3.2.2奇偶性-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册练习（Word含解析）

奇偶性同步练习
一、选择题
若函数fx=x2+a?2x+1为偶函数，gx=x?3+bx2+2为奇函数，则a+b的值为( ??)
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
已知函数f(x)=(m?1)x2?2mx+3是偶函数，则在上此函数(????)
A. 是增函数 B. 不是单调函数 C. 是减函数 D. 不能确定
设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(?1)=1，则f(1)+f(0)=(????)
A. 1 B. 0 C. ?1 D. ?2
已知函数y=f(x)是偶函数，其图象与x轴有4个交点，则方程f(x)=0的所有实根之和是（ ）
A. 4 B. 2 C. 1 D. 0
若函数f(x)=5x(4x+3)(x?a)为奇函数，则a=(????)
A. 12 B. 23 C. 34 D. 1
函数f(x)=x(x+4),x≥0,x(x?4),x<0.是（ ）
A. 奇函数 B. 偶函数 C. 增函数 D. 减函数
在下面四个x∈[?π,π]的函数图象中，函数y=xsin2x的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
下列函数中为奇函数的是（ ）
A. y=|sinx| B. y=xsinx C. y=sin(x+π4) D. y=sinx?x
函数f(x)是定义在[m?2,m]上的奇函数，当x<0时，f(x)=3x?1，则f(m)的值为(???)．
A. 2 B. ?2 C. 23 D. ?23
下列函数中，值域是R且是奇函数的是（ ）
A. y=x3+1 B. y=sinx C. y=x?x3 D. y=2x
若实数m满足(2m?1)?2<(m+1)?2,则实数m的取值范围是(? ? ? ?)
A. (?∞,0) B. (2,+∞)
C. (?∞,0)?(2,+∞) D. (?∞,?1)?(?1,0)?(2,+∞)
已知函数f(x)对任意x∈R都有f(x+6)+f(x)=2f3，y=f(x?1)的图象关于点(1,0)对称，则f(2019)+1=
A. 0 B. ?2 C. ?1 D. 1
已知函数f(x)=2021x+log2021(x2+1+x)?2021?x+2，则关于x的不等式f(3x+1)+f(x)>4的解集为
A. ?14,+∞ B. ?∞,?14 C. (0,+∞) D. (?∞,0)
二、填空题
已知函数f(x)=(x2?2x)sin(x?1)+x+a(a∈R)在区间[?1,3]上的最大值与最小值的和为18，则实数a的值为______．
已知f(x)是定义域为R的奇函数，满足f(x)=f(x+3)，若f(2)=?1，则f(2020)=______．
已知f(x)是R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x?x2，则f(?2)的值为______．
已知ω∈(0,1)，函数f(x)=(x?6)2·sin(ωx)存在常数a∈R，使得f(x+a)为偶函数，则ω的值为________．
三、解答题
已知函数f(x)=2x+m?2?x(m∈R)为奇函数．
(Ⅰ)求实数m的值；
(Ⅱ)若方程f(x)=2x+1?a至少有一个实根，求实数a的取值范围．
已知f(x)=2x+a(12)x是偶函数．
(1)求a的值；
(2)解关于t的不等式f(2t)≥f(t+1)；
(3)求函数y=f(2x)?6f(x)+1，x∈[?1,2]的值域．
已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x2?x+1．
(1)求f(0)的值；
(2)求f(x)在R上的解析式．
已知函数f(x)=axx2+b(a>0,b>0)．
(1)直接写出该函数的定义域、值域、奇偶性、单调区间及最值；
(2)根据上述性质画出该函数的大致图像．
答案和解析
1.D
解：由f(x)=x2+(a?2)x+1为偶函数可得a?2=0即a=2，
由g(x)=x?3+bx2+2为奇函数，可得g(0)=b?32=0，
则b=3，
则a+b=5．
2.A
解：∵f(x)=(m?1)x2?2mx+3是偶函数，
所以?2m=0，即m=0，
所以f(x)=?x2+3，因为二次函数对应的抛物线开口向下，对称轴为x=0，
所以f(x)=?x2+3在(?∞,0)上单调递增，为增函数．
3.C
解：根据题意，函数f(x)是定义在R上的奇函数，则f(0)=0，
若f(?1)=1，则f(1)=?f(?1)=?1，
则f(1)+f(0)=?1．
4.D
解：∵偶函数y=f(x)的图象关于y轴对称，
∴函数y=f(x)的图象与x轴的4个交点也关于y轴对称．
因此，若方程f(x)=0的一根为x1，则它关于y轴对称的根为?x1;
若另一根为x2，则它关于y轴对称的根为?x2．
∴f(x)=0的四根之和为x1+(?x1)+x2+(?x2)=0．
5.C
解：∵f(x)为奇函数，∴f(?x)=?f(x)，
即?5x(?4x+3)(?x?a)=?5x(4x+3)(x?a)，
∴(?4x+3)(?x?a)=(4x+3)(x?a)，
即4x2+(4a?3)x?3a=4x2+(3?4a)x?3a，
∴4a?3=3?4a，解得a=34．
经检验，当a=34时满足f?x=?fx，且定义域为x|x≠±34关于原点对称，
故选：C．
6.B
解：根据题意，f(x)=x(x+4),x≥0,x(x?4),x<0.
