广西河池市2020-2021学年高二下学期期末教学质量检测数学（理）试题 Word版含解析

1016000011277600河池市2021年春季学期高二年级期末教学质量检测
数学（理科）
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
2．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
3．本卷命题范围：高考范围。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合false，B=false，则false（ ）
A．false B．false
C．false D．false
2．已知复数false，则复数false在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．false（ ）
A．false B．false C．false D．false
4．已知命题false：false是直线false的倾斜角，命题false：false，则命题false是命题false的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D，既不充分也不必要条件
5．已知函数false在false上是增函数，则实数false的取值范围为（ ）
A．false B．false
C．false D．false
6．已知平面向量false与false之间的夹角为false，false，false，则false与false之间夹角的大小为（ ）
A．false B．false C．false D．false
7．执行如图所示的程序框图，输出的false的值为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
8．已知数列false，false，则数列false的前8项的和为（ ）
A．490 B．500 C．510 D．520
9．设false，false，false，则false，false，false的大小关系为（ ）
A．false B．false
C．false D．false
10．已知false，则（ ）
A．false的最小正周期为false
B．false的对称轴方程为falsefalse
C．false的单调递增区间为falsefalse
D．当false时，false的值域为false
11．如图正四棱柱false中，底面面积为36，false的面积为false，则三棱锥false的外接球的表面积为（ ）
A．false B．false C．false D．false
12．已知false，false分别为双曲线falsefalse的两个焦点，双曲线上的点false到原点的距离为false，且false，则该双曲线的离心率为（ ）
A．false B．false C．2 D．3
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，
13．下图是某校10个班的一次统考数学成绩平均分，则其平均分的中位数是______．
14．已知等差数列false和false的前false项和分别为false和false，若false，则false______．
15．若false的展开式的所有项的系数和为false，则展开式中的常数项为______．
16．过抛物线false：false的焦点false作直线false与抛物线交于false，false两点，则当点false，false到直线false的距离之和最小时，线段false的长度为______．
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（本小题满分12分）
在锐角false中，角false，false，false的对边分别为false，false，false，false，三角形外接圆的面积为false．
（1）求false；
（2）求false面积的最大值．
18．（本小题满分12分）
在四棱锥false中，四边形false是直角梯形，false，false，false，false，false分别是false，false的中点．
（1）求证：false平面false；
（2）若false平面false，求false与平面false所成角的正弦值．
19．（本小题满分12分）
新高考，取消文理科，实行“3+3”，成绩由语文、数学、外语统一高考成绩和自主选考的3门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成．为了解各年龄层对新高考的了解情况，随机调查50人（把年龄在false称为中青年，年龄在false称为中老年），并把调查结果制成下表：
年龄（岁）
false
false
false
false
false
false
频数
5
15
10
10
5
5
了解
4
12
6
5
2
l
（1）把年龄在false称为中青年，年龄在false称为中老年，请根据上表完成false列联表，是否有95%的把握判断对新高考的了解与年龄(中青年、中老年)有关？
了解新高考
不了解新高考
总计
中青年
中老年
总计
附：false．
false
0.050
0.010
0.001
false
3.841
6.635
10.828
（2）若从年龄在false的被调查者中随机选取3人进行调查，记选中的3人中了解新高考的人数为false，求false的分布列以及false．
20．（本小题满分12分）
已知椭圆falsefalse的左、右焦点分别为false，false，过点false的直线在false轴上的截距为1，且与椭圆交于false，false两点，false到直线false的距离为false，椭圆的离心率为false．
（1）求椭圆的方程；
（2）若点false的坐标为false，false，求false面积的最大值．
21．（本小题满分12分）
已知函数falsefalse，false．
（1）讨论false的单调性；
（2）若false，证明对任意false，false恒成立．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系false中，以坐标原点false为极点，以false轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆false的极坐标方程为false．
（1）求圆false的直角坐标方程；
（2）若直线false的参数方程是false（false为参数），直线false与圆false相切，求false的值．
23．（本小题满分10分）选修4-5；不等式选讲
已知函数false，函数false．
（1）当false时，求不等式false的解集；
（2）若函数false的图象恒在函数false图象的上方，求实数false的取值范围．
河池市2021年春季学期高二年级期末教学质量检测·数学（理科）
参考答案、提示及评分细则
1．B 由false得false，所以false，false
所以false．
2．A false．
3．B false
4．D 对命题false：因为false是直线false的倾斜角，
所以false，因为false，所以false，
对命题false：因为false，
所以false，解得false，
因此命题false是false的既不充分也不必要条件．
5．B false，若false是增函数，则false在false上恒成立，所以false．
6．B 由false，有false，
又由false，有向量false与false之间夹角的余弦值为false，夹角为false．
7．C 第一次运行，false是偶数，false，
第二次运行，false是奇数，false，false，
第三次运行，false是偶数，false，
