5.5.2简单的三角恒等变换-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册练习（Word含解析）

简单的三角恒等变换同步练习
一、选择题
函数f(x)=3cosx?sinx的一个单调递增区间是(????)
A. [π,2π] B. [12π,32π] C. [?16π,56π] D. [56π,116π]
关于函数f(x)=3?2cosx(cosx?sinx)，有以下4个结论：
①f(x)的最小正周期是π；②f(x)的图象关于点(?π8,0)中心对称；
③f(x)的最小值为2?2；④f(x)在区间(π6,5π12)内单调递增
其中所有正确结论的序号是(??)????????????????????????????????????????????????????????????????????????
A. ①②③ B. ①③ C. ②④ D. ②③④
已知向量m=(sinA,12)与向量n=(3,sinA+3cosA)共线，其中A是△ABC的内角，则角A的大小为(? ? ? )
A. π2 B. π4 C. π3 D. π6
函数y=12sin2x+sin2x，x∈R的值域是(? ? )
A. [?12,32] B. [?22+12,22+12]
C. [?32,12] D. [?22?12,22?12]
设a=cos50?cos127?+cos40?sin127?，b=22(sin56??cos56?)，c=1?tan239?1+tan239?，则a，b，c的大小关系是(????)
A. a>b>c B. b>a>c C. c>a>b D. a>c>b
已知函数f(x)=2cos2x?3sin2x，在?ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，内角A满足fA=?1，若a=6，则?ABC的面积的最大值为(?)
A. 33 B. 332 C. 34 D. 23
已知函数fx=3sinxcosx+cos2x，则
A. fx的图象关于直线x=π6对称 B. fx的最大值为2
C. fx的最小值为?1 D. fx的图象关于点π12,0对称
若sin(α+2π3)+cos(α+π2)=33，则cos(2α+2π3)=
A. ?79 B. ?13 C. 13 D. 79
已知cosα=13，α∈3π2,2π，则cosα2等于(????)
A. 63 B. ?63 C. 33 D. ?33
若点M(cos5π6,sin5π6)在角α的终边上，则tan2α=(????)
A. 33 B. ?33 C. 3 D. ?3
函数f(x)=2sin2x的最小正周期是
A. ?π2 B. π C. 2π D. 4π
已知sin2α=1?cos2α，且α∈(0,π2)，则α=(????)
A. π12 B. π6 C. π4 D. π3
二、填空题
函数f(x)=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是______，单调递减区间是______．
在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知c=2，a=4sin?Asin?C，且a>c，则△ABC面积的最大值为_______________．
函数f(x)=sinx2cosx2+cos2x2，当x∈(0,π2)时，f(x)的值域为________．
三、解答题
若函数f(x)=3sin2x+2cos2x+3.?
(I)求y=f(x)的最小正周期及单调增区间；
(II)求y=f(x)在x∈R时的最小值，并求相应的x取值集合．
已知a，b，c分别是锐角△ABC三个内角A，B，C所对的边，向量a=(sinA,23sinA)，b=(2cosA,sinA)，设f(A)=a?b．
(Ⅰ)若f(A)=23，求角A；
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，若btanB+ctanC=2atanA，a=22，求三角形ABC的面积．
已知三角函数f(x)=23sin(x+π4)cos(x+π4)+2cos2(x?π4)?1，x∈R．
(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期；
(Ⅱ)求函数f(x)在区间[0,π2]上的最大值和最小值及相应的x的值．
已知函数fx=23cosxsinx+2cos2x+2．
(1)求函数fx的最小正周期和单调递减区间;
(2)求函数fx在0,π2上的最大值和最小值．
答案和解析
1.D
解：f(x)=3cosx?sinx=2cos(x+π6)，
结合余弦函数的性质可知，
，
可得，
结合选项可知，D符合题意．
2.【答案】B
【解答】
解：f(x)=3?2cos2x+2sinxcosx=3?(1+cos2x)+sin2x=2sin(2x?π4)+2，
①，T=2π2=π，正确；
②，f(?π8)=2sin[2(?π8)?π4]+2=?2+2≠0，错误；
③，f(x)的最小值为2?2，正确；
④，因为2x?π4∈(π12,7π12)，y=sinx在(π12,7π12)上不单调，错误．
故选B．
3.【答案】C
【解答】
解：∵m//n，
∴sinA(sinA+3cosA)?32=0，
∴2sin2A+23sinAcosA=3，
化为1?cos2A+3sin2A=3，
∴sin(2A?π6)=1，
∵A∈(0,π)，
∴(2A?π6)∈(?π6,11π6)．
∴2A?π6=π2，
解得A=π3．
故选：C．
4.【答案】B
【解答】
解：y=12sin2x+sin2x=12sin2x+1?cos2x2=22(22sin2x?22cos2x)+12=22sin(2x?π4)+12∵?1≤sin(2x?π4)≤1;
∴?22+12≤y≤22+12;
∴原函数的值域为[?22+12,22+12].
