ax因为x∈[?5,?1]，
所以a>x2?x+4x=x+4x?1成立，
设y=x+4x?1，x∈[?5,?1]，
由对勾函数的单调性可知，函数在[?5,?2]单调递增，在[?2,?1]上单调递减，
所以当x=?2时，y=x+4x?1有最大值为?5，
所以a∈(?5,+∞)．