4.5.2用二分法求方程的近似解-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册练习（Word含解析）

用二分法求方程的近似解同步练习
一、选择题
下列函数零点不宜用二分法求出的是(????)
A. fx=x3?8 B. f(x)=lnx+3
C. fx=x2+22x+2 D.
在用“二分法”求函数f(x)零点近似值时，第一次所取的区间是[?2,4]，则第三次所取的区间可能是( ? ?)
A. [1,4] B. [?12,1] C. [?1,12] D. [1,3]
用二分法求方程ln(x+1)=2x的近似解时，可以取的一个区间是（ ）
A. (1,2) B. (2,e) C. (3,4) D. (0,1)
已知函数f(x)在(1,2)内有1个零点，用二分法求零点的近似值时，若精度为0.01，则至少计算中点函数值(? ??)
A. 5次 B. 6次 C. 7次 D. 8次
已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为(? ? ? )
A. 4，4 B. 3，4 C. 5，4 D. 4，3
函数f(x)=2x?2x?m的一个零点在区间(1,2)内，则实数的取值范围是(????)
A. (1,3) B. (0,3) C. (1,2) D. (0,2)
下列函数中不能用二分法求零点近似值的是（ ）
A. f(x)=3x?1 B. f(x)=x3 C. f(x)=|x| D. f(x)=lnx
下列是关于函数y=f(x)，x∈[a,b]的命题中，正确的是（ ）
A. 若x0∈[a,b]且满足f(x0)=0，则x0是f(x)的一个零点；
B. 若x0是f(x)在[a,b]上的零点，则可用二分法求x0的近似值；
C. 函数f(x)的零点是方程f(x)=0的根，但f(x)=0的根不一定是函数f(x)的零点；
D. 用二分法求方程的根时，得到的都是近似解
下列函数中不能用二分法求零点的是（ ）
A. f(x)=2x+3 B. f(x)=mx+2x?6
C. f(x)=x2?2x+1 D. f(x)=2x?1
对于函数f(x)=x3+2x?9，其部分函数值数据如下表所示：
x
1
2
1.5
1.625
1.75
1.875
1.8125
f(x)
?6
3
?2.625
?1.459
?0.14
1.3418
0.5793
用二分法求方程的近似解，则当精确度为0.1时，方程x3+2x?9=0的近似解可取为?? (? )
A. ?1.6 B. ?1.7 C. ?1.8 D. ?1.9
二、填空题
若函数f(x)=x2?4x+m存在零点，且不能用二分法求该函数的零点，则实数m的取值是________
已知函数f(x)=x3?2x?2，f(1)?f(2)<0，用二分法逐次计算时，若x0是[1,2]的中点，则f(x0)=______．
如果一个正方形的体积在数值上等于V，表面积在数值上等于S，且V=S+1，那么这个正方体的棱长(精确度为0.01)约为______．
用“二分法”求方程x3?2x?5=0在区间[2,4]内的实根，取区间中点为x0=3，那么下一个有根区间是______．
三、解答题
函数y=x2与y=2x的图象有3个交点(x1,y1)，(2,4)，(4,16)，其中?1已知方程2x+2x=5．
(1)判断该方程解的个数以及所在区间；
(2)用二分法求出方程的近似解(精确度0.1)．
参考数值：
x
1.1875
1.125
1.25
1.3125
1.375
1.5
2x
2.278
2.181
2.378
2.484
2.594
2.83
已知函数f(x)=ex+2x2?3x．(Ⅰ)求证：函数f(x)在区间[0,1]上存在唯一的极值点，并用二分法求函数取得极值时相应x的近似值(误差不超过0.2)；(参考数据e≈2.7，e≈1.6，e0.3≈1.3)
(Ⅱ)当x≥1时，若关于x的不等式f(x)≥ax恒成立，试求实数a的取值范围．
答案和解析
1.C
解：f(x)=x3?8是单调函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，可用二分法求零点；??
