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2.4.1圆的标准方程教学设计
课题
圆的标准方程
单元
第二单元
学科
数学
年级
高二
教材分析
在初中，学生已经学过圆的一些知识，前一节，学习了直线与方程的基础知识，知道了在直角坐标系中通过建立方程研究几何图形，圆的标准方程正是这一知识的应用延续，在学习中进一步使学生体会数形结合的思想，形成用代数方法解决几何问题的能力，
同时，圆也是特殊的圆锥曲线，圆的方程的学习，是进一步学习圆锥曲线的基础，对后续知识的学习，具有重要的意义。坐标法不仅是研究几何问题的重要方法，而且是一种广泛应用于其他领域的重要数学方法。通过坐标系，把点和坐标、曲线和方程联系起来，实现了形和数的统一。
教学
目标与
核心素养
1数学抽象：
圆的标准方程；
2逻辑推理：
圆的标准方程的推导；
3数学运算：
通过圆的定义推导圆的标准方程，用待定系数法和几何法求圆的标准方程；
4数学建模：
根据所给条件求出圆的标准方程，判断点与圆的位置关系；
5直观想象：
判断点和圆的位置关系；
6数据分析：
从圆的几何要素——圆的定义——圆标准方程的推导——例题——课堂练习，让学生体会数学知识的逻辑性和严密性.
重点
掌握圆的标准方程的求法及应用，判断点与圆的位置关系.
难点
会根据已知条件求圆的标准方程.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
请大家观察实际生活中这些物体
问题：这些图形，它们抽象出来的平面图形是什么？
答案：圆形
如果建立一个平面直角坐标系，那么圆的坐标方程如何表示？
情景引入
引导学生思考在平面直角坐标系中，如何确定一个圆？
讲授新课
思考1：在初中，
圆是怎样定义的？
提示：圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合.
定点——圆心——确定圆的位置
定长——半径——确定圆的大小
思考2:
在平面直角坐标系中，确定一个圆的几何要素是什么呢？
提示：在平面直角坐标系中，如果一个圆的圆心坐标和半径确定了，圆就唯一确定了.
因此，确定圆的几何要素是：圆心和半径.
思考3:
已知圆心A的坐标为,半径为r，设圆上任意一点
M（x,
y），如何求该圆的方程？
如图
在平面直角坐标系中，☉A的圆心A的坐标为,半径为r，M（x,
y）为圆上任意一点，☉A就是以下点的集合
.
根据两点间的距离公式，点M的坐标（x,
y）满足条件可以表示为
两边平方，得
⑴
由上述过程可知，
若点
M（x,
y）在☉A上，点M的坐标就满足方程（1）；
反过来，若点M的坐标（x,
y）满足方程（1），就说明点M与圆心A间的距离为r，点M就在☉A上.
这时，我们把方程（1）称为圆心为A
，半径为r
的圆的标准方程.
思考
圆的标准方程有哪些特点？
是关于x,
y的二元二次方程
方程明确给出了圆心坐标和半径
确定圆的方程必须具备三个独立条件，即a,
b,
r.
思考
方程
①
，
②
③
是圆的方程吗？
提示：
是圆的方程，其中，圆心（-a,
-b）,半径r
②
不是
③
当m>0时，是圆的方程；
当m=0时，表示一个点
当m<0时,
不是圆的方程
例1
求圆心为A（2，-3），半径为5的圆的标准方程，并判断点，是否在这个圆上.
分析：根据点的坐标与圆的方程的关系，只要判断一个点的坐标是否满足圆的方程，就可以得到这个点是否在圆上.
解：
圆心为A（2，-3），半径为5的圆的标准方程是
把的坐标代入方程
的左边，得
，左右两边相等，点的坐标满足圆的方程，所以点在这个圆上.
把点的坐标代入方程
的左边，得
，左右两边不相等，点的坐标不满足圆的方程，所以点不在这个圆上(如图)
探究
点在圆内的条件是什么？在圆外的条件又是什么？
提示：
点在圆内，则
点在圆外，则
探究：
点与圆
的位置关系如何判断？
提示：
（1）
,
点在圆外
（2）
，
点在圆上
（3）
，
点在圆内
例2
△ABC的三个顶点分别是A（5，1），B（7，-3），C（2，-8），求△ABC的外接圆的标准方程.
分析：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角形有唯一的外接圆.虽然已知的三个点不在同一条直线上，只有确定了，a,
b
,r
,圆的标准方程就确定了.
解：法一：待定系数法
设所求的方程是
①
因为
A（5，1），B（7，-3），C（2，-8）三点都在圆上，所以它们的坐标都满足方程①.
于是
即
观察上面的式子，我们发现，三式两两相减，可以消去，得到关于a
,b
的二元一次方程组
解此方程组，得
代入
，得
所以，△ABC的外接圆的标准方程是
.