故选B；
5.【答案】D
【解答】
解：a=sin40?cos127?+cos40?sin127?=sin(40?+127?)=sin167?=sin13?，
b=22(sin56??cos56?)=22sin56??22cos56?=sin(56??45?)=sin11?，
c=cos2?39??sin2?39?cos2?39?sin2?39?+cos2?39?cos2?39?=cos2?39??sin2?39?=cos78?=sin12?，
∵sin13?>sin12?>sin11?，
∴a>c>b．
故选D．
6.【答案】B
【解答】
解：f(x)=2cos2x?3sin?2x
=cos?2x?3sin?2x+1=2cos?(2x+π3)+1
则f(A)=2cos2A+π3+1=?1?cos2A+π3=?1，
因为A为三角形内角，
则A=π3，
又a=6，a2=b2+c2?2bccosA=b2+c2?bc≥2bc?bc=bc，
当且仅当b=c时取等号，即bc≤6，
S△ABC=12bcsin?A?12×6×32=332．
故选B．
7.【答案】A
【解答】
解：由题意?，
由三角函数的性质，可知：，解得，故fx的图象关于直线x=π6对称，故A正确；
该函数f(x)的最大值为32，最小值为?12，故B，C错误；
，解得，由三角函数的性质，函数的图象关于点对称，故D错误．
故选A ．
8.【答案】A
【解答】
解：∵sin(α+2π3)+cos(α+π2)=?12sinα+32cosα?sinα=32cosα?32sinα
=3cos(α+π3)=33，
∴cos(α+π3)=13，
∴cos(2α+2π3)=2cos2(α+π3)?1=?79．
故选A．
9.【答案】B
【解答】
解：∵已知cosα=13，α∈(3π2,2π)，
∴α2∈(3π4,π)，
则cosα2=?1+cosα2=?1+132=?63，
故选：B．
10.【答案】D
【解析】解：因为点M(cos5π6,sin5π6)在角α的终边上，即点(?32,12)在角α的终边上，
则tanα=yx=?33，
可得：tan2α=2tanα1?tan2α=?3．
11.【答案】B
【解答】
解：由题意可得：fx=2sin2x=1?cos2x，
所以周期为T=2π2=π．
故选B．
12.【答案】C
【解析】解：∵sin2α=1?cos2α，
∴2sinαcosα=2sin2α，
∵α∈(0,π2)，sinα>0，
∴可得cosα=sinα，即tanα=1，
∴α=π4．
13.【答案】π；?
【解答】
解：?，
∴T=2π?2=?π?，
由π2+2kπ≤2x?π4≤3π2+2kπ，k∈，
解得：3π8+kπ≤x≤7π8+kπ，k∈，
∴单调递减区间是[3π?8+kπ?,7π?8+kπ?]，k∈．
故答案为π；?．
14.【答案】π；[kπ+3π8,kπ+7π8](k∈Z)
【解答】
解：化简可得f(x)=sin2x+sinxcosx+1
=12(1?cos2x)+12sin2x+1
=22sin(2x?)+32，
∴原函数的最小正周期为T=2π2=π，
由2kπ+π2≤2x?π4≤2kπ+3π2可得kπ+3π8≤x≤kπ+7π8，
∴函数的单调递减区间为[kπ+3π8,kπ+7π8](k∈Z)
故答案为π；[kπ+3π8,kπ+7π8](k∈Z)
15.【答案】2+1
【解答】
解：根据正弦定理：asin?A=4sin?C=csin?C=2sin?C，
解得sin2C=12，C∈(0,π)，
故sin?C=22，
a>c，
故C=π4，a=22sin?A，
S=12acsin?B=22sin?Asin?B
=22sin?Asin?(π4+A)
=2sin2A+2sin?Acos?A
=1?cos?2A+sin?2A
=2sin?(2A?π4)+1，
当A=3π8时有最大值为2+1．
故答案为2+1．
16.【答案】1,2+12
【解答】
解：，
当x∈(0,x2)时，，
∴f(x)的值域为1,2+12．
故答案为1,2+12．
17.【答案】解：(I)f(x)=3sin2x+cos2x+1+3
=2sin?(2x+π6)+4，
则y=f(x)的最小正周期T=π，
令，
解得，
y=f(x)的单调增区间为；
(II)由(I)可知f(x)=2sin?(2x+π6)+4，
y=f(x)在x∈R时的最小值：f(x)min=2，
此时2x+π6=?π2+2kπ,(k∈Z)，
∴x=?π3+kπ,(k∈Z)，
所以相应的x取值集合为{x|x=?π3+kπ,k∈Z}．
18.【答案】解：(Ⅰ)f(x)=2sinAcosA+23sin2A=sin2A?3cos2A+3=2sin(2A?π3)+3
因为f(A)=23，即sin(2A?π3)=32，所以A=π3或A=π2(舍去)
(Ⅱ)由(I)可得A=π3，
因为btanB+ctanC=2atanA，则bcosBsinB+ccosCsinC=2acosAsinA，
所以cosB+cosC=2cosA=1，
又因为B+C=2π3，
所以cosB+cos(2π3?B)=12cosB+32sinB=1．
所以sin(B+π6)=1，
因为B为三角形内角，所以B=C=π3
所以三角形ABC是等边三角形，由a=22，
所以面积S=34×(22)2=23．
19.【答案】解：(Ⅰ)函数f(x)=23sin(x+π4)cos(x+π4)+2cos2(x?π4)?1
=3sin(2x+π2)+cos(2x?π2)
=3cos2x+sin2x=2sin(2x+π3)，
故函数f(x)的最小正周期为2π2=π．
(Ⅱ)对于函数f(x)=2sin(2x+π3)，由x∈[0,π2]，
可得2x+π3∈[π3,4π3]，
故当2x+π3=π2，即x=π12时，函数f(x)取得最大值为2；
当2x+π3=4π3，即x=π2时，函数f(x)取得最小值为2×(?32)=?3．
20.【答案】解：
，
T=2π2=π，
令2x+π6∈π2+2kπ,3π2+2kπ?x∈π6+kπ,2π3+kπ，
即单减区间为π6+kπ,2π3+kπ,k∈Z；
(2)由x∈0,π2?t=2x+π6∈π6,7π6，
当t=7π6时，fx的最小值为：?2；
当t=π2时，fx的最大值为：5．