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2.3.3
点到直线的距离公式教学设计
课题
点到直线的距离公式
单元
第二单元
学科
数学
年级
高二
教材分析
“点到直线的距离”是从初中平面几何的定性作图，过渡到了解解析几何的定量计算，“点到直线的距离”的研究，为以后直线与圆的位置关系，圆锥曲线的进一步研究打下基础，具有承前启后的作用。
教学
目标与
核心素养
1数学抽象：
用“坐标法”、“向量法”等方法推导点到直线距离公式；
2逻辑推理：
推导点到直线的距离公式；
3数学运算：
推导点到直线的距离公式；
4数学建模：
能应用点到直线距离公式解决有关距离问题；
5直观想象：
掌握点到直线的距离公式，体会“坐标法”和“向量法”的差异；
6数据分析：
能应用点到直线距离公式解决有关距离问题。
重点
点到直线的距离公式。
难点
点到直线的距离公式的推导。
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
如图所示，渔民们要将船推到海里，请同学们帮助设计一下：在理论上，怎样设计能使这条路最短？
建模
回顾旧知：在初中，“点到直线的距离”定义是什么？
提示：直线外一点到直线的垂线段的长度，就是点到直线的距离.
如图，点A到直线l的距离是AC
思考：
给定平面直角坐标系内一点的坐标和直线的方程，如何求点到直线的距离？
情景引入
学生独立思考，将实际问题抽象成数学问题
创设情景，激发学生的学习兴趣
在复习旧知识的基础上引入新课
讲授新课
探究
如图
已知点，直线
l
：Ax
+
By
+
C=0
如何求点P到直线
l
的距离？
由前面，我们知道点P到直线
l
的距离，就是从点P到直线l
的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足（见上图），因此，求出垂足Q的坐标，利用两点间的距离公式求出，就可以得到点P到直线
l
的距离.
方法一：（坐标法）利用两点间的距离公式
如图：
设，.
由
,以及直线l
的斜率为，可得l
的垂线段PQ的斜率为
，因此，垂线段PQ的方程为
即
.
解方程组
①
得到直线l与PQ的交点坐标，即垂足Q的坐标为
于是
.
因此，点到直线
l
：Ax
+
By
+
C=0的距离
可以验证，当A=0，或B=0时，上述公式仍然成立.
注意:用该公式时应先将直线方程化为一般式.
思考
上述方法中，我们根据点到直线距离的定义，将点到直线的距离化为两点之间的距离，思路自然但运算量较大.
反思求解过程，你发现引起复杂运算的原因了吗？由此能否给出简化运算的方法？
方法二：用设而不求法推导
在上述方法中，若设垂足Q的坐标为（x,
y），则
.
②
对于②式，你能给出它的几何意义吗？结合方程组①，能否直接求出，进而求出呢？请你试一试！
提示：
有方程组
得
将(1)(2)两边平方后相加，得
所以
所以
可以验证，当A=0，或B=0时，上述公式仍然成立.
探究
我们知道，向量是解决距离，角度问题的有力工具.
能否用向量方法求点到直线的距离？
方法三：向量法
如图
点P到直线
l
的距离，就是向量的模.
设M（x,
y）是直线
l
上的任意一点，是与直线
l的方向向量垂直的单位向量，则是在上的投影向量，
.
思考
如何利用直线
l
的方程得到与
l
的方向向量垂直的单位向量
?
设是直线
l
：Ax
+
By
+
C=0上的任意两点，则是直线
l
的方向向量.把
,
两式相减，的
.
由平面向量的数量积运算可知，向量（A，B）与向量垂直.
向量
就是与直线l
的方程向量垂直的一个单位向量.
我们取
,从而
因为点M（x,
y）在直线
l
上，所以
Ax
+
By
+
C=0.所以
Ax
+
By
=-C
.
代入上式，得
.
因此
思考
比较上述方法，第一种方法（即坐标法）从定义出发，把问题转化为求两点间的距离，通过代数运算得到结果，思路自然；第二种方法利“用设而不求法推导”第三种法（即向量法），利用向量投影，通过向量运算求出结果，简化了运算.
