4.5.3函数模型的应用-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册练习（Word含解析）

函数模型的应用同步练习
一、选择题
尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究发现地震释放出的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lgE=4.8+1.5M，1976年7月28日我国唐山发生的里氏7.8级地震与2008年5月12日我国汶川发生的里氏8.0级地震所释放出来的能量的比值为（ ）
A. 100.3 B. 0.3 C. lg1.3 D. 10?0.3
设光线通过一块玻璃，强度损失10%、如果光线原来的强度为k(k>0)，通过x块这样的玻璃以后强度为y，则y=k?0.9x(x∈N?)，那么光线强度减弱到原来的13以下时，至少通过这样的玻璃块数为（ ）参考数据：1g3≈0.477)
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
某数学小组进行社会实践调查，了解到鑫鑫桶装水经营部在为定价发愁．进一步调研了解到如下信息；该经营部每天的房租，人工工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表：
销售单价/元
6
7
8
9
10
11
12
日均销售量/桶
480
440
400
360
320
280
240
根据以上信息，你认为该经营部的定价为多少才能获得最大利润？（ ）
A. 每桶8.5元 B. 每桶9.5元 C. 每桶10.5元 D. 每桶11.5元
某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为（ ）
A. p+q2 B. 1+p1+q?12
C. pq D. 1+p1+q?1
为了研究中学生远程网络学习的学习效率，某研究小组将学习注意力的集中情况用注意力指数进行量化，通过调查研究发现研究对象在40分钟的远程网络学习中，注意力指数y与时间t之间的关系近似满足如图所示的曲线.当t∈(0,14]时，曲线是二次函数图象的一部分，当t∈[14,40)，曲线是函数图象的一部分，根据专家研究发现，当注意力指数不低于80时，学习效率最佳.据此可以判断，研究对象在40分钟的远程网络学习过程中，学习效率最佳的时间共有________分钟.(参考数据：2≈1.414，3≈1.732，1g2≈0.301，lg3≈0.477)
A. 22.828 B. 9.172 C. 21.172 D. 21.477
在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长10.4%，经过x(x∈R,x≥0)年可增长到原来的y倍，则函数y=f(x)的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
某电动汽车“行车数据”的两次记录如表所示：
记录时间
累计里程
(单位：千米)
平均耗电量(单
位：kW·?/千米)
剩余续航里程
(单位：千米)
2019年1月1日
4?000
0.125
280
2019年1月2日
4?100
0.126
146
注：累计里程指汽车从出厂开始累计行驶的路程，累计耗电量指汽车从出厂开始累计消耗的电量，平均耗电量=累计耗电量累计里程，剩余续航里程=剩余电量平均耗电量)
下面是该车在两次记录时间段内行驶100千米的耗电量估计正确的是（ ）
A. 等于12.5 B. 在12.5到12.6之间
C. 等于12.6 D. 大于12.6
“里氏震级”反映的地震释放出来的能量大小的一种度量．里氏震级M地震释放的能量E(单位：焦耳)之间的关系为：M=23lgE?165.1988年云南澜沧发生地震为里氏7.6级，2008年四川汶川发生的地震为里氏8级．若云南澜沧地震与四川地震释放的能量分别为E1，E2，则E1E2的值为（ ）
A. 10?0.6 B. 10?0.4 C. 100.4 D. 100.6