法二：
几何法
三角形外接圆的圆心是三角形的外心，即三边中垂线的交点。分别求直线AB，BC的垂直平分线，垂直平分线的交点O就是圆心坐标，线段AO的长就是圆的半径。如图所示。
提示：
因为
A（5，1），B（7，-3），所以AB的中点D的坐标为（6，-1），直线AB的斜率
所以线段AB的垂直平分线的方程
即：x-2y-8=0
同理可得线段BC的垂直平分线的方程是
x+y+1=0
圆心O的坐标是方程组
的解
得
所以圆心O的坐标是（2，-3）
半径是
所以，△ABC的外接圆的标准方程是
.
例
3
已知圆心为C的圆经过A（1，1）
B（2，-2）两点，且圆心C在直线
l:
x-y+1=0
上，求此圆的标准方程.
分析：
设圆心C的坐标为（a,
b）.
由已知条件可知，，且a-b+1=0.
由此可求出圆心坐标和半径.
另外，因为线段AB是圆的一条弦，根据平面几何知识，AB的中点与圆心C的连线垂直于AB，由此可得到另外一种解法.
解法1：
设圆心C的坐标（a,
b）.
因为圆心C在直线
l:
x-y+1=0
上，所以
a-b+1=0
①
因为A，B是圆上两点，所以
根据两点间的距离公式，有
即
a-3b-3=0
②
由①②可得
a=-3,
b=-2.
所以圆心C的坐标是（-3，-2）.
圆的半径
.
所以，所求圆的标准方程是
.
解法2：
如图
设线段AB的中点为D.
由A，B两点的坐标为（1，1），（2，-2），可得点D的坐标为
，
直线AB的斜率为
.
因此，线段AB的垂直平分线
的方程是
即
x-3y-3=0
.
由垂径定理可知，圆心C也在线段AB的垂直平分线上，所以它的坐标是方程组
的解.
解这个方程组，得
所以圆心的坐标是（-3，-2）.
圆的半径
所以，所求圆的标准方程是
.
课堂练习：
1
看图写出下列圆的方程
（1）
（2）
（3）
提示：（1）
（2）
（3）
2
写出下列各圆的圆心坐标和半径
（1）
（2）
（3）
提示：（1）
（1，0）
（2）
（-1，2）
3
（3）
（-a,0）
3
写出下列圆的方程
圆心在原点，半径为3；
圆心在（-3，4），半径为
经过点P（5，1），圆心在C（8，-3）
（4）以O（0，0），A（6，8）为直径的圆
提示：
（1）
（2）
（3）
（4）
4
判断点A（m，4）与圆
的位置关系是
（
）
圆内
B.圆上
C.
圆外
D.圆上或圆外
答案D
5
△AOB的定点坐标分别是A（4，0），B（0，3），O（0，0），求它的外接圆的方程。
提示：
回顾圆的定义
使学生在已有的基础上，结合圆的定义，回答确定一个圆的几何要素
求方程的一般步骤：
1建系设点
2找关系式列方程
3化简方程、证明
学生思考，判断点与圆的位置关系的依据——点到圆心的距离
学生独立思考
使学生在已有的知识、经验的基础上，探索新知，引出本节课题
启发学生求知欲，让学生独立思考，并经历数学化的过程，体现数学素材和学生已有知识和生活经验的结合
习题巩固
引导学生分析归纳，从问题出发，让学生在已有的认知结构的基础上建构新知识，培养学生分析问题的能力。
课堂小结
1
圆的标准方程
圆心（a,
b）半径r
2点与圆的位置关系
3求圆的标准方程的方法：
待定系数法
几何法
板书
1
圆的标准方程
2点与圆的位置关系
3求圆的标准方程的方法
教学反思
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共22张PPT)
2.4.1
圆的标准方程
人教A版（2019）
选择性必修第一册
新知导入
请大家观察实际生活中的这些物体.
问题：这些图形，它们抽象出来的平面图形是什么？
答案：圆形
如果建立一个平面直角坐标系，那么圆的坐标方程如何表示？
新知讲解
思考1：在初中，
圆是怎样定义的？
提示：圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合.
定点——圆心——确定圆的位置
定长——半径——确定圆的大小
思考2:
在平面直角坐标系中，确定一个圆的几何要素是什么呢？
提示：在平面直角坐标系中，如果一个圆的圆心坐标和半径确定了，圆就唯一确定了.
因此，确定圆的几何要素是：圆心和半径.
新知讲解
思考3:
已知圆心A的坐标为,半径为r，设圆上任意一点
M（x,
y），如何求该圆的方程？
如图
圆心A的坐标为,半径为r，
M（x,
y）为圆上任意一点，☉A就是以下点的集合
.
根据两点间的距离公式，点M的坐标（x,
y）满足条件可以表示为
两边平方，得
⑴
方程（1）是圆心为A
，半径为r
的圆的标准方程.
合作探究
圆的标准方程有哪些特点？
是关于x,
y的二元二次方程；
②方程明确给出了圆心坐标和半径；
③确定圆的方程必须具备三个独立条件，即a,
b,
r.
