3.3幂函数-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册练习（Word含解析）

幂函数同步练习
一、选择题
若函数f(x)=(m2?2m?2)xm?1是幂函数，则m=(????)
A. 3 B. ?1 C. 3或?1 D. 1±3
若幂函数f(x)=(m2+2m?2)xm2?2m在(0,+∞)上为减函数，则m=(????)
A. ?3 B. ?1 C. 1 D. 3
下列函数是幂函数的是（ ）
A. y=x2 B. y=2x2 C. y=x12+1 D. y=3x3+1
已知幂函数y=xm2?2m?3(m∈Z)的图象与x轴y轴都无公共点，且关于y轴对称，则实数m的值是（）
A. ?1，1 B. ?1，1，2 C. ?1，1或3 D. 1或3
幂函数y=xm(m∈Z)的图象如图所示，则m的值可以为（ ）
A. 1 B. ?1 C. ?2 D. 2
已知点2,14在幂函数y=fx的图象上，则fx的表达式是(??? )
A. fx=x8 B. fx=x2 C. fx=x?2 D. fx=12x
已知f(x)=3x12，若0 A. f(a)C. f(a)当x∈1,+∞时，函数y=xa的图象恒在直线y=x的下方，则a的取值范围是(?? )
A. 01
已知幂函数f(x)的图象过点(2,16)，则f(3)=(????)
A. 27 B. 81 C. 12 D. 4
已知幂函数y=(m2?m?1)xm2?2m?3，当x∈(0,+∞)时为减函数，则(?? )
A. m=2 B. m=?1
C. m=?1或m=2 D. m≠1±52
函数y=x?2在区间[12,2]上的最大值是(???)
A. 14 B. ?1 C. 4 D. ?4
函数y=x3和y=x13图象满足(??? )
A. 关于原点对称 B. 关于x轴对称
C. 关于y轴对称 D. 关于直线y=x对称
二、填空题
已知幂函数f(x)=xm经过点(2,14)，则f(2)=______．
如图所示，曲线是幂函数y=xα在第一象限内的图象，已知α分别取?1,1,12,2四个值，则相应图象依次为：_____________．
幂函数f(x)=x?2的单调增区为______
已知幂函数y=xa的图象过点(3,9)，则ax?x8的展开式中x的系数为________．
三、解答题
已知函数f(x)=lg(x+ax?2),其中a是大于0的常数．
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)当a=4时，求函数f(x)在2,+∞上的最小值；
(3)若对任意x∈4,+∞,恒有f(x)>1,试确定a的取值范围
已知函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)+g(x)=2x+1．
(1)求函数f(x)，g(x)的解析式；
(2)若对任意，不等式f(2x)≥mg(x)?2恒成立，求实数m的最大值；
已知函数fx=2x+k?2?x,k∈R．
(1)若函数fx为奇函数，求实数k的值；
(2)若对任意的x∈0,+∞都有fx>2?x成立，求实数k的取值范围．
答案和解析
1.C
解：因为函数f(x)=(m2?2m?2)xm?1是幂函数，
所以m2?2m?2=1，解得m=?1或m=3．
2.C
解：由已知m2+2m?2=1，解得m=?3或m=1，
当m=?3时，f(x)=x15在(0,+∞)上为增函数，不符合题意；
当m=1时，f(x)=x?1在(0,+∞)上为减函数，符合题意．
3.A
解：因为形如y=xα的函数为幂函数，分析A，B，C，D四个函数的形式，
由题意可知：y=x2是幂函数，
4.C
解：由于幂函数y=xm2?2m?3(m∈Z)的图象与x轴、y轴都无公共点，且关于y轴对称，故幂函数是偶函数，
且m2?2m?3=(m?3)(m+1)为非正的偶数．
由m2?2m?3≤0可得?1≤m≤3，即? m=?1、0、1、2，3．
再由m2?2m?3为偶数，可得m=?1、1、3．
