4.5.1函数的零点与方程的解-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册练习（Word含解析）

函数的零点与方程的解同步练习
一、选择题
函数f(x)=(12)x?15x的零点位于区间（ ）
A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4)
设函数fx=3x+1,x≤0log4x,x>0若关于x的方程f2(x)?(a+2)f(x)+3=0恰好有六个不同的实数解，则实数a的取值范围为(? ? ?)
A. (23?2,32] B. ?23?2,23?2
C. 32,+∞ D.
已知函数f(x)=2x?log12x，且实数a>b>c>0满足f(a)·f(b)·f(c)<0，若实数x0是函数y=f(x)的一个零点，那么下列不等式中不可能成立的是（ ）
A. x0a C. x0已知函数f(x)=x2?1,x≤0,log2x,x>0.则函数y=f(x)的零点个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
已知x0(x0∈R,x0≠0)和1是函数f(x)=ax3+bx2+cx(a>b>c)的两个不同的零点，若实数m∈(0,32)，则零点x0的值可能是（ ）
A. m+2 B. m?2 C. m+12 D. m?12
下列区间包含函数f(x)=x+log2x?5零点的为（ ）
A. (1,2) B. (2,3) C. (3,4) D. (4,5)
已知a是函数f(x)=2x?log12x的零点，若0 A. f(x0)=0 B. f(x0)>0
C. f(x0)<0 D. f(x0)的符号不确定
已知函数y=f(x)的图象是条连续不断的曲线，有如下对应值，则下列说法正确的是(????)
x
1
2
3
4
5
6
y
123.56
21.45
?7.82
11.45
?53.76
?128.88
A. 函数y=f(x)在区间[1,6]上有3个零点
B. 函数y=f(x)在区间[1,6]上至少有3个零点
C. 函数y=f(x)在区间[1,6]上至多有3个零点
D. 函数y=f(x)在区间[1,2]上无零点
函数f(x)=2x2+5x2ex的大致图像是(???)
A. B.
C. D.
函数f(x)=4x?4,x?1x2?4x+3,x>1的图象和函数g(x)=log2x的图象的交点个数是(????)
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
二、填空题
已知函数f(x)=e?x，若关于x的方程2f(x)?ln(x+m)=0在(0,+∞)上有解，则m的取值范围是______．
已知函数fx=12x2?alnx，当a=4时，函数fx有___个零点，若函数fx在(0,+∞)无零点，则实数a的取值范围为_____．
已知函数f(x)=xln?x,x>0,x2?x?2,x≤0,则f(x)的零点为________．
三、解答题
已知p:m?1≤t≤m2+1，q：函数f(x)=log3x?t在区间19,9上没有零点．
(Ⅰ)若m=0，且命题P与?q均为真命题，求实数t的取值范围；
(Ⅱ)若p是q成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
已知函数f(x)=ax2?2ax+1+b(a>0)在[2,3]上的最大值和最小值分别为4和1．
(Ⅰ)求a，b的值；
(Ⅱ)设函数g(x)=f(x)+log3(2x+1)?x2?1(x∈[1,3])，判断函数g(x)的图象与函数?(x)=?3x+k(其中k∈R)的图象交点个数，并说明理由．
已知y=f(x)是定义域为R的奇函数，当x∈[0,+∞)时，f(x)=x2?2x．
(1)写出函数y=f(x)的解析式；
(2)若函数g(x)=f(x)?a恰有3个零点，求a的取值范围．