合作探究
方程
①
，
②
③
是圆的方程吗？
提示：
①
是圆的方程，其中，圆心（-a,
-b）,半径r.
②
不是.
③
当m>0时，是圆的方程；
当m=0时，表示一个点；
当m<0时,
不是圆的方程.
合作探究
例1
求圆心为A（2，-3），半径为5的圆的标准方程，并判断点，是否在这个圆上.
分析：根据点的坐标与圆的方程的关系，只要判断一个点的坐标是否满足圆的方程，就可以得到这个点是否在圆上.
解：圆心为A（2，-3），半径为5的圆的标准方程是
把的坐标代入方程，
的左边，得
，左右两边相等，
点的坐标满足圆的方程，所以点在这个圆上.
把点的坐标代入方
程
的左边，得
，左右两边不相等，
点的坐标不满足圆的方程，所以点不在这个圆上(如图)
合作探究
探究
点在圆内的条件是什么？在圆外的条件又是什么？
提示：
点在圆内，则
；
点在圆外，则
点与圆
的位置关系如何判断？
提示：
（1）
,
点在圆外；
（2）
，点在圆上；
（3）
，点在圆内.
合作探究
例2
△ABC的三个顶点分别是A（5，1），B（7，-3），C（2，-8），求△ABC的外接圆的标准方程.
解：
法一：待定系数法
设所求的方程是
①
因为
A（5，1），B（7，-3），C（2，-8）三点都在圆上，所以它们的坐标都满足方程①.
于是
即
两两相减，得
得
代入
，
得
所以，△ABC的外接圆的标准方程是
.
合作探究
例2
△ABC的三个顶点分别是A（5，1），B（7，-3），C（2，-8），求△ABC的外接圆的标准方程.
法二：
几何法
三角形外接圆的圆心是三角形的外心，即三边中垂线的交点。分别求直线AB，BC的垂直平分线，垂直平分线的交点O就是圆心坐标，线段AO的长就是圆的半径。如图所示。
因为
A（5，1），B（7，-3），所以AB的中点D的坐标为（6，-1），
直线AB的斜率
所以线段AB的垂直平分线的方程
即：x-2y-8=0
同理可得线段BC的垂直平分线的方程是
x+y+1=0
圆心O的坐标是方程组
的解.
得
圆心O（2，-3）
半径是
所以，△ABC的外接圆的标准方程是
.
合作探究
例3
已知圆心为C的圆经过A（1，1）
B（2，-2）两点，且圆心C在直线
l:
x-y+1=0
上，求此圆的标准方程.
分析：
设圆心C的坐标为（a,
b）.
由已知条件可知，，且a-b+1=0.
由此可求出圆心坐标和半径.
另外，因为线段AB是圆的一条弦，根据平面几何知识，AB的中点与圆心C的连线垂直于AB，由此可得到另外一种解法.
解法1：
设圆心
C的坐标（a,
b）
则
a-b+1=0
①
因为A，B是圆上两点，所以
所以
即
a-3b-3=0
②
由①②可得
a=-3,
b=-2.
所以圆心C的坐标为（-3，-2）
半径
所以，圆的标准方程是
.
合作探究
例3
已知圆心为C的圆经过A（1，1）
B（2，-2）两点，且圆心C在直线
l:
x-y+1=0
上，求此圆的标准方程.
设线段AB的中点为D.
由A，B两点的坐标为（1，1），（2，-2），可得点D的坐标为
解法2：
直线AB的斜率为
.
线段AB的垂直平分线
的方程是
即
x-3y-3=0
由垂径定理可知，圆心C也在线段AB的垂直平分线上，所以它的坐标是方程组
的解.
得
圆心的坐标是（-3，-2）
圆的半径
所以圆的标准方程是
.
课堂练习
1
看图写出下列圆的方程.
（1）
（2）
（3）
提示：
（1）
（3）
（2）
课堂练习
2
写出下列各圆的圆心坐标和半径.
（1）
（2）
（3）
提示：
（1）
（1，0）
（2）
（-1，2）
3
（3）
（-a,0）
课堂练习
3
写出下列圆的方程.
(1)
圆心在原点，半径为3；
(2)
圆心在（-3，4），半径为
(3)
经过点P（5，1），圆心在C（8，-3）
(4)
以O（0，0），A（6，8）为直径的圆
提示：
（1）
（2）
（3）
（4）
课堂练习
4
判断点A（m，4）与圆
的位置关系是
（
）
?A.圆内
B.圆上
C.
圆外
D.圆上或圆外
D
课堂练习
5
△AOB的定点坐标分别是A（4，0），B（0，3），O（0，0），求它的外接圆的方程。
提示：
课堂总结
1
圆的标准方程
圆心（a,
b），半径r
2点与圆的位置关系
3求圆的标准方程的方法：
待定系数法
几何法
板书设计
1
圆的标准方程
2点与圆的位置关系
3求圆的标准方程的方法
作业布置
课本88页习题2.4
1,
2
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php