某企业拟建造一个容器(不计厚度，长度单位：米)，该容器的底部为圆柱形，高为1，底面半径为r，上部为半径为r的半球形，按照设计要求容器的体积为283π立方米．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关，已知圆柱形部分每平方米建造费用为3万元，半球形部分每平方米建造费用为4万元，则该容器的建造费用最小时，半径r的值为（ ）
A. 1 B. 32 C. 34 D. 2
某城市对一种售价为每件160元的电子产品征收附加税，税率为R%(即每销售100元征税R元)，若年销售量为(30?52R)万件，要使附加税不少于128万元，则R的取值范围是（ ）
A. [4,8] B. [6,10] C. [4%,8%] D. [6%,10%]
一服装厂生产某种风衣，日产量为xx∈N件时，售价为p元/件，每天的总成本为R元，且p=160?2x，R=500+30x，要使获得的日利润不少于1300元，则x的取值范围为(??? )
A. x∈N0C. x∈N0 二、填空题
某小区有居民1000户，去年12月份总用水量为8000吨．今年开展节约用水活动，有800户安装了节水龙头，这些用户每户每月节约用水x吨，使得今年1月份该小区居民用水总量低于6000吨．则x满足的关系式为______．
某商场已按每件80元的成本购进某商品1?000件，根据市场预测，售价为每件100元时可全部售完，售价每提高1元销量就减少5件，若要获得最大利润，售价应定为每件________元．
要制作一个容积为4?m3，高为1?m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则当底面矩形边长为_______m时，该容器的最低总造价是________(单位：元)．
三、解答题
目前，我国一些高耗能低效产业(煤炭、钢铁、有色金属、炼化等)的产能过剩将严重影响生态文明建设，“去产能”将是一项重大任务.某企业从2018年开始，每年的产能比上一年减少的百分比为x(0(1)设n年后(2018年记为第1年)年产能为2017年的a倍，请用a，n表示x；
(2)若x=10％，则至少要到哪一年才能使年产能不超过2017年的25％？(参考数据：0.913≈0.254，0.914≈0.228)
汽车保险公司每年向顾客收500元的保险费，公司通过调查历史档案知道，每年约8%的顾客要求索赔，而平均赔款额为1200元．公司每年从每位顾客那里得到的平均收益是多少？
某市自来水厂向全市生产与生活供水，蓄水池(蓄量足够大)在每天凌晨0点时将会有水15千吨，水厂每小时向池中注水2千吨，同时从池中向全市供水，若已知x(0≤x≤24)小时内供水总量为10x千吨，且当蓄水量少于3千吨时，供水就会出现紧张现象．
(Ⅰ)一天内将在哪个时间段内出现供水紧张现象？
(Ⅱ)若将每小时向池内注水2千吨改为每小时向池内注水a(a>2)千吨，求a的最小值，使得供水紧张现象消除．
答案和解析
1.D
解：设汶川地震所释放出的能量是E1，唐山地震所释放出的能量是E2，
则lgE1=4.8+1.5×7.8=16.5，lgE2=4.8+1.5×8=16.8，
∴E1=1016.5，E2=1016.8；
∴E1E2═10?0.3．
2.C
解：设通过这样的玻璃x块，则由题意得k?0.9x0)，化得0.9x<13，
两边同时取常用对数，可得xlg0.9因为lg0.9<0，所以x>lg13lg0.9=?lg32lg3?1≈?0.477?0.046≈10.37，
则至少通过11块玻璃，
3.D
解：根据表格可知：销售单价每增加1元，日均销售就减少40桶．
设每桶水的价格为(6+x)元，公司日利润y元，
则：y=(6+x?5)(480?40x)?200，
=?40x2+440x+280，
∵?40<0，
∴当x=5.5时函数y有最大值，
因此，每桶水的价格为11.5元，公司日利润最大，
4.D
解：设年平均增长率为x，
则有1+p1+q=1+x2，
解得x=1+p1+q?1．
5.A
解：当t∈(0,14]时，设y=m(x?12)2+82，
将点(14,81)代入函数解析式得到4m+82=81，解得m=?14，
所以y=?14(x?12)2+82，令?14(x?12)2+82≥80，
解得：12?22≤m≤12+22，
又t∈(0,14]，所以12?22≤t≤14．
