5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册练习（Word含解析）

两角和与差的正弦、余弦和正切公式
一、选择题
已知sin?α?sin?β=1?32，cos?α?cos?β=12，则cos?(α?β)=( ?)
A. ?32 B. ?12 C. 12 D. 32
已知cos(α?π6)=45且?π2<α<0，则sin(α+π6)=(????)
A. 43?310 B. 43+310 C. ?43+310 D. 3?4310
已知sinθ+sin(θ+π3)=1，则sin(θ+π6)=(????)
A. 12 B. 33 C. 23 D. 22
已知2tanθ?tan(θ+π4)=7，则tanθ=(????)
A. ?2 B. ?1 C. 1 D. 2
已知sin(α?π4)=35，α∈(0,π2)，则cosα=
A. 210 B. 3210 C. 22 D. 7210
若tan(α+π4)=?3，则sinαcosα=(????)
A. 25 B. 355 C. ?25 D. 55
已知α∈(0,π2)，β∈(?π2,0)，sinβ=?210，且cos(α?β)=35，则α的值(????)
A. π6 B. π4 C. π3 D. 5π12
在△ABC中，若sinBsinC=cos2A2，则(????)
A. A=B B. B=C C. C=A D. B+C=π2
在ΔABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若cosB=a2c，则ΔABC一定是
A. 等腰三角形 B. 等边三角形
C. 等腰直角三角形 D. 直角三角形
求值：tan25°+tan35°+3tan25°tan35°=(????)
A. 2?3 B. 33 C. 1 D. 3
sin70°cos40°?cos70°sin40°的值等于(????)
A. 12 B. 32 C. ?12 D. ?32
在中，角A，B，C所对应的边为a，b，c，已知，a=15，则面积的最大值为(? ? )
A. 5154 B. 3152 C. 215 D. 54
二、填空题
已知tanθ=2，则cos2θ=______；tan(θ?π4)=______．
若α∈(0,π2)，sin(α?π4)=35，则cos2α=______．
设α为锐角，若cos(α+π6)=35，则sinα=______．
已知α是第二象限角，且sinα=45，tan(α+β)=?3，则tanβ=______．
已知tabα=2，则tan(α?π4)的值为______．
三、解答题
已知sin(2α+β)=3sinβ，设tanα=x，tanβ=y，y=f(x)．
(1)求证：tan(α+β)=2tanα；
(2)求f(x)的解析式；
(3)若角α是一个三角形的最小内角，试求函数f(x)的值域．
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足条件c=2b?2a，C=π4．
(1)求角A；
(2)若△ABC边AB上的高为3，求AB的长．
如图，在△ABC中，点D在BC上，∠CAD=π4，AC=72，cos∠ADB=?210．
(1)求sinC的值；
(2)若BD=5，求AB的长．
已知△ABC中，角A、B、C的对边为a，b，c，向量m=(2cosC2,?sinC)，n=(cosC2,?2sinC)，且m⊥n．
(1)求角C；
(2)若a2=b2+12c2，试求sin(A?B)的值．
答案和解析
1.【答案】D
【解答】
解：∵sin?α?sin?β=1?32，cos?α?cos?β=12，
∴(cosα?cosβ)2=cos2α?2cosαcosβ+cos2β=14，
(sinα?sinβ)2=sin2α?2sinαsinβ+sin2β=74?3，
以上两式相加，得2?2cos?(α?β)=2?3，
∴cos?(α?β)=32．
故选D．
2.【答案】A
【解答】
解：∵cos(α?π6)=45且?π2<α<0，
∴?2π3<α?π6∴sin?(α+?π?6)=sin?(α??π?6+?π?3)=?35×12+45×32=43?310．
故选A．