f(x)=lnx+3也是单调函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，可用二分法求零点；
f(x)=x2+22x+2=x+22不是单调函数，虽然也有唯一的零点，但函数值在零点两侧都是正号，故不能用二分法求零点．
fx=?x2+4x+1?有两个零点，且函数值在零点两侧异号，可用二分法求零点；
2.B
解：∵第一次所取的区间是[?2,4]，
∴第二次所取的区间可能为[?2,1]，[1,4]；
第三次所取的区间可能为[?2,?12]，[?12,1]，[1,52]，[52,4]
3.A
解：设fx=lnx+1?2x，
∵当连续函数f(x)满足f(a)·f(b)<0时，f(x)在区间(a,b)上有零点，
即方程ln(x+1)=2x在区间(a,b)上有解，
又∵f(1)=ln2?2<0,f(2)=ln3?1>0，
故f(1)·f(2)<0，
故方程ln(x+1)=2x在区间(1,2)上有解，
4.C
解：设对区间(1,2)至少二等分n次，开始区间长度为1，
第1次二等分后区间长为12，第2次二等分后区间长为122，
第3次二等分后区间长为123，第n次二等分后区间长为12n，
依题意得12n<0.01，，
∴n>log2100由于6∴n≥7，即n=7为所求，
故至少计算中点函数值7次．
故选C ．
5.D
解：题中图象与x轴有4个交点，所以函数零点的个数为4；
左、右函数值异号的有3个零点，所以可以用二分法求解的个数为3．
6.B
解：由题意可得f(1)f(2)=(0?m)(3?m)<0，
解得0故实数m的取值范围是(0,3)．
7.C
解：根据题意，依次分析选项：
对于A，f(x)=3x?1在R上是单调函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，可用二分法求零点；
对于B，f(x)=x3在R上是单调函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，可用二分法求零点；
对于C，f(x)=|x|，虽然也有唯一的零点，但函数值在零点两侧都是正号，故不能用二分法求零点
对于D，f(x)=lnx在(0,+∞)上是单调函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，可用二分法求零点；
8.A
解：A.若x0∈[a,b]且满足f(x0)=0，则x0是f(x)的一个零点；正确
B.若f(x)=x2，则无法使用二分法求x0的近似值，故B错误，
C.函数f(x)的零点是方程f(x)=0的根，但f(x)=0的根一定是函数f(x)的零点，故C错误，
D.用二分法求方程的根时，得到的根可以是准确值，故D错误，
9.C
解：由于一次函数有唯一零点，且函数在零点两侧的函数值异号，故可用二分法求出零点，故排除A、B．
由于f(x)=2x?1的唯一零点是x=0，且函数在零点两侧的函数值异号，故可用二分法求出零点，故排除D．
10.C
根据表中数据可知f1.75=?0.14<0，f1.8125=0.5793>0，
由精确度为0.1可知方程的一个近似解为1.8，
11.4
解：这个二次函数对应的方程为一元二次方程，
所以如果这个二次函数有零点但是不能利用二分法求出，
则对应的一元二次方程只有一个根，所以判别式等于0．
所以Δ=?42?4×1×m=0,∴m=4，
12.?1.625
解：根据题意，函数f(x)=x3?2x?2，
若x0是[1,2]的中点，则x0=1.5，f(x0)=f(1.5)=?1.625．
故答案为：?1.625．
13.6.03
解：根据题意，设正方体的棱长为x，则V=x3，S=6x2，
若V=S+1，则x3=6x2+1；
设f(x)=x3?6x2?1，
利用计算器计算f(6.02)<0，f(6.03)>0，而f(6.025)<0，故x∈(6.025,6.03)
故x≈6.03．
14.[2,3]
解：根据题意，令f(x)=x3?2x?5，
f(2)=?1，f(3)=16，f(4)=51，f(2)?f(3)<0，
所以下一个有根的区间是[[2,3]．
故答案为：[2,3]．
15.解：?1a←?1
b←0
Do
x1←12(a+b)
f(a)←a2?2a
f(x1)←x12?2x1
If?f(x1)=0??Then??Exit??Do
If?f(a)f(x1)<0? Then
b←x1
Else
a←x1
End? If
Until|a?b|<0.01
End? Do
Print?x1
16.解：(1)令f(x)=2x+2x?5．
因为函数f(x)=2x+2x?5在R上是增函数，
所以函数f(x)=2x+2x?5至多有一个零点．
因为f(1)=21+2×1?5=?1<0，f(2)=22+2×2?5=3>0，
所以函数f(x)=2x+2x?5的零点在(1,2)内．
(2)用二分法逐次计算，列表如下：
区间
中点的值
中点函数值符号
(1,2)
1.5
f(1.5)>0
(1,1.5)
1.25
f(1.25)<0
(1.25,1.5)
1.375
f(1.375)>0
(1.25,1.375)
1.3125
f(1.3125)>0
(1.25,1.3125)
因为|1.375?1.25|=0.125>0.1，且|1.3125?1.25|=0.0625<0.1，
所以函数的零点近似值为1.3125，
即方程2x+2x=5的近似解可取为1.3125．
17.解：(Ⅰ)f′(x)=ex+4x?3，? ?
∵??f′(0)=e0?3=?2<0，f′(1)=e+1>0，
∴??f′(0)?f′(1)<0．
令??(x)=f′(x)=ex+4x?3，则?′(x)=ex+4>0，????
∴??f′(x)在区间[0,1]上单调递增，
∴??f′(x)在区间[0,1]上存在唯一零点，
∴??f(x)在区间[0,1]上存在唯一的极小值点．?
取区间[0,1]作为起始区间，用二分法逐次计算如下：
①?????????f′(0.5)≈0.6>0，而f′(0)<0，∴? 极值点所在区间是[0,0.5]；
②???????? 又f′(0.3)≈?0.5<0，∴? 极值点所在区间是[0.3,0.5]；
③???????? ∵??|0.5?0.3|=0.2，∴? 区间[0.3,0.5]内任意一点即为所求．? ?
(Ⅱ)由f(x)≥ax，得ax≤ex+2x2?3x，
∵?x≥1，∴?a≤ex+2x2?3xx，
令?g(x)=ex+2x2?3xx，则g′(x)=(x?1)ex+2x2x2，?
∵?x≥1，∴?g′(x)>0，? ∴?g(x)在[1,+∞)上单调递增，
∴gmin(x)=g(1)=e?1，
∴a的取值范围是a≤e?1．