5.4.3 正切函数的性质与图像-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册练习（Word含解析）

正切函数的性质与图像同步练习
一、选择题
设a=tan35°，b=cos55°，c=sin23°，则(????)
A. a>b>c B. b>c>a C. c>b>a D. c>a>b
下列函数中，周期为π，且在区间(π4,π2)上单调递减的是(????)
A. y=sin2x B. y=|cos2x| C. y=tan(x+π4) D. y=sin(x?π4)
函数y=tan?x(?π4 A. (?1,1) B. (?1,33) C. (?1,3) D. [?1,3]
函数y=tan(2x?π6)的一个对称中心是(????)
A. (π12,0) B. (2π3,0) C. (π6,0) D. (π4,0)
已知角α∈(?π4,π4)，sinα+cosα=15，则tanα=(????)
A. ?34 B. ?34或?43 C. 34 D. 34或?34
若α∈(0,2π)，则满足4sinα?1cosα=4cosα?1sinα的所有α的和为(? ? )．
A. 3π4 B. 2π C. 7π2 D. 9π2
函数的最小正周期为(????)
A. π3 B. π2 C. π D. 2π
下列函数中，周期为π的奇函数为
A. y=sin?xcos?x B. y=sin2x
C. y=tan?2x D. y=sin?2x+cos?2x
已知当α,β∈(?π2,π2)时，cosα?cosβ A. α<β B. α>β C. α2>β2 D. α2<β2
若α∈[π6,π2),则直线2xcosα+3y+1=0的倾斜角的取值范围为(????)
A. (0,π2) B. [π6,π2) C. [5π6,π) D. (π2,5π6]
函数y=cosx|tanx|?π2 A. B.
C. D.
下列关于函数y=tan(x+π3)的说法正确的是(? ?)
A. 在区间(?π6,5π6)上单调递增 B. 值域为[一1，1]
C. 图象关于直线x=π6成轴对称 D. 图象关于点(?π3,0)成中心对称
二、填空题
直线x?ysinθ+1=0的倾斜角α的取值范围是??????????。
函数y=1?tanx?π4的定义域是?????????? ．
若函数f(x)=2tankx2+π3的最小正周期T满足1函数f(x)=3tan(2x+π3)的图象的对称中心是______．
三、解答题
在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3bsinC?c?cosBtanC=a．
(1)求角A；
(2)若△ABC的面积为34λc2，求实数λ的取值范围．
已知函数f(x)=tan(2x+π4)
(Ⅰ)求f(x)的定义域与最小正周期；
(Ⅱ)设α∈(0,π4)，若f(α2)=2cos2α，求α的大小．
已知a,b,c分别为锐角△ABC三个内角A,B,C的对边，满足sin2B+sin2C?sin2(B+C)=sinBsinC．
(1)求A；
(2)若b=2，求△ABC面积的取值范围．
已知?ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若bcosA=c?12a．
(1)求B；
(2)若?ABC为锐角三角形，且c=1，求?ABC面积的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：由诱导公式可得b=cos55°=cos(90°?35°)=sin35°，
由正弦函数的单调性可知sin35°>sin23°，
即b>c，
而a=tan35°=sin35°cos35?>sin35°=b，
∴a>b>c，
2.【答案】A
解析】解：对于选项A：y=sin2x的最小正周期为π，时，，函数在区间(π4,π2)上单调递减，故正确．
对于选项B：y=|cos2x|的最小正周期为π2，时，，函数在区间(π4,π2)上单调递增，故错误．
对于选项C：y=tan(x+π4)的最小正周期为π，时，，函数在区间(π4,π2)上单调递增，故错误．
对于选项D：y=sin(x?π4)的最小正周期为2π，故错误．
3.【答案】C
【解答】
解：因为函数y=tan?x在区间(?π4,π3)上单调递增，
当时，tan?x=?1，
当时，tan?x=3，
所以函数y=tanx(?π4故选C．
4.【答案】A
【解析】解：函数y=tan(2x?π6)中，令2x?π6=kπ2，k∈Z；
解得x=kπ4+π12，k∈Z；
所以k=0时，y=tan(2x?π6)的一个对称中心是(π12,0)．
5.【答案】A
【解析】解：∵sinα+cosα=15，
∴两边平方，可得1+2sinαcosα=125，可得2sinαcosα=2sinαcosαsin2α+cos2α=2tanα1+tan2α=?2425，
解得tanα=?34，或?43，
∵α∈(?π4,π4)，
∴tanα∈(?1,1)，
∴tanα=?34．
6.【答案】D
【解答】
解：因为4sinα?1cosα=4cosα?1sinα，
所以4(sinα?cosα)=1cosα?1sinα=sinα?cosαsinαcosα，
所以sinα?cosα=0或4sinacosα=1，即tanα=1或sin2a=12．
因为α∈(0,2π)，
所以α=π4，5π4，π12，13π12，5π12，17π12，
