广西桂林市2020-2021学年高二下学期期末质量检测数学（理）试题 Word版含答案

1250950012458700桂林市2020～2021学年度下学期期末质量检测
高二年级数学（理科）
（考试时间120分钟，满分150分）
说明：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．
2．请在答题卷上答题（在本试卷上答题无效）
第Ⅰ卷 选择题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．函数false，则false（ ）
A．0 B．1 C．false D．false
2．设复数false，则false的实部为（ ）
A．false B．2 C．false D．false
3．用反证法证明“false是无理数”时，正确的假设是（ ）
A．false不是无理数 B．false是整数 C．false不是有理数 D．false是无理数
4．5个人排成一排照相，其中的甲乙两人要相邻，则有不同的排法种数为（ ）
A．24种 B．36种 C．48种 D．72种
5．false（ ）
A．false B．false C．false D．false
6．在样本频率分布直方图中，各小长方形的高的比从左到右依次为false，则第2组的频率是（ ）

A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1
7．向量false，向量false，若false，则实数false（ ）
A．false B．1 C．false D．false
8．从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，记事件false为“取到的2个数之和为偶数”，记事件false为“取到的两个数均为偶数”，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
9．若随机变量false的分布列如右表所示，则false的值为（ ）
false
1
2
3
false
0.2
false
false
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
10．正方体false中，false与平面false所成角的余弦值为（ ）
A．false B．false C．false D．false
11．已知随机变量false服从正态分布false，且false，则false（ ）
A．0.0799 B．0.1587 C．0.3 D．0.3413
12．若函数false有两个不同的极值点，则实数false的取值范围是（ ）
A．false B．false C．false D．false
第Ⅱ卷 非选择题
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．某校有学生4500人，其中高三学生1500人，为了解学生的身体素质情况，采用按年级分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个300人的样本．则样本中高三学生的人数为______．
14．已知false为虚数单位，则false______．
15．false______．
16．在false中，false，false，false，false是斜边上一点，以false为棱折成二面角false，其大小为60°，则折后线段false的最小值为______．
三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤．
17．（本小题满分10分）
在false的展开式中，求
（1）含false的项；
（2）展开式中的常数项．
18．（本小题满分12分）
已知函数false．
（1）当false时，求false的图象在点false处的切线方程；
（2）设false是false的极值点，求false的极小值．
19．（本小题满分12分）
如图，长方体false的底面false是正方形，点false在棱false上，false．
（1）证明：false平面false；
（2）若false，false，求二面角false的余弦值．

20．（本小题满分12分）
已知数列false的前false项和false．
（1）计算false，false，false，false，并猜想false的通项公式；
（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想．
21．（本小题满分12分）
在某校组织的一次篮球定点投篮比赛中，两人一对一比赛规则如下：若某人某次投篮命中，则由他继续投篮，否则由对方接替投篮．现由甲、乙两人进行一对一投篮比赛，甲和乙每次投篮命中的概率分别是false，false．两人共投篮3次，且第一次由甲开始投篮，假设每人每次投篮命中与否均互不影响．
（1）求3次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率；
（2）若投篮命中一次得1分，否则得0分，用false表示甲的总得分，求false的分布列和数学期望．
22．（本小题满分12分）
已知函数false．
（1）若false在false单调递增，求实数false的取值范围；
（2）若false，且false仅有一个极值点false，求实数false的取值范围，并证明：false．

桂林市2020～2021学年度下学期期末质量检测
高二年级数学（理科）参考答案及评分标准
一、选择题：每小题5分，本题满分共60分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
B
A
C
A
A
C
B
B
D
B
A
二、填空题：每小题5分，共20分．
13．100 14．false 15．1 16．false
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤．
17．（本小题满分10分）
解：（1）由题意知false，false，1，2，3，4，5，6；
令false，得false，
所以含false的项为false．
（2）由（1）知false，得false，
所以常数项为false．
18．（本小题满分12分）
解：（1）即false，false；
则false，false，
故所求切线方程为false，即false．
（2）false，由题知false，
解得false，
则false，false，
当false时false，当false时false
所以当false时false取极小值false．
19．（本小题满分12分）
解：（1）由已知得，false平面false，
false平面false，故false
又false，所以false平面false
（2）由（1）知false．由题设知false，所以false，
故false，false
以false为坐标原点，false的方向为false轴正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系false，则

false，false，false，false，
false，false，false
设平面false的法向量为false，
则false即false所以可取false
设平面false的法向量为false，
则false，即false可取false
于是false
所以，二面角false的余弦值为false．
20．（本小题满分12分）
解：（1）当false时，false，∴false；
当false时，false，∴false；
当false时，false，∴false；
当false时，false，∴false．
由此猜想false．
（2）证明：①当false时，false，猜想成立．
②假设false（false且false）时，猜想立，即false，
那么false时，false，
∴false．
∴当false时，猜想成立．
由①②知猜想false成立．
21．（本小题满分12分）
解：（1）记“3次投篮的人依次是甲，甲，乙”为事件false，
依题意，得false
∴3次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率是false．
（2）由题意false可能取值为0，1，2，3，则
false，false，
false，false；
所以，分布列为
false
0
1
2
3
false
false
false
false
false
所以false的期望false．
22．（本小题满分12分）
解：（1）false
false在false单调递增，∴false在false恒成立
∴false在false恒成立，∴false．
（2）设false，false，
①当false时，令false得：false，
false，false，false单调递增，false，false，false单调递减，
若false，false恒成立，false无极值；
若false，false，而false，false，
此时false有两个极值点；
故false不符合题意．
②当false时，false，false，false单调递减，
false，false，false单调递增，
所以false有唯一极小值点false，false．
③当false时，false恒成立，false单调递增；
取false满足false且false时，false，而false，
此时由零点存在定理知：false有唯一的零点false，false只有一个极值点false，
且false，
由题知false，又false，
∴false，
∴false，
设false，false，当false，false，false单调递减，
∴false，∴false成立
综上，false只有一个极值点false时，false的取值范围为false，且false．