5.7三角函数的应用-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册练习（Word含解析）

三角函数的应用同步练习
一、选择题
如图所示，矗立于伦敦泰晤士河畔的伦敦眼(T?e?London?Eye)是世界上首座、也曾经是世界最大的观景摩天轮．已知其旋转半径60米，最高点距地面135米，运行一周大约30分钟．某游客在最低点的位置坐上摩天轮，则第10分钟时他距地面大约为(??? )
A. 95米 B. 100米 C. 105米 D. 110米
如图为一半径为3米的水轮，水轮圆心O距水面2米，已知水轮每分钟转4圈，水轮上的点P到水面距离y(米)与时间x(秒)满足关系式y=Asin(ωx+φ)+2，则有(????)
A. ω=5π12，A=3 B. ω=2π15，A=3
C. ω=5π12，A=5 D. ω=152π，A=5
一单摆如图所示，以OA为始边，OB为终边的角θ(?π<θ<π)与时间t(s)满足关系式θ=12sin2t+π2，t∈[0,+∞)，则当t=0时，角θ的大小及单摆频率是(? ? ?)
A. 2，1π
B. 12，1π
C. 12，π
D. 2，π
如图，已知扇形AOB的半径为1，其圆心角为π3，四边形PQRS是该扇形的内接矩形，则该矩形面积的最大值为?(???)
A. 513 B. 32 C. 1213 D. 36
某校高一年级研究性学习小组利用激光多普勒测速仪实地测量复兴号高铁在某时刻的速度，该激发测速仪工作原理是：激光器发出的光平均分成两束射出，在被测物体表面汇聚，探测器接收反射光．当被测物体横向速度为零时，反射光与探测光频率相同．当横向速度不为零时，反射光相对探测光会发生频移fp=2vsinφλ，其中v为测速仪测得被测物体的横向速度，λ为激光波长，φ为两束探测光线夹角的一半，如图．若激光测速仪安装在距离高铁1m处，发出的激光波长为1550nm(1nm=10?9m)，测得某时刻频移为9.030×109(1/?)，则该时刻高铁的速度约等于
A. 320km/? B. 330km/? C. 340km/? D. 350km/?
将函数f(x)=4sinπ2?π2x和直线g(x)=x?1的所有交点从左到右依次记为A1，A2，…，An，若P点坐标为(0,3)，则PA1+PA2+...+PAn=(? ??)
A. 0 B. 2 C. 6 D. 10
函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示，则(???)?
A. y=2sin(x+π6)
B. y=2sin(2x?π6)
C. y=2sin(x+π3)
D. y=2sin(2x?π3)
某港口某天0时至24时的水深y(米)随时间x(时)变化曲线近似满足如下函数模型：y=0.5sin(ωπx+π6)+3.24(ω>0)，若该港口在该天0时至24时内，有且只有3个时刻水深为3米，则该港口该天水最深的时刻不可能为(????)
A. 16时 B. 17时 C. 18时 D. 19时
已知函数f(x)=cosx?|cosx|.给出下列结论：
①f(x)是周期函数；??
②函数f(x)图像的对称中心(kπ+π2,0?)?(k∈Z)；
③若f(x1)=f(x2)，则x1+x2=kπ(k∈Z)；
④不等式sin?2πx?sin?2πx>cos?2πx?|cos?2πx|的解集为x|k+18则正确结论的序号是(??? )
A. ①② B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④
一个大风车的半径为8?m，12?min旋转一周，它的最低点P0离地面2?m，风车翼片的一个端点P从P0开始按逆时针方向旋转，则点P离地面距离?(m)与时间t(min)之间的函数关系式是(????)
A. ?(t)=?8sinπ6t+10 B. ?(t)=?8cosπ6t+10
C. ?(t)=?8sinπ6t+8 D. ?(t)=?8cosπ6t+8
如图，圆O的半径为1，A，B是圆上的定点，OB⊥OA，P是圆上的动点，点P关于直线OB的对称点为P′，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，将表示为x的函数f(x)，则y=f(x)在[0,π]上的图象大致为(????)
A. B.
C. D.
若α∈(π2,π)，cos2α=725，则sinαsin(3π2+α)=(????)
A. ?34 B. 34 C. 43 D. ?43
二、填空题
如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°、相距10海里C处的乙船，若设乙船朝北偏东θ弧度的方向沿直线前往B处救援，则sinθ=________．
喷泉是流动的艺术，美轮美奂的喷泉给人以无限的享受(如图1).若不考虑空气阻力，当喷泉水柱以与水平方向夹角为α的速度v喷向空气中时，水柱在水平方向移动距离D=v2gsin2α，能够到达的最高高度H=v24g(1?cos2α)(如图2，其中g为重力加速度).若tanα=52，则H与D的比值为___________．
港口水深是港口重要特征之一，表明其自然条件和船舶可能利用的基本界限，如下图是某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin(π6x+φ)+k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为________．
在一座塔的正东方向的点A处与塔的正南方向的点B处测得塔顶的仰角分别为60°，30°.已知AB=100m，那么塔高=______m.
