(共17张PPT)
2.3.4两条平行直线间的距离
人教A版（2019）
选择性必修第一册
新知导入
问题1：
我们前面学习了两点间的距离公式和点到直线的距离公式，分别是什么？
问题2：如何求两条平行直线间的距离呢？
新知讲解
点到直线和两条平行线间的距离
?
点到直线的距离
两条平行直线间的距离
定义
点到直线的垂线段的长度
夹在两条平行直线间公垂线段的长度
公式
点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离
两条平行直线
l1：Ax＋By＋C1＝0与
l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)之间的距离
d＝
?
新知讲解
思考
已知两条平行直线的方程，如何求间的距离？
在直线上任取一点，点到直线的距离就是直线与直线间的距离.
这样，求两条平行直线间的距离就转化为求点到直线的距离.
合作探究
例7
已知两条平行直线
,
求直线间的距离.
分析：
在上选取一点，如与坐标轴的交点，用点到直线的距离公式求这点到的距离，即
间的距离.
解：
先求与x
轴的交点A的坐标.
容易知道，点A的坐标为（4，0）
点A到直线的距离
所以间的距离为
.
合作探究
例8
求证：两条平行直线
与间的距离为
分析：
两条平行直线间的距离即为这两条平行直线中的一条直线上的一点到另一条直线的距离.
证明：
在直线上任取一点，
点到直线的距离就是这两条平行直线间的距离.
即
因为点在直线上，
所以
，即
因此
合作探究
注：
1
两条平行直线间的距离公式适用于两条直线的方程都是一般式，并且x,
y的系数分别对应相等的情况，否则必须先将系数化为对应相等才能套用公式.
2
两条平行直线间的距离可以转化为点到直线的距离.
求“两条平行直线间的距离”
通常转化为其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离，且两条平行直线间的距离与其中一条直线上点的选取位置无关，这样，就可以不必记忆两平行直线间的距离公式了
课堂练习
1
求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且到
l
的距离为2的直线方程．
解：
法一
设所求直线的方程为5x－12y＋C＝0.
在直线5x－12y＋6＝0上取一点P0，
则点P0到直线5x－12y＋C＝0的距离为
由题意，得
=2
所以C＝32，或C＝－20.
故所求直线的方程为
5x－12y＋32＝0，或
5x－12y－20＝0.
课堂练习
1
求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且到
l
的距离为2的直线方程．
解：
法二
设所求直线的方程为
5x－12y＋C＝0
由两条平行直线间的距离公式得
2=
解得C＝32，或C＝－20
故所求直线的方程为5x－12y＋32＝0，或5x－12y－20＝0.
课堂练习
2
若平面内两条平行直线，
间的距离为
，则实数a=（
）
A．-2
B.
-2或1
C.
-1
D
.
-1或2
提示：
因为两条直线平行，
所以
所以
a=2
或
a=-1.
当
a=2时，两平行直线即
它们之间的距离为
，不满足条件.
当
a=
-1时，两平行直线即
即
它们之间的距离为
，满足条件.
所以
a=
-1
C
课堂练习
3
两直线3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，则它们之间的距离为________．
答案：
(由两条直线平行得m=2)
课堂练习
4
两条平行直线2x-y+3=0和ax-3y+4=0间的距离为d，则a,
d
分别为多少？
分析：根据两条直线平行的性质求得a，再利用两条平行直线间的距离，计算d.
解：
根据两条平行直线2x-y+3=0和ax-3y+4=0
得
得
a=6
所以两条平行直线即6x-3y+9=0和6x-3y+4=0
故它们之间的距离
课堂总结
点到直线和两条平行线间的距离
?
点到直线的距离
两条平行直线间的距离
定义
点到直线的垂线段的长度
夹在两条平行直线间公垂线段的长度
公式
点P0(x0，y0)到直线
l：Ax＋By＋C＝0的距离
两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)之间的距离
板书设计
1点到直线和两条平行线间的距离
2例题
3课堂练习
作业布置
课本79页习题2.3
7,
8
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2.3.4
两条平行直线间的距离教学设计
课题
两条平行直线间的距离
单元
第二单元
学科
数学
年级
高二
教材分析
本节内容是在学习“两点间距离公式”、“点到直线距离公式”后的又一重要内容，求“两条平行直线间的距离”
通常转化为其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离，即“点到直线距离公式”，进而得到求两条平行直线间距离的一般结论。通过本节的教学，让学生体会化归与转化的数学思想，了解由特殊到一般地研究数学问题，体现了逻辑推理和数学运算的数学学科素养。
教学
目标与
核心素养
1数学抽象：
应用“点到直线距离公式”求平行线直线间的距离；
2逻辑推理：
求两条平行直线间的距离；
3数学运算：
两条平行直线间的距离的推导；
4数学建模：
初步掌握用解析法研究几何问题；
5直观想象：
两条平行直线间的距离；
6数据分析：
从“点到直线距离公式”到“求平行线直线间的距离”再到例题，最后到课堂练习，让学生体会数学知识的逻辑性和严密性.