3.【答案】B
【解析】解：∵sinθ+sin(θ+π3)=1，
∴sinθ+12sinθ+32cosθ=1，
即32sinθ+32cosθ=1，
得3(12cosθ+32sinθ)=1，
即3sin(θ+π6)=1，
得sin(θ+π6)=33
4.【答案】D
【解答】
解：由2tanθ?tan(θ+π4)=7，得2tanθ?tanθ+11?tanθ=7，
即2tanθ?2tan2θ?tanθ?1=7?7tanθ，
得2tan2θ?8tanθ+8=0，
即tan2θ?4tanθ+4=0，
即(tanθ?2)2=0，
则tanθ=2，
故选：D．
5.【答案】A
【解答】
解：∵α∈(0,π2)，∴α?π4∈(?π4,π4)，
又sin(α?π4)=35，∴cos(α?π4)=45，
则cosα=cos[(α?π4)+π4]=cos(α?π4)cosπ4?sin(α?π4)sinπ4=45×22?35×22=210．
故选A．
6.【答案】A
7.【答案】B
【解析】解：因为α∈(0,π2)，β∈(?π2,0)，sinβ=?210，且cos(α?β)=35，
所以α?β∈(0,π)，
故cosβ=1?sin2β=7210，sin(α?β)=1?cos2(α?β)=45；
∴sinα=sin[(α?β)+β]=sin(α?β)cosβ+cos(α?β)sinβ=22；
故α=π4；
8.【答案】B
【解析】解：∵由已知可得sinBsinC=cos2A2=1+cosA2，
即2sinBsinC=1+cosA=1?cos(B+C)=1?cosBcosC+sinBsinC，
则cosBcosC+sinBsinC=1，即cos(B?C)=1．
∵?π∴B?C=0，即B=C．
9.【答案】A
【解答】
解：△ABC中，cosB=a2c，由正弦定理得，，
∴sinA=2sinCcosB，
∴sin(B+C)=2sinCcosB，
∴sinBcosC+cosBsinC=2sinCcosB，
∴sinBcosC?cosBsinC=0，
∴sin(B?C)=0，
∴B=C，
△ABC是等腰三角形．
故选A．
10.【答案】D
【解析】解：tan60°=tan25°+tan35°1?tan25?tan35?．
tan25°+tan35°+3tan25°tan35°=tan(25°+35°)(1?tan25°tan35°)+3tan25°tan35°=tan60°=3．
11.【答案】A
【解析】解：sin70°cos40°?cos70°sin40°=sin(700?400)=sin30°=12，
故选：A．
12.【答案】A
【解答】
解：∵(4c?b)cos?A=acos?B，
∴由正弦定理，得4sin?Ccos?A?sin?Bcos?A=sin?Acos?B，
∴4sin?Ccos?A=sin?Acos?B+cos?Asin?B=sinA+B=sin?C，
∴cos?A=14，又∵cos?A=b2+c2?152bc，
∴bc2=b2+c2?15，∴bc2?2bc?15，当且仅当b=c时取等号，
∴bc?10，且sinA=1?142=154，
∴S=12bcsin?A?12×10×154=5154．
故选A．
13.【答案】?35，?13
【解析】解：tanθ=2，
则cos2θ=cos2θ?sin2θcos2θ+sin2θ=1?tan2θ1+tan2θ=1?41+4=?35．
tan(θ?π4)=tanθ?tanπ41+tanθtanπ4=2?11+2×1=13．
故答案为：?35；13．
14.【答案】?2425
【解析】解：若α∈(0,π2)，
∴α?π4∈(?π4,π4)，
∵sin(α?π4)=35∈(0,22)，
∴α?π4∈(0,π4)，
∴cos(α?π4)=1?sin2(α?π4)=45，
∴cos2α=?sin(2α?π2)=?2sin(α?π4)cos(α?π4)=?2425．
故答案为：?2425．
由已知可求范围α?π4∈(0,π4)，利用同角三角函数基本关系式可求cos(α?π4)=1?sin2(α?π4)=45，进而根据诱导公式，二倍角的正弦函数公式即可求解．
15.【答案】43?310
【解答】
解：∵α为锐角，，?
∵cos(α+π6)=35，?
，?
