5.1.2 弧度制-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册练习（Word含解析）

弧度制同步练习
一、选择题
圆O的半径为R，A、B是圆弧上的两个点，则下列命题不正确的是（ ）
A. 若线段AB=R，则∠AOB=1弧度
B. 若圆弧上劣弧AB的长为R，则∠AOB=1弧度
C. 若AB是直径，则∠AOB=π弧度
D. 若线段AB=3R，则∠AOB=23π弧度
下列说法中错误的是（ ）
A. 终边经过点(?a,a)(a≠0)的角的集合是{α|α=kπ+3π4,k∈Z}
B. 将表的分针拨慢30分钟，则分针转过的角的弧度数是π
C. 若α是第三象限角，则α2是第二象限角，2α为第一或第二象限角
D. 若M={x｜x=45°+k·90°,k∈Z}，N={x｜x=90°+k·45°,k∈Z}，则M?N
已知扇形的弧长是5π，面积是15π，则该扇形的圆心角的正切值等于（ ）
A. 3 B. ?3 C. 33 D. ?33
已知扇形的圆心角为60°，面积为π6，则该扇形的半径为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
已知角α的终边落在直线y=?x上，则角α的集合为(?? )
A. ?{α|α=3π4+2kπ,k∈Z} B. {α|α=3π4+kπ2,k∈Z}
C. {α|α=?π4+2kπ,k∈Z} D. {α|α=3π4+kπ,k∈Z}
如图所示，已知圆C1和C2的半径都为2，且C1C2=23，若在圆C1或C2中任取一点，则该点取自阴影部分的概率为（ ）
A. 2π+335π+33 B. 2π?335π+33 C. 2π+3310π+33 D. 2π?3310π+33
若一扇形的圆心角为72°，半径为20?cm，则扇形的面积为(? ? ? ? )
A. 40π?cm2 B. 80π?cm2 C. 40?cm2 D. 80?cm2
在0到2π范围内，与角?4π3终边相同的角是（ ）
A. π6 B. π3 C. 2π3 D. 4π3
已知扇形的圆心角为θ，其周长是其半径的3倍，则下列不正确的是（ ）
A. sinθ>0 B. sin2θ>0 C. cos3θ<0 D. tan3θ>0
已知扇形的弧长为2，面积是1，则扇形的圆心角的弧度数是(? ? ?)
A. 4 B. 2 C. 14 D. 12
二、填空题
若一扇形的半径为5?cm，圆心角为2?rad，则扇形的面积为________?cm2．
若一扇形的周长为60cm，那么当它的半径和圆心角各为________cm和________rad时，扇形的面积最大．
已知扇形的周长为8，则其面积的最大值为______．
?600°是第_____象限角，与?600°终边相同的最小正角为______弧度
三、解答题
如图，A，B是单位圆上的两个质点，B点坐标为(1,0)，∠BOA=60°，质点A以1弧度/秒的角速度按逆时针方向在单位圆上运动；质点B以1弧度/秒的角速度按顺时针方向在单位圆上运动，过点A作AA1⊥y轴于A1，过点B作BB1⊥y轴于B1．
(1)求经过1秒后，∠BOA的弧度数；
(2)求质点A，B在单位圆上的第一次相遇所用的时间；
(3)记A1B1的距离为y，请写出y与时间t的函数关系式，并求出y的最大值．
已知α=?1690°．
(1)把α写成2kπ+β(k∈Z,β∈[0,2π)的形式；
(2)求θ，使θ与α终边相同，且θ∈(?4π,4π)．
已知扇形的圆心角为α，所在圆的半径为r．
(1)若α=120°,r=6，求扇形的弧长；
(2)若扇形的周长为24，当α为多少弧度时，该扇形面积S最大？并求出最大面积．
时钟的分针长5cm，从2：10到2：35.分针转过的角是多少弧度？分针扫过的扇形面积是多少？分针尖端所走过的弧长是多少？(π取3.14，计算结果精确到0.01)
答案和解析
1.【答案】A
【解答】
解：∵圆O的半径为R，AB=R，弧度，故A错误；
∵圆弧上劣弧AB的长为R，弧度，故B正确；
∵AB是直径，弧度，故C正确；
∵线段AB=3R，则∠AOB=2arcsin32RR=23π弧度，故D正确．
故选A．
2.【答案】C
【解答】
解：因为α为第三象限角，即2kπ+π<α<2kπ+3π2，k∈Z，
所以kπ+π2<α2当k为奇数时，它是第四象限角，
当k为偶数时，它是第二象限角．
因为4kπ+2π<2α<4kπ+3π，k∈Z，
所以2α的终边位于第一或第二象限或y轴的非负半轴，故C错误，A、B、D项均正确．
故选C．
3.【答案】D
【解答】
解：扇形的面积公式=12lr=15π，