重点
求两条平行直线间的距离.
难点
求两条平行直线间的距离.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
问题1：
我们前面学习了两点间的距离公式和点到直线的距离公式，分别是什么？
问题2：如何求两条平行直线间的距离呢？
复习引入
学生独立思考
我们已经学习了两点间距离公式，点到直线的距离公式，所以容易想到两条平行直线间距离的问题，很顺利地导入到新课。
讲授新课
点到直线和两条平行线间的距离
点到直线的距离定义点到直线的垂线段的长度公式点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝两条平行直线间的距离定义夹在两条平行直线间公垂线段的长度公式两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)之间的距离
d＝
?
思考
已知两条平行直线的方程，如何求间的距离？
在直线上任取一点，点到直线的距离就是直线与直线间的距离.
这样，求两条平行直线间的距离就转化为求点到直线的距离.
例7
已知两条平行直线
,
求直线间的距离.
分析：
在上选取一点，如与坐标轴的交点，用点到直线的距离公式求这点到的距离，即
间的距离.
解：先求与x
轴的交点A的坐标.
容易知道，点A的坐标为（4，0）.
点A到直线的距离
所以间的距离为
.
例8
求证：两条平行直线
与间的距离为
分析：两条平行直线间的距离即为这两条平行直线中的一条直线上的一点到另一条直线的距离.
证明：在直线上任取一点，点到直线
的距离就是这两条平行直线间的距离.
即
因为点在直线上，所以
，即
因此
注：
1两条平行直线间的距离公式适用于两条直线的方程都是一般式，并且x,
y的系数分别对应相等的情况，否则必须先将系数化为对应相等才能套用公式.
2两条平行直线间的距离可以转化为点到直线的距离.
求“两条平行直线间的距离”
通常转化为其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离，且两条平行直线间的距离与其中一条直线上点的选取位置无关，这样，就可以不必记忆两平行直线间的距离公式了
课堂练习
1
求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且到l的距离为2的直线方程．
解：
法一：设所求直线的方程为5x－12y＋C＝0.
在直线5x－12y＋6＝0上取一点P0，
则点P0到直线5x－12y＋C＝0的距离为＝，
由题意，得＝2，
所以C＝32，或C＝－20.
故所求直线的方程为5x－12y＋32＝0，或5x－12y－20＝0.
法二：
设所求直线的方程为5x－12y＋C＝0，
由两条平行直线间的距离公式得2＝，
解得C＝32，或C＝－20.
故所求直线的方程为5x－12y＋32＝0，或5x－12y－20＝0.
2
若平面内两条平行直线
间的距离为
，则实数a=（
）
A．-2
B.
-2或1
C.
-1
D
.
-1或2
答案：C
提示：因为两条直线平行
所以
所以
a=2或a=-1.
当
a=2时，两平行直线即
，它们之间的距离为
，不满足条件.
当
a=
-1时，两平行直线即
即
，它们之间的距离为
，满足条件.
所以
a=
-1
3两直线3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，则它们之间的距离为________．
答案：
(由两条直线平行得m=2)
4两条平行直线2x-y+3=0和ax-3y+4=0间的距离为d，则a,d分别为多少？
分析：根据两条直线平行的性质求得a，再利用两条平行直线间的距离，计算d
解：根据两条平行直线2x-y+3=0和ax-3y+4=0
得
得a=6
所以两条平行直线即6x-3y+9=0和6x-3y+4=0
故它们之间的距离
学生思考
教师给出两条平行直线间的距离的定义
由特殊
到一般
地研究
学生课堂练习，然后上台演示自己的答案。
加深学生对求两条平行直线间的距离方法的理解与运用,进一步提高学生运用知识的能力,对练习中出现的情况可采取互评、互议的形式,达到及时查漏补缺的效果。
课堂小结
1点到直线和两条平行线间的距离
点到直线的距离两条平行直线间的距离定义点到直线的垂线段的长度夹在两条平行直线间公垂线段的长度公式点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离
d＝两条平行直线
l1：Ax＋By＋C1＝0与
l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)之间的距离
d＝
板书
1点到直线和两条平行线间的距离
2例题
3课堂练习
教学反思
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精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
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