5.C
解：根据幂函数的图象可知函数在第一象限内单调递减，且为偶函数．
则m<0且为偶数，
6.C
解：设幂函数解析式为：y=xα，
因为点(2,14)在幂函数f(x)的图象上，
所以14=2α，解得α=?2，
函数的解析式为：f(x)=x?2．
7.C
解：因为0因为函数f(x)=3x12在(0,+∞)上单调递增，
所以f(a)8.C
解：根据幂函数的图象的特点，画出函数的图象：
由图像可得，当时，幂函数y=xa的图象恒在直线y=x的下方，
则a的取值范围是a<1，
9.B
解：设fx=xα，则2α=16，所以α=4，
所以fx=x4，所以f3=34=81?．
10.A
解：由于f(x)=(m2?m?1)xm2?2m?3为幂函数，
所以m2?m?1=1，
解得m=2或m=?1，
当m=2时，m2?2m?3=?3，y=x?3此时函数在x∈(?∞,0)上为减函数，满足题意；
当m=?1时，m2?2m?3=0，y=x=1，(x≠0)在x∈(?∞,0)上为常数函数，不合题意，舍去．
综上，m=2．
故选A ．
11.【C
解：由已知，y=x?2=1x2，
显然，当x>0时，y=1x2是减函数，
所以当x=12，函数在这个区间上的取得最大值，最大值为4．
故选C．
12.D
解：这两个函数的图象如下：
显然它们的图象关于直线y=x对称，
故选D．
13.12
解：幂函数f(x)=xm经过点(2,14)，
即2m=14，解得m=?2，
所以f(x)=x?2；
所以f(2)=(2)?2=12．
故答案为：12．
14.c4,c2,c3,c1
解：做直线x=2，与四个函数图象从上到下的交点依次记为A、B、C、D
而22>21>212>2?1，从而相应于曲线C1，C2，C3，C4的α依次为2,1,12,?1
故答案为c4,c2,c3,c1．
15.(?∞,0)
解：幂函数f(x)=x?2中，定义域为(?∞,0)∪(0,+∞)，且幂指数为?2，
∴f(x)在第一象限内是单调减函数；
又f(x)为偶函数，
∴f(x)在第二象限内是单调增函数，
∴f(x)的单调增区为(?∞,0)．
故答案为：(?∞,0)．
16.112
解：由幂函数的图象过点(3,9)，可得a=2．
则2x?x8展开式的第r+1项为Tr+1=C?8r2x8?r·(?x)r=(?1)rC?8r·28?rx32r?8，
由32r?8=1，得r=6，
故含x的项的系数为C?86×22×(?1)6=112．
17.解：(1)由x+ax?2>0，得x2?2x+ax>0，
当a>1时，x2?2x+a>0恒成立，定义域为(0,+∞)，
当a=1时，定义域为{x|x>0且x≠1}，
当01+1?a}；
(2)设g(x)=x+ax?2，
当a=4，x∈[2,+∞)时，结合图象可得，g(x)=x+4x?2在[2,+∞)上是增函数，
所以f(x)=lg(x+4x?2)在[2,+∞)上是增函数，
所以f(x)=lg(x+4x?2)在[2,+∞)上的最小值为f(2)=lg2；
(3)对任意x∈[4,+∞)，恒有f(x)>1，即x+ax?2>10对任意x∈[4,+∞)恒成立，
所以a>12x?x2，
令?(x)=12x?x2，
而?(x)=12x?x2=?(x?6)2+36在[4,+∞)上的最大值?(x)max=?(6)=36，
∴a>36，
又∵a>0，
∴a的取值范围为(36,+∞).
18.解：(1)，
用代替得，
则，
解方程组得：，．
(2)对任意恒成立，
令，，因为在单调递增，故
则对恒成立
当时，?，故，即．
19.解：(1)∵f(x)=2x+k?2?x是奇函数，
∴f?x=?fx,x∈R，即2?x+k?2x=?2x+k?2?x，
∴1+k+k+122x=0对一切x∈R恒成立，
∴1+k=0，
∴k=?1．
(2)∵对于x∈0,+∞，均有fx>2?x，即2x+k?2?x>2?x成立，
∴1?k<22x对x≥0恒成立．
∴1?k<22xminx≥0，
又y=22x在0,+∞上单调递增，
∴当x≥0时，?(22x)min=1，
∴k>0．