三、解答题
为庆祝某校一百周年校庆，展示该校一百年来的办学成果及优秀校友风采，学校准备校庆期间搭建一个扇形展览区，如图，是一个半径为2百米，圆心角为π3的扇形展示区的平面示意图.点C是半径OB上一点，点D是圆弧AB⌒上一点，且CD//OA.为了实现“以展养展”，现决定：在线段OC、线段CD及圆弧DB⌒三段所示位置设立广告位，经测算广告位出租收入是：线段OC处每百米为2a元，线段CD及圆弧DB⌒处每百米均为a元.设∠BOD=x弧度，广告位出租的总收入为y元．
(1)求y关于x的函数解析式，并指出该函数的定义域；
(2)试问x为何值时，广告位出租的总收入最大，并求出其最大值．
某居民小区为缓解业主停车难的问题，拟对小区内一块扇形空地AOB进行改建.如图所示，平行四边形OMPN区域为停车场，其余部分建成绿地，点P在围墙AB弧上，点M和点N分别在道路OA和道路OB上，且OA=60米，∠AOB=60?，设∠POB=θ．
(1)求停车场面积S关于θ的函数关系式，并指出θ的取值范围；
(2)当θ为何值时，停车场面积S最大，并求出最大值
答案和解析
1.【答案】C
【解答】
?解：设人在摩天轮上离地面高度(米)与时间t(分钟)的函数关系为
f(t)=Asin(ωt+φ)+B(A>0,ω>0,φ∈[0,2π?))．
由题意可知A=60，B=135?60=75，T=2πω=30，
所以ω=?π?15，即．
又因为f0=135?120=15，解得sinφ=?1，
故φ=3π2，所以f(t)=60sin(π15t+3π?2)+75=?60cosπ15t+75，
所以f10=?60×cos2π3+75=105．
故选C．
2.【答案】B
【解答】
解：∵水轮的半径为3?m，水轮圆心O距离水面2?m，
∴A=3．
又水轮每分钟旋转4圈，故转1圈需要15?s，
∴T=15=2πω，
∴ω=2π15．
故选B．
3.【答案】B
【解答】
解：当t=0时，θ=12sinπ2=12，
由函数解析式易知单摆周期为2π2=π，
故单摆频率为1π．
故选B．
4.【答案】D
【解答】
解：?如图，
在Rt△OPS中，设∠POS=α，则OS=cosα，PS=sinα，?
在Rt△ORQ中，QROR=tanπ3=3，所以OR=33QR=33sinα．
∴RS=OS?OR=cosα?33sinα．
设矩形PQRS的面积为S，则
．
由于0<α<π3，
所以当2α+π6=π2，即α=π6时，Smax=33?36=36．
因此，当α=π6时，矩形PQRS的面积最大，最大面积为36．
故选D．
5.【答案】D
【解答】
解：由图中数据可得sinφ≈150，fp=9.030×109(1/?)，λ=1550×10?9m=1.55×10?9km，
∴v=fpλ2sinφ=9.03×109×1.55×10?92×150=9.03×1.55×25≈350km/?．
故选D．
6.【答案】D
【解答】
解：函数与g(x)=x?1的所有交点从左往右依次记为A1、A2、A3、A4和A5，
且A1和A5，A2和A4，都关于点A3对称，如图所示：
则PA1+PA2+...+PA5=5PA3=5(1,?3)，
所以PA1+PA2+...+PAn=10．
故选：D．
7.【答案】B
【解答】
解：由题知A=2，
T=2π3+π6=π，
∴ω=2，
即y=2sin(2x+φ)过点π3,2，
即2sin(2×π3+φ)=2，解得2π3+φ=π2+2kπ,k∈Z，即φ=?π6+2kπ,k∈Z，
当k=0时，y=2sin(2x?π6)．
故选B．
8.【答案】D
【解答】
解：由题意可知，x=0时，y=0.5sin(ωπ×0+π6)+3.24=3.49，
由五点法作图可知：如果当x=16时，函数取得最大值，可得：16ωπ+π6=5π2，可得ω=748，
此时函数y=0.5sin(7π48x+π6)+3.24，函数的周期为：T=2π7π48=967≈14，
x=24时，y=0.5sin(7π48×24+π6)+3.24<3，
该港口在该天0时至24时内，有且只有3个时刻水深为3米，满足；
同理，x=17和x=18时亦满足．
如果当x=19时，函数取得最大值，可得：19ωπ+π6=5π2，可得ω=757，
此时函数y=0.5sin(7π57x+π6)+3.24，函数的周期为：T=2π7π57=1147，
x=24时，y=0.5sin(7π57×24+π6)+3.24>3，如图：
该港口在该天0时至24时内，有且只有3个时刻水深为3米，不满足，
故选：D．
9.【答案】D
【解答】
f(x+2kπ)=cos(x+2kπ)?|cos(x+2kπ)|=cosx?|cosx|=f(x)，
是周期为的函数，①正确；
当时，，，
当时，cosx≤0，，
可以画出在一个周期[?π2,3π2]内的函数图象，如下
由图可知：函数的对称中心为(kπ+π2,0?)?(k∈Z)，②正确；
函数的对称轴为
若，则，即，③错误；
不等式等价于：
由图可知：
解得，④正确．
故选：D．
10.【答案】B
?【解答】
解：以风车的中心为坐标原点，过风车中心水平方向的直线为x轴(向右为x轴的正方向)，过风车中心竖直方向的直线为y轴(向上为y轴的正方向)建立平面直角坐标系．
由题意得：地面对应的直线的纵坐标为?10，点P0的坐标为(0,?8)；
点P转动的速度为2π12=π6(rad/min)．
∵点P从点P0开始转动，
∴点P的纵坐标y与其转过的角度π6t满足余弦关系．
设y=Acos?π6t.