解得：r=6cm，
又因为，
可得该扇形的圆心角的正切值等于?33．
故选D．
4.【答案】A
【解析】解：扇形的圆心角为π3，
由题知：S=12αr2=12×π3r2=π6，
故r=1．
故选：A．
用弧度角表示出圆心角，结合扇形的面积公式进行求解即可．
5.【答案】D
【解答】
解：终边落在直线y=?x上的角α的集合为{α|α=7π4+2kπ或α=3π4+2kπ,k∈Z}，
当终边在第二象限时，，
当终边在第四象限时，，
∴终边落在直线y=?x上的角α的集合为，
故选D．
6.【答案】D
【解析】解：由题，圆C1和C2的半径都为2，且C1C2=23，
设直线AB的中点为O，
则C1O=C2O=232=3，
∴AB=222?(3)2=2，
∴△ABC1是等边三角形，
∴S阴影部分=2(12?π3?22?12?22?sinπ3)=4π3?23，
S全部=2?π?22?(4π3?23)=20π3+23，
∴S阴影部分S全部=4π3?2320π3+23=2π?3310π+33．
若在圆C1或C2中任取一点，则该点取自阴影部分的概率为2π?3310π+33．
7.【答案】B
【解析】
【解答】
解：，
，
故选B．
8.【答案】C
【解答】
解：与角?4π3终边相同的角是?2kπ+(?4π3)，k∈Z，
令k=1，可得与角?4π3终边相同的角是2π3，
在0到2π范围内，与角?4π3终边相同的角是2π3，
故选：C．
9.【答案】D
【解析】解：由题意，设扇形的半径为r，弧长为l，
可得l+2r=3r，则l=r，θ=1，
又sin1>0，sin2>0，cos3<0，tan3<0．
故D选项错误．
故选：D．
设扇形的半径为r，弧长为l，可得l+2r=3r，解得l=r，θ=1，可得sin1>0，sin2>0，cos3<0，tan3<0，即可逐项判断得解．
10.【答案】B
【解答】
解：设扇形的弧长为l，圆心角大小为α(rad)，半径为r，
因为扇形的弧长为2，面积是1，
则，
可得扇形的面积，可得α=2．
故选B．
11.【答案】25
【解答】解：因为r=5?cm，α=2?rad，
所以扇形的面积S=12|α|r2=12×2×52=25(cm2).
故填25．
12.【答案】15；2
【解答】
解：设该扇形的半径为r，圆心角为θ，弧长为l，面积为S，
则l+2r=60，∴l=60?2r．
∴S=12lr=12(60?2r)r=?r2+30r=?(r?15)2+225．
∴当r=15时，S最大，最大值为225cm2．
此时，θ=lr=3015=2rad．
故填15；2．
13.【答案】4
【解析】解：设扇形半径为r，弧长为l，则周长为2r+l=8，面积为s=12lr，
因为8=2r+l≥22rl，
所以r?l≤8，当且仅当l=2r时取等号．
因为s=12lr，所以s≤4
14.【答案】二；
【解答】
解：由于?600°=?600°+k×360°，(k∈Z)，
当k=2时，得到与?600°终边相同的最小正角120°，
故?600°是第二象限角，与?600°终边相同的最小正角为?
故答案为二；
15.【答案】解：(1)经过1秒后，∠BOA=π3+1+1=π3+2．
?? (2)设经过t秒后相遇，则有t(1+1)+π3=2π，
解得t=5π6，即经过5π6秒后A，B第一次相遇．
(3)y=|sint+π3?sin(?t)|=32sint+32cost=3|sin?(t+π6)|，
当t+π6=kπ+π2(k∈N)，
即t=kπ+π3(k∈N)时，ymax=3
16.【答案】解：(1)1690?=1440?+250?=4×360?+250?=4×2π+2518π．
(2)∵θ与α终边相同，
∴θ=2kπ+2518π(k∈Z).又θ∈(?4π,4π)，
∴?4π<2kπ+2518π<4π，
∴?9736∴k=?2，?1，0，1．
∴θ的值是?4718π，?1118π，2518π，6118π．
17.【答案】解：(1)∵α=120?=120×π180=2π3，r=6，
∴弧长l=α?r=2π3×6=4π．
设扇形的弧长为l，
则l+2r=24，即l=24?2r0扇形的面积S=12l?r=1224?2r?r=?r2+12r=?r?62+36，
所以当且仅当r=6时，S有最大值36，
此时l=24?2×6=12，
∴α=lr=126=2．
18.【答案】解：时钟的分针从2：10到2：35，分针转过的角的弧度是α=?2560×2π=?5π6，
分针扫过的扇形面积S=12lr=12?|α|?r2=12×5π6×25≈33(cm2)，
分针尖端所走过的弧长是l=|α|r=5π6×5=13(cm)．