答案和解析
1.B
解：函数f(x)在R上为减函数，其图象为一条不间断的曲线，
又f(1)=12?15=310>0,f(2)=14?25=?320<0，
∴f(1)?f(2)<0，由零点存在性定理可知，函数f(x)的零点位于区间(1,2)．
2.A
解：作出函数的图象如图，
令f(x)=t，则方程f2(x)?(a+2)f(x)+3=0，
化为t2?(a+2)t+3=0，
要使关于x的方程f2(x)?(a+2)f(x)+3=0恰好有六个不同的实数解，
则方程t2?(a+2)t+3=0在(1,2]内有两不同实数根，
所以Δ=(a+2)2?12>01022?(a+2)×2+3≥0,
解得23?2所以实数a的取值范围为(23?2,32]．
3.D
解：∵f(x)=2x?log12x在(0,+∞)上是增函数，0∴f(c)∵f(a)f(b)f(c)<0，
∴f(a)、f(b)、f(c)中一项为负的、两项为正的；或者三项都是负的
即f(c)<0，0由于实数x0是函数y=f(x)的一个零点，
当f(c)<0，0当f(c)a，此时B成立;
综上可得，D不可能成立．
4.C
解：函数y=f(x)的零点即方程f(x)=0的根，
由f(x)=0，得x≤0,x2?1=0或x>0,log2x=0,
解得x=?1或x=1．
故函数y=f(x)的零点个数是2．
5.B
解：已知x0(x0∈R,x0≠0)和1是函数f(x)=ax3+bx2+cx(a>b>c)的两个不同的零点，
即x0和1是函数g(x)=ax2+bx+c(a>b>c)的两个不同的零点，
1是函数g(x)=ax2+bx+c(a>b>c)的零点，
∴a+b+c=0，
∵a>b>c，
∴a>0，c<0，且|a|>|b|，
得?1∴函数g(x)=ax2+bx+c的图象是开口向上的抛物线，
其对称轴是x=?b2a，则?12当0≤?b2a<12时，函数g(x)的另1个零点x0∈[?1,0)，
当?12而m∈(0,32)，m+2∈(2,72)，m?2∈(?2,?12)，m+12∈(12,2)，m?12∈(?12,1)，
满足条件的是m?2，
故选：B．
6.C
解：经计算f(1)=1?5=?4<0，f(2)=2+1?5=?2<0，f(3)=3+log23?5=log23?2<0，f(4)=4+2?5=1>0，
故函数的零点所在区间为(3,4)，
7.C
解：∵f(x)=2x?log12x在(0,+∞)上是增函数，
a是函数f(x)=2x?log12x的零点，
即f(a)=0，
∴当08.B
解：由表可知，
f(2)?f(3)<0，
f(3)?f(4)<0，
f(4)?f(5)<0，
故函数y=f(x)在区间[1,6]上的零点至少有3个，
9.B
解：由fx的解析式知仅有两个零点x=?52与x=0，而A中有三个零点，所以排除A，
又f′(x)=?2x2?x+52ex，由f′(x)=0知函数有两个极值点，排除C，D．
10.B
解：在同一坐标系中画出函数f(x)=4x?4,x≤1x2?4x+3,x>1的图象和函数g(x)=log2x的图象，
如下图所示：
当x=12时，4×12?4=?2当x=116时，4×116?4>log2116=?4，
所以两个函数在(116,12)有交点，
结合函数图象得，两个函数图象共有3个交点，
11.(?∞,e2)
解：设g(x)=ln(x+m)，则方程2e?x?ln(x+m)=0在(0,+∞)上有解
等价于函数y=g(x)与y=2f(x)=2e?x的图象在(0,+∞)上有交点．
因为函数y=g(x)的图象就是函数y=lnx的图象向左或向右平移|m|个单位长度得到的，
如图所示，
则y=g(x)=ln(x+m)与函数y=2f(x)=2e?x，
当x>0时，一个是增函数，一个是减函数，两个函数的图象若没有交点，
则g(0)=lnm≥2，解得m≥e2，故m的取值范围为(?∞,e2).
故答案为：(?∞,e2).