∵点(0,?8)在函数y=Acos?π6t的图象上，
∴?8=Acosπ6×0．
解得A=?8．
∴y=?8cos?π6t.
∵风车上翼片的端点P始终在地面上方，
∴点P离地面的距离?=y?(?10)=?8cos?π6t+10，
∴点P离地面的距离?(m)与时间t(min)的函数关系式是?(t)=?8cos?π6t+10．
故选B．
11.【答案】A
【解答】
解：依题意可知，|OP|=|OP′|=1，
∴OP?OP′=|OP|2+|OP′|2?2OP?OP′=2?2OP?OP′，
∵当0≤x≤π2时，，
又P′是P关于OB的对称点，则∠BOP′=∠BOP=π2?x，
∴∠POP′=π?2x，
∴当0≤x≤π2时，
OP?OP′=|OP|?|OP′|?cos(π?2x)=?cos2x，
又∵π2又P′是P关于OB的对称点，则∠BOP′=∠BOP=x?π2，
∴∠POP′=2x?π，
∴当π2OP?OP′=|OP|?|OP′|?cos(2x?π)=?cos2x，
综上所述x∈0,π时，OP?OP′=?cos2x，
∴f(x)=OP?OP′=2?2OP?OP′
=2+2cos2x=2cosx，x∈0,π，
∴f(x)的图象为A所示，
故选A．
12.【答案】B
【解析】解：由题可得：cos2α=cos2α?sin2αcos2α+sin2α=1?tan2α1+tan2α=725，
解得tanα=±34，
因为α∈(π2,π)，
所以tanα=?34，
所以sinαsin(3π2+α)=sinα?cosα=?tanα=34．
13.【答案】5714
【解答】
解：如图所示，在△ABC中，AB=20，AC=10，∠BAC=120°，
由余弦定理得BC2=AB2+AC2?2AB?AC?cos120°
=700，
所以BC=107；
由正弦定理得sin∠ACB=ABBCsin∠BAC=217，
由∠BAC=120°知∠ACB为锐角，
所以cos∠ACB=277；
所以sinθ=sin(∠ACB+30°)
=sin∠ACBcos30°+cos∠ACBsin30°=5714．
故答案为5714．
14.【答案】58
【解答】
解：由题意可得：HD=v24g1?cos2αv2gsin2α=v24g2sin2αv2gsin2α=12sin2α2sinαcosα=14tanα=58．
故答案为58．
15.【答案】8m
【解答】
解：由图像知ymin=2．
因为ymin=?3+k，
所以?3+k=2，解得k=5，
所以这段时间水深的最大值是ymax=3+k=3+5=8(m)．
故答案为8m．
16.【答案】1030
【解析】解：如图所示，
塔OT⊥平面AOB，∠AOB=90°，∠OAT=60°，∠OBT=30°，AB=100，
设塔高OT=a，OA=atan60?=a3，OB=atan30?=3a，
OA2+OB2=AB2，
13a2+3a2=1002，a=1030；
即塔高为1030m.
故答案为：1030．
17.【答案】解：(1)因为，
所以在△OCD?中，，，，百米．
由正弦定理，得，，
得，．
又圆弧DB长为，
所以
．
(2)记，
则
，
令f′(x)=0，得x=π6．
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化如下表：
x
0,π6
π6
π6,π3
f′(x)
+
0
?
f(x)
递增
极大值
递减
所以f(x)在x=π6处取得极大值，这个极大值就是最大值．
即．
所以，广告位出租的总收入的最大值为元．
18.【答案】解：(1)由平行四边形OMPN得，
在ΔOPN中，∠ONP=120?，∠OPN=60??θ，
则ONsin∠OPN=OPsin∠ONP=PNsin∠PON，
即ONsin(60??θ)=60sin120?=PNsinθ，
即ON=403sin(60??θ)，PN=403sinθ，
则停车场面积S=ON?PN?sin∠ONP=24003sinθsin(60??θ)，
即S=24003sinθsin(60??θ)，其中0?<θ<60?．
(2)由(1)得S=24003sinθsin(60??θ)=24003sinθ(32cosθ?12sinθ)，
即S=3600sinθcosθ?12003sin2θ=1800sin2θ+6003cos2θ?6003，
? 则S=12003sin(2θ+30?)?6003.??
因为0?<θ<60?，
所以30?<2θ+30?<150?，
则2θ+30?=90?时，Smax=12003×1?6003=6003平方米．
故当θ=30?时，停车场最大面积为6003平方米．