第四次运行，false是奇数，false，终止运行，输出false．
8．C 由false，有false，数列false的前8项和为false．
9．D 因为false；false；
因为false，则false，故false，即false，则false（另一种判断false的方法：假设false，则false，false，false，所以false时，函数单调递增；false时，false，所以false时，函数单调递减．falsefalse，即false）．所以false，因为函数false是false上的单调递．增函数，所以false．
10．C 因为false
false，
所以false的最小正周期为false，所以A错误；
由falsefalse，得falsefalse，
即false的图象的对称轴方程为falsefalse，所以B错误；
由falsefalse，得falsefalse
所以false的单调递增区间为false（false，所以C正确；
因为false，所以false，所以false，
所以false，所以D错误．
11．C 设正四棱柱false的高为false，
因为正方形false的面积为36，所以false，
在false中，由勾股定理得false，
在false中，由勾股定理得false，
因为false的面积为false，
所以false，解得false，
依题意，三棱锥false的外接球即为正四棱柱false的外接球，
其半径为false，
所以三棱锥false的外接球的表面积为false．
12．设false为双曲线的下焦点，false为双曲线的上焦点，如图，
因为false
所以false，
因为false，所以false，
false，
由题易知|false，false
因为false，
所以false
则false
化简整理得false
又false，falsefalse，即false．
13．101.43 由图知，10个班的数学成绩从小到大排列为92.97，96.72，98.96，99.75，100.13，102.73，104.45，108.02，109.42，109.87，
所以其平均分的中位数是false．
14．false false
15．896 因为false的展开式的所有项的系数和为false，所以false，所以false，
对false，false，
所以false的展开式中的常数项为false．
16．false 依题意，抛物线false的焦点false，设直线false的方程为false，
由false可得false，设false，false，则false，
所以false，则线段false的中点坐标false，
false到直线false的距离为false，
则点false，false到直线false的距离之和false，
当false时，false取最小值，此时false．
17．解：（1）因为在false中，false，所以false，
因为false外接圆面积为false，所以其外接圆的半径为false．
由正弦定理知false，
所以false．
（2）因为false，
由余弦定理false可得false，
因为false，
所以false，即false（当且仅当false时取等号）．
所以false，false面积的最大值为false．
18．（1）证明：取false的中点false，连接false，false，
因为四边形false是直角梯形，false，false，所以false，false，false三点共线，
因为false，false分别是false，false的中点．
所以false，
因为false平面false，false平面false，
所以false平面false．
（2）解：解法一：由（1）得false，
falsefalse与平面false所成的角与false与平面false所成的角相等，
false false平面false，
falsefalse是false与平面false所成的角．
在false中，false，
falsefalse．
falsefalse与平面false所成的角的正弦值为
解法二：因为false平面false，false是false的中点，false是false的中点，
取false的中点false，连接false，过false作false平面false，易得垂足false在false上，
所以false为false与平面false所成的角，
因为false，
所以false，false
在false中，false，
因为false，所以false，所以sinfalse，
所以false与平面false所成角的正弦值为false．
19．解：本题考查独立性检验和分布列．
（1）false列联表如图所示
了解新高考
不了解新高考
总计
中青年
22
8
30
中老年
8
12
20
总计
30
20
50
false，
所以有95%的把握判断了解新高考与年龄（中青年、中老年）有关联。
（2）年龄在false的被调查者共5人，其中了解新高考的有2人，则抽取的3人中了解新高考的人数false可能取值为0，1，2，
则false；
false；
false．
所以false的分布列为
false
0
1
2
false
false
false
false
false．
20．解：（1）设falsefalse，因为过点false的直线在false轴上的截距为1，
所以直线false的方程为false，即false，
因为false到直线false的距离为false，所以false，解得false，
因为false，所以false，所以false，因为false，
所以椭圆的方程为false．
（2）设false，false，
由（1）知直线false的方程为false，
由false，消去false得false，
由韦达定理得false，false，
由false，false，
因为false，false
所以false
false
所以false，解得false．
由弦长公式得false．
由两点间的距离公式得false到直线false的距离false，
所以false，
所以false的最大值是false．
21．解：（1）由题意，函数false的定义域为false，且false，
当false时，false恒成立，false的单调增区间为false；
当false时，令false，解得false，令false，解得false，
所以false的单调增区间为false，单调减区间为false．
（2）由false，令false，则false，
当false时，false，false在false上是减函数，
所以当false时，false，即false，即false，
即false时，令false，
则false，
所以false在false上是减函数，所以false时，false恒成立，
即false在false上恒成立．
22．解：（1）圆false的极坐标方程为false，
所以false，因为false，
所以false，故圆false的直角坐标方程为false．
（2）因为直线false的参数方程是false（false为参数），所以直线false的普通方程为false．
因为直线false与圆false相切，所以false，
解得false或false．
23．解：（1）当false时，不等式false可化为false（*）
①当false时，不等式（*）可化为false，得false，有false．
②当false时，不等式（*）可化为false，得false，有false
③当false时，不等式（*）可化为false，得false，有false．
由①②③知不等式false的解集为false．
（2）false函数false的图象恒在函数false图象的上方，falsefalse恒成立，
则false恒成立，
falsefalse，
falsefalse的取值范围为false．