若x>0，则?x<0，此时f(x)=x(x+4)，f(?x)=(?x)(?x?4)=x(x+4)，有f(?x)=f(x)，
若x<0，则?x>0，此时f(x)=x(x?4)，f(?x)=(?x)(?x+4)=x(x?4)，有f(?x)=f(x)，
若x=0，有f(0)=0，
综合可得：f(x)=f(?x)对任意x都成立，则f(x)为偶函数；
当x>0时，f(x)=x2+4x=(x+2)2?4，为单调递增函数，
当x<0时，f(x)=x(x?4)=(x?2)2?4，为单调递减函数，
故在整个定义域内f(x)不单调，
7.B
解：根据题意，函数y=xsin2x，x∈[?π,π]，
有f(?x)=(?x)sin(?2x)=xsin2x=f(x)，
即函数f(x)在[?π,π]上为偶函数，排除AC，
在区间(0,π2)上，sin2x>0，f(x)>0，函数图象在x轴上方，
在区间(π2,π)上，sin2x<0，f(x)<0，函数图象在x轴下方，
x轴上方和下方的部分各占区间(0,π)的一半，排除D；
8.D
解：记每个函数为y=f(x)，A中f(?x)=|sin(?x)|=|sinx|=f(x)，是偶函数，错；
B中f(?x)=?xsin(?x)=xsinx=f(x)，是偶函数，错；
C中函数原点不是对称中心，y轴不是对称轴，既不是奇函数也不是偶函数，错；
D中函数f(?x)=sin(?x)?(?x)=?sinx+x=?f(x)，是奇函数，正确．
9.C
解：函数f(x)是定义在[m?2,m]上的奇函数，
则m?2+m=0，解得：m=1，
则f(m)=f(1)=?f(?1)=?(3?1?1)=23．
10.C
解：根据题意，依次分析选项：
对于A，y=x3+1，不是奇函数，不符合题意；
对于B，y=sinx，为正弦函数，是奇函数，但值域不是R，不符合题意；
对于C，y=x?x3，有f(?x)=(?x)?(?x)3=?(x?x3)=?f(x)，为奇函数，其值域为R，符合题意；
对于D，y=2x，是指数函数，不是奇函数，不符合题意；
11.D
解：根据题意，设f(x)=x?2，由f(x)在(0,+∞)上单调递减，且是偶函数，
由(2m?1)?2<(m+1)?2，可得|2m?1|>|m+1|2m?1≠0m+1≠0，解得m<0或m>2且m≠?1．
故实数m的取值范围是．
12.D
解：因为函数y=f(x?1)的图象关于点(1,0)对称，
所以函数y=f(x)的图象关于点(0,0)对称，?
即函数y=f(x)是奇函数，?
令x=?3得，f(?3+6)+f(?3)=2f(3)，即f(3)?f(3)=2f(3)，解得f(3)=0．
所以f(x+6)+f(x)=2f(3)=0，即f(x+6)=?f(x)，
所以f(x+12)=f(x)，即函数的周期是12．
所以f(2019)=f(2019?12×168)=f(3)=0，所以f(2019)+1=1
13.A
解：根据题意，设g(x)=f(x)?2=2021x?2010?x+log2021(x2+1+x)，其定义域为R，
有g(?x)=2021?x?2010x+log2021(x2+1?x)=?[2021x?2010?x+log2021(x2+1+x)]=?g(x)，则函数g(x)为奇函数；
分析易得g(x)=f(x)?2在R上为增函数，
则f(3x+1)+f(x)>4?f(3x+1)?2>?[f(x)?2]?g(3x+1)>?g(x)?g(3x+1)>g(?x)，
则有3x+1>?x，解可得x>?14，
即不等式的解集为(?14,+∞)．
14.8
解：令t=x?1，则t∈[?2,2]，
所以原函数变为y=(t2?1)sint+t+1+a，
令g(t)=(t2?1)sint+t，t∈[?2,2]，则函数g(t)为奇函数且y=g(t)+1+a，
所以f(x)max=g(t)max+1+a，f(x)min=g(t)min+1+a，
所以f(x)max+f(x)min=g(t)max+g(t)min+2+2a，
因为g(t)为奇函数，所以g(t)max+g(t)min=0，
所以f(x)max+f(x)min=2+2a=18，
所以a=8．