将(14,81)代入函数解得a=13，
所以，令，解得：t≤32，即14所以12?22≤t≤32，
所以学习效率最佳的时间共有32?(12?22)=20+22≈22.828?．
故选A．
6.D
解：由题意可得y=(1+10.4%)x．
7.D
解：4?100×0.126?4?000×0.125=516.6?500=16.6．
8.A
解：∵云南澜沧发生地震为里氏7.6级，∴7.6=23lgE1?165，即23lgE1=7.6+165=545；①
∵四川汶川发生的地震为里氏8级，∴8=23lgE2?165，即23lgE2=8+165=565.②
①?②得：23(lgE1?lgE2)=545?565=?25，即lgE1E2=?35，
∴E1E2=10?0.6．
9.C
解：由题意知V=πr2l+12×43πr3=πr2l+23πr3=283π，
故l=V?23πr3πr2=283π?23πr3πr2=283r2?23r=28?2r33r2，
由l>0可知r<314．
∴建造费用y=(2πrl+πr2)×3+12×4πr2×4=6πr×28?2r33r2+11πr2=56πr+7πr2，(0则y′=14πr?56πr2=14π(r3?4)r2．
当r∈(0,34)时，y′<0，r∈(34,314)时，y′>0．
当r=34时，该容器的建造费用最小．
10.A解：根据题意，要使附加税不少于128万元，需30?52R×160×R%≥128，
整理得R2?12R+32≤0，解得4≤R≤8，
因此，实数R的取值范围是4,8．
11.D
解：设日利润为y元，则y=160?2x?x?500+30x=?2x2+130x?500，
由y?1300，解得20?x?45，即x的取值范围为x∈N20?x?45．
x>52
解：1000户居民去年12月份总用水量为8000吨，
则1户居民去年12月份的用水量为80001000=8吨．
1户居民安装了节水龙头后一个月的用水量为(8?x)吨，
则今年1月份该小区居民用水总量为(8?x)×800+8×200．
∴(8?x)×800+8×200<6000，解得x>52．
∴x满足的关系式为x>52．
解：设售价提高x元，获得的利润为y元，
则依题意y=(1000?5x)×(20+x)
=?5x2+900x+20000
=?5(x?90)2+60?500．
∵0<1000?5x≤1000，∴0≤x<200，
故当x=90时，ymax=60500，
此时售价为每件190元．
14.2；160
解：设底面矩形的一边长为x，由容器的容积为4?m3，高为1?m得，另一边长为4x?m．
记容器的总造价为y元，则
y=4×20+2x+4x×1×10=80+20x+4x≥80+20×2x·4x=160(元)，
当且仅当x=4x，即x=2时，等号成立．
因此，当x=2时，y取得最小值160元，
即容器的最低总造价为160元．
故答案为2；160．
15.解：(1)设2017年的产能为1．
依题意得(1?x)n=a，1?x=na，x=1?nan∈N+．
(2)设m年后年产能不超过2017年的25％，则(1?10％)m≤25％，即910m≤14，
因为(910)13>14,(910)14<14，且m∈N?，
所以m的最小值为14，即至少要到2031年才能使年产能不超过2017年的25％．
16.解：设顾客人数为x，总额为500x，
索赔人数为8%?x，索赔金额为8%?x?1200=96x元，
则公司每年从每位顾客那里得到的平均收益是500x?96xx=404元．
17.解：(I)设x小时后的蓄水池水量为y千吨，则y=15+2x?10x(0≤x≤24)，
当供水出现紧张现象时，y<3，即15+2x?10x<3，
解得：2∴一天内将在4点到9点时间段内出现供水紧张现象．
(II)设x小时后的水池蓄水量关于x的函数为f(x)，则f(x)=15+ax?10x(0≤x≤24)，
若无供水紧张现象，则f(x)≥3在[0,24]上恒成立，
∴a≥10x?12x在(0,24]上恒成立，
设g(x)=10x?12x(0∴当00，当14425∴g(x)在(0,14425)上单调递增，在(14425,24]上单调递减，
∴当x=14425时，g(x)取得最大值g(14425)=2512．
∴a的最小值为2512．