则满足条件的所有α的和为π4+5π4+π12+13π12+5π12+17π12=9π2．
故选D．
7.【答案】C
【解答】
解：函数f(x)=tan(x+π6)的最小正周期为π1=π，
故选C．
8.【答案】A
【解答】
解：B项y=sin2x为偶函数，C项y=tan2x的周期为π2，
D项y=sin2x+cos2x为非奇非偶函数，故B，C，D都不正确，
只有A项y=sinxcosx=12sin2x既是奇函数，且周期为π，
故选A．
9.【答案】C
【解答】
解：构造函数f(x)=cosx?tan|x|，
当?x∈0,π2时，y=cosx是减函数，y=tanx是增函数，
所以f(x)=cosx?tan|x|是减函数，
因为α,β∈0,π2，且cosα?cosβ所以cosα?tanα即f(α)所以α>β,α2>β2,，故排除A、D;
取α=?π3,β=?π6，
cosα?cosβ=1?32<0,?tanα?tanβ=233>0满足条件，
但α<β,α2>β2,故排除B．
故选C．
10.【答案】C
【解答】
解：已知α∈[π6,π2)，则的取值范围是(0,32],
直线2xcosα+3y+1=0的斜率是，
则斜率的取值范围是[?33,0)，对应的倾斜角的范围是．
故答案为C．
11.【答案】C
【解答】
解：因为函数y=cosxtanx=sinx,0≤x<π2?sinx,?π2所以y=cosx|tanx|在[0,π2)上单调递增，在?π2,0上单调递减，
所以选项A，D不正确，
因为当x=π4时，y=22>12，
所以选项B不正确，
综上所述，答案C是正确的，
12.【答案】D
【解答】
解：A.由kπ?π2得kπ?5π6当k=0时，函数的单调递增区间为(?5π6,π6)，
当k=1时，函数的单调递增区间为(π6,7π6)，
故在区间[?π6,5π6]上单调递增错误，故A错误；
B.函数的值域为(?∞,+∞)，故B错误；
C.正切函数没有对称轴，故C错误；
D.由x+π3=kπ2，k∈Z，得x=?π3+kπ2，k∈Z，
即函数的对称中心为(?π3+kπ2,0)，k∈Z，
当k=0时，对称中心为(?π3,0)，
故图象关于点(?π3,0)成中心对称，故D正确．
故选D．
13.【答案】[π4,3π4]
【解答】
解：由题意，当cosθ=0时，直线方程化x+1=0，此时，直线的倾斜角α为90°；
当cosθ≠0时，将直线化成斜截式：y=1cosθx+1cosθ，则tanα=1cosθ，
∵?1≤cosθ≤1且cosθ≠0，
∴tanα=1cosθ∈(?∞,?1]∪[1,+∞)，
∵0°≤α<180°，
∴结合正切函数的单调性，可得45°≤α≤135°，且α≠90°，
综上所述，直线l的倾斜角α的取值范围是[π4,3π4]．
故答案是[π4,3π4]．
14.【答案】(kπ?π4,kπ+π2](k∈Z)
【解答】
解：由题意得：，即
故答案为(kπ?π4,kπ+π2](k∈Z)．
15.【答案】4
【解答】
解：函数的最小正周期T满足1所以1<πk2<2，即π故答案为4．
16.【答案】(kπ4?π6,0)，k∈Z
17.【答案】解：(1)因为3(bsinC?ccosBtanC)=a，
所以3(sinBsinC?cosBcosC)=sinA，
所以?3cos(B+C)=sinA，
所以3cosA=sinA，
所以tanA=3，
又A为锐角，
∴A=π3；
(2)因为S=12bcsinA=34λc2，
所以34bc=34λc2，
所以λ=bc=sinBsinC=sin(A+C)sinC=32cosC+12sinCsinC=32?1tanC+12，
又0<2π3?C<π2，
所以π6所以，
所以，
故12<λ<2．
18.【答案】解：(Ⅰ)由2x+π4≠π2+kπ，k∈Z，得x≠π8+kπ2，k∈Z，
所以f(x)的定义域为{x|x≠π8+kπ2,k∈Z}，f(x)的最小正周期为π2．
(Ⅱ)由f(α2)=2cos2α，得tan(α+π4)=2cos2α，
sin(α+π4)cos(α+π4)=2(cos2α?sin2α)，
整理得sinα+cosαcosα?sinα=2(cosα+sinα)(cosα?sinα)，
因为α∈(0,π4)，所以sinα+cosα≠0，因此(cosα?sinα)2=12，
即sin2α=12，由α∈(0,π4)，
得2α∈(0,π2)，所以2α=π6，即α=π12．
19.【答案】解：(1)由sin2B+sin2C?sin2(B+C)=sinBsinC，
知sin2B+sin2C?sin2A=sinBsinC，
由正弦定理得b2+c2?a2=bc，
由余弦定理得cosA=12，
因为0(2)由已知及正弦定理得c=2sinCsinB，由B+C=2π3，
得，
因为△ABC是锐角三角形，
所以0所以tanB>33，得0<1tanB<3，所以32所以△ABC面积的取值范围是(32,23)．
20.【答案】解：(1)因为bcosA=c?12a，所以sinBcosA=sinC?12sinA．
sinBcosA=sinA+B?12sinA=sinAcosB+cosAsinB?12sinA，
即sinAcosB?12sinA=0，
因为sinA>0，所以cosB=12，0(2)因为B=π3，c=1，所以S△ABC=12acsinB=34a．
因为asinA=csinC，
所以a=sinAsinC=sinπ3+CsinC=32cosC+12sinCsinC=32tanC+12．
因为0所以π633，12<32tanC+12<2，12所以S△ABC=34a∈38,32．