用换元法令t=x?1，则t∈[?2,2]，可得原函数变为y=(t2?1)sint+t+1+a，令g(t)=(t2?1)sint+t，t∈[?2,2]，则函数g(t)为奇函数且y=g(t)+1+a，推出g(t)max+g(t)min=0，f(x)max+f(x)min=2+2a=18，进而解出a的值．
15.1
解：根据题意，f(x)满足f(x)=f(x+3)，则函数f(x)是周期为3的周期函数，
则f(2020)=f(?2+3×674)=f(?2)，
又由f(x)是定义域为R的奇函数，且f(2)=?1，
则f(?2)=?f(2)=1；
16.2
解：∵f(x)是定义在R上的奇函数，
当x>0时，f(x)=x?x2，
∴f(2)=2?22=?2，
∴f(?2)=?f(2)=2．
17.π4
解：f(x+a)=(x+a?6)2sin(ωx+ωa)，
因为f(x+a)为偶函数，
所以y1=(x+a?6)2与y2=sin(ωx+ωa)都为偶函数，
由于y1=x2+2(a?6)x+(a?6)2，所以可得a?6=0，即a=6，
此时y2=sin(ωx+6ω)为偶函数，则6ω=π2+kπ(k∈Z)，
则ω=π12+kπ6(k∈Z)．
因为ω∈(0,1)，当k=1时，ω=π4∈(0,1)，
所以ω的值为π4．
18.解：(Ⅰ)因为f(x)=2x+m?2?x是奇函数，
所以f(?x)=?f(x)(x∈R)，
即2?x+m?2x=?(2x+m?2?x)，
所以(1+m)+(m+1)?22x=0对一切x∈R恒成立，
所以m=?1，经验证符合题意．
(Ⅱ)方程f(x)=2x+1?a，即方程2x?2?x=2x+1?a至少有一个实根，
即方程4x?a?2x+1=0至少有一个实根．
令t=2x>0，则方程t2?at+1=0至少有一个正根．
令?(t)=t2?at+1，由于?(0)=1>0，
所以只需△≥0a2>0，即a2?4≥0a2>0解得a≥2．
所以a的取值范围为[2,+∞)．
19.解：(1)∵f(x)=2x+a(12)x是偶函数，
∴f?x=fx，
又2x+a12x=2?x+a12?x，
a?12x?12x=0对任意实数恒成立，
∴a=1；? ?
(2)∵f(x)=2x+(12)x，
任取x1,x2∈[0,+∞)且x1则fx1?fx2=2x1+12x1?2x2+12x2
=2x1?2x2+12x1?12x2
=2x1?2x2+2x2?2x12x12x2
=2x1?2x21?12x12x2
=2x1?2x22x12x2?12x12x2，
∵x1,x2∈[0,+∞),且x1∴2x1?2x2<0，2x12x2?1>0，2x1·2x2>0，
∴f(x1)?f(x2)<0，即f(x1)∴f(x)=2x+(12)x在[0,+∞)上是增函数，
又∵f(x)=2x+(12)x是偶函数，
又f2t≥ft+1?f2t≥ft+1?2t≥t+1，
两边平方可得3t2?2t?1≥0，
即t?1或t??13，不等式的解集为{t|t?1或t??13}；
(3)函数y=f2x?6fx+1=22x+122x?62x+12x+1，
令2x+12x=t，
由x∈?1,2可知，t∈2,174，
∴由y=22x+122x?62x+12x+1=2x+12x2?62x+12x?1，
可得gt=t2?6t?1=t?32?10，
∵t∈2,174，???
∴gt∈g3,g174，
∴函数的值域是?10,?13516.
20.解：(1)∵f?(x)是奇函数，∴f?(?x)=?f?(x)．
令x=0，得f?(?0)=?f?(0)，
即f?(0)=0．
(2)∵当x>0时，f?(x)=x2?x+1，
∴当x<0时，?x>0，
f?(x)=?f?(?x)=?[(?x)2?(?x)+1]
=?x2?x?1．
又f?(0)=0，
∴f?(x)在R上的解析式为f?(x)=x2?x+1,x>0,0,x=0,?x2?x?1,x<0.
21.解：(1)因为f(x)=axx2+b(a>0,b>0)
所以x2+b>0，故定义域为R，
f(x)=axx2+b=ax+bx(a>0,b>0)
当x>0时，x+bx?2b，当且仅当x=b，fxmax=a2b，
当x<0时，??x+b?x??2b，当且仅当x=?b时fxmin=?a2b，
所以值域为?a2b,a2b，
f?x=?axx2+b=?fx，所以函数为奇函数，
根据对勾函数性质可得，在单调减，
在?b,b上单调增，在，单调减；
(2)根据上述性质画出该函数的图像如图：