设g(x)=ln(x+m)，则方程2e?x?ln(x+m)=0在(0,+∞)上有解，等价于函数y=g(x)与y=2f(x)的图象在(0,+∞)上有交点．函数y=g(x)的图象就是函数y=lnx的图象向左或向右平移|m|个单位长度得到的，画出图象，通过数形结合求解m的取值范围．
12.2;?[0,e)
解：当a=4时，函数f(x)=12x2?4ln?x，f′(x)=x?4x=x2?4x，
当02时，f′(x)>0，
所以函数f(x)在(0,2)上单调递减，在2,+∞上单调递增，
所以f(x)min=f(2)=2?4ln2．
因为f(1)=12>0,f(2)<0,f(4)=8?4ln4=8(1?ln2)>0，
所以函数f(x)在(0,2),(2,+∞)各分别有唯一的零点．
故当a=4时，函数f(x)有2个零点．
若函数f(x)在(0,+∞)无零点，那么12x2?aln?x=0在(0,+∞)无解．
显然x=1不是方程12x2?aln?x=0的根．
所以a=x22ln?x在(0,1)∪(1+∞)无解．
设g(x)=x22ln?x，则g′(x)=x(lnx?12)(ln?x)2，
所以在x∈(0,1)和x∈(1,e)时，g′(x)<0；在x∈(e,+∞)时，g′(x)>0，
所以函数g(x)在(0,1)和(1,e)单调递减，在(e,+∞)单调递增．
所以．
另外，当x→1?时，g(x)→?∞，直线x=1是函数g(x)图象的渐近线，
当x→0+时，g(x)→0，
所以g(x)∈(0,1)∪1,e∪[e,+∞)，函数g(x)的图象图下图所示：
于是a∈[0,e)．
所以当a∈[0,e)时，函数f(x)在(0,+∞)无零点．
故答案为2;?[0,e)．
13.1，?1
解：当x>0时，由f(x)=0，
即xln?x=0得ln?x=0，解得x=1；
当x≤0时，由f(x)=0，
即x2?x?2=0，解得x=?1或x=2．
因为x≤0，所以x=?1．
综上，函数f(x)的零点为1，?1．
14.解：(Ⅰ)当m=0时，p:?1?t?1，
由函数f(x)=log3x?t在区间19,9没有零点，得f(19)?0? 或f(9)?0，解得t??2或t?2．
∵p与?q均为真命题，
∴p为真命题，q为假命题，
当q为假命题时，?2∴实数t的取值范围是[?1,1]. ???????????
(Ⅱ)∵p是q成立的充分不必要条件，又m?1∴m?1?2或m2+1??2，解得m?3，
∴实数m的取值范围是．
15.解：(Ⅰ)由题可得函数f(x)的对称轴为x=1，则其在[2,3]上单调递增，
故f(2)=4a?4a+1+b=1，f(3)=9a?6a+1+b=4，
解得a=1，b=0，
故f(x)=x2?2x+1；
(Ⅱ)由(Ⅰ)知g(x)=x2?2x+1+log3(2x+1)?x2?1=log3(2x+1)?2x，
令G(x)=g(x)?(?3x+k)=log3(2x+1)+x?k，
任取1≤x1则G(x1)?G(x2)=log3(2x1+1)+x1?k?log3(2x2+1)?x2+k=log3(2x1+12x2+1)+(x1?x2)，
因为x1所以0<2x1+12x2+1<1，即有log3(2x1+12x2+1)<0，
且x1?x2<0，
所以y=G(x)为R上的单调增函数，
所以函数g(x)的图象与函数?(x)=?3x+k(其中k∈R)的图象最多只有一个交点．
16.解：(1)设x∈(?∞,0)，则?x∈(0,+∞)
由x∈[0,+∞)时，f(x)=x2?2x，且y=f(x)是定义域为R的奇函数，
f(x)=?f(?x)=?x2?2x
所以f(x)=?x2?2x,x≥0?x2?2x,x<0．
(2)函数g(x)=f(x)?a恰有3个零点
即函数y=f(x)和函数y=a的图象有三个不同的交点
当x∈[0,+∞)时，f(x)=x2?2x，最小值为?1；
当x∈(?∞,0)时，f(x)=?x2?2x，最大值为1．
所以可以据此作出函数y=f(x)的图象(如下)，
根据图象得，函数y=f(x)和函数y=a的图象有三个不同的交点，则a∈(?1,1)．
即若函数g(x)=f(x)?a恰有3个零点，则a∈(?1,1)．