则．
故答案为43?310??．
16.【答案】?13
【解析】解：由α是第二象限角，且sinα=45，得cosα=?35，
∴tanα=?43，∴tan(α+β)=tanα+tanβ1?tanαtanβ=?43+tanβ1+43tanβ=?3，
解得tanβ=?13．
故答案为：?13．
17.【答案】13
【解析】解：由tanα=2，
得tan(α?π4)=tanα?tanπ41+tanαtanπ4=2?11+2×1=13．
18.【答案】解：(1)证明：∵sin(2α+β)=3sinβ，∴sin[(α+β)+α]=3sin[(α+β)?α]，
展开可得sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα=3sin(α+β)cosα?3cos(α+β)sinα，
4cos(α+β)sinα=2sin(α+β)cosα，∴tan(α+β)=2tanα．
(2)∵tanα=x，tanβ=y，y=f(x)，
又tanβ=tan[(α+β)?α]=tan(α+β)?tanα1+tan(α+β)tanα=2tanα?tanα1+2tanα?tanα=x1+2x2，
即函数f(x)的解析式y=f(x)=x1+2x2．
(3)若角α是一个三角形的最小内角，则0<α<π3，tanα∈(0,3)，即x∈(0,3)，
则函数f(x)=x1+2x2=11x+2x≤122=24，当且仅当x=22时，取等号．
函数f(x)在(0,22)上单调递增，在(22,3)上单调递减，
当x趋于零时，f(x))=x1+2x2趋于0，当x趋于3时，f(x))=x1+2x2趋于37，
故函数f(x)的值域为(0,24].
19.【答案】解：(1)由正弦定理知，sinC=2sinB?2sinA，
∵A+B+C=π，∴B=3π4?A，
∴22=2sin(3π4?A)?2sinA=2(22cosA+22sinA)?2sinA=2cosA，
∴cosA=12，又A∈(0,π)，故A=π3．
(2)如图所示，过C作CD⊥AB于D，则CD=3，
∵A=π3，∴AD=1，
∵∠A+∠B+∠ACB=π，
∴sinB=sin(∠A+∠ACB)=sinAcos∠ACB+cosAsin∠ACB=32×22+12×22=6+24，
cosB=?cos(∠A+∠ACB)=?cosAcos∠ACB+sinAsin∠ACB=?12×22+32×22=6?24．
∴tanB=sinBcosB=6+26?2=2+3，
在△BCD中，BD=CDtanB=32+3=3(2?3)，
∴AB=AD+BD=1+3(2?3)=23?2．
【解析】(1)结合正弦定理和c=2b?2a，将边化为角得sinC=2sinB?2sinA，由于B=3π4?A，所以22=2sin(3π4?A)?2sinA，利用正弦的两角差公式可得22=2cosA，所以A=π3；
(2)过C作CD⊥AB于D，则CD=3，在△ACD中，因为A=π3，所以AD=1；而sinB=sin(∠A+∠ACB)，cosB=?cos(∠A+∠ACB)，利用两角和公式展开后代入已知数据进行运算，从而得tanB=sinBcosB=2+3，在△BCD中，BD=CDtanB=32+3=3(2?3)，所以AB=AD+BD=23?2．
本题考查解三角形和三角恒等变换的综合，采用了边化角的思维，熟练运用正弦定理、两角和差公式等相关公式是解题的关键，考查学生的分析能力和运算能力，属于中档题．
20.【答案】解：(1)∵cos∠ADB=?210，
∴sin∠ADB=1?(210)2=7210．
由∠CAD=π4，所以∠C=∠ADB?π4．
∴sinC=sin(∠ADB?π4)
=sin∠ADB?cosπ4?cos∠ADB?sinπ4
=7210×22+210×22=45．
(2)在△ACD中，由ADsinC=ACsin∠ADC，得AD=AC?sinCsin∠ADC=72×457210=22，
△ABD中，由余弦定理可得AB2=BD2+AD2?2BD?ADcos∠ADB
=52+(22)2?2×5×22×(?210)=37，
∴AB=37．
21.【答案】解：(1)由题意知，m?n=0，即2cos2C2?2sin2C=0，1+cosC?2(1?cos2C)=0，
2cos2C+cosC?1=0，即cosC=?1，或cosC=12，
因为0(2)sin(A?B)=sinAcosB?sinBcosA=a2R?a2+c2?b22ac?b2R?b2+c2?a22bc
=2(a2?b2)4cR=c24cR=c4R=12sinC=34.???(因为a2?b2=12c2)．