除了上述方法，你还有其他推导方法吗？
方法四：用三角形面积公式推导
如图
提示：当A、B
时，分别作平行于x轴，y轴的两条直线，分别交直线
Ax
+
By
+
C=0
于点
则
总结：
已知一个定点，一条直线
l
：Ax
+By
+
C=0，则定点P到这条直线l的距离为
①分子是P点代入直线方程；
②分母是直线未知数x,
y系数平方和的算术跟；
③运用此公式时要注意直线方程必须是一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式；
④当点在直线上时，点到该直线的距离为0，公式仍然适用。
⑤直线方程
Ax
+By
+
C=0中，A=0或B=0公式也成立。但由于直线是特殊直线（与坐标轴垂直），故也可以用数形结合求解.
几种特殊情况：
当点为原点时，
点到x轴的距离
点到y轴的距离
点到与x轴平行的直线y=b()的距离
点到y轴平行的直线x=a()的距离
.
例5
求点P（-1，2）到直线l
：3x=2的距离.
分析：将直线l的方程写成3x-2=0，再用点到直线的距离公式求解.
解：点
P（-1，2）到直线l
：3x-2=0的距离
.
例6
已知△ABC的三个顶点分别是A（1，3），B（3，1），C（-1，0），求△ABC的面积.
分析：由三角形面积公式可知，只要利用距离公式求出边AB的长和边AB上的高即可.
解：
如图
设边AB上的高为h
，则
.
边AB上的高h
就是点C到直线AB的距离.
边AB所在直线l
的方程为
即
x+y-4=0
点C（-1，0）到直线l：
x+y-4=0
的距离
因此，
.
课堂练习：
求点P（-1，2）到下列直线的距离：
（1）2x+y-10=0;
(2)
x=2;
(3)
y-1=0.
答案：(1)
由公式得
(2)
法1：
把直线方程化成一般式x-2=0
由公式得
法2：∵直线
x=2与y轴平行，
∴由图知
(3)
d=1
做法同（2）
已知点A(a,2)(a＞0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于( )
A.
B．2－
C.－1
D.＋1
答案：C
已知P（1，2），则当点P到直线2ax+y-4=0的距离最大时，a=(
)
1
B．
C.
D.
分析：根据直线的方程确定直线过定点A（0，4），通过分析当PA与直线垂直时，点P到直线的距离达到最大值，利用斜率直线的关系求解即可.
解：因为直线2ax+y-4=0恒过定点A（0，4）
所以当PA与直线垂直时，点P到直线的距离达到最大值，此时过P，A的直线斜率为-2，
所以直线2ax+y-4=0的斜率为，
故
.
答案：B
已知原点和点P(4，－1)到直线ax＋a2y＋6＝0的距离相等，求实数a的值．
解：利用点到直线的距离公式得
＝，
于是a2－4a－6＝±6，且a2＋a4≠0，
∴a2－4a＝0或a2－4a－12＝0，且a2＋a4≠0，
∴a＝－2或a＝4或a＝6.
直线l:
y=k(x+2)
上存在两个不同点到原点距离等于1，则k的取值范围是（
）
A
.
(-2,2)
B.
C．（-1，1）
D.
答案：
D
分析：将问题转化为直线l与圆有两个交点，然后利用圆心到直线的距离小于半径，列式求解即可.
解：
因为直线l:
y=k(x+2)
上存在两个不同点到原点距离等于1
.
故直线l与圆有两个交点，
则圆心（0，0）到直线l的距离
解得
学生课堂练习，然后上台演示自己的答案。
多种方法进行探究，培养学生自主探究和发散思维的能力，同时培养学生合作学习的意识
联系旧知，解决问题，感悟运用坐标法解决几何问题的方法
加深学生对本节的理解与运用,进一步提高学生运用知识的能力,对练习中出现的情况可采取互评、互议的形式,达到及时查漏补缺的效果。
课堂小结
1点到直线的距离公式的推导
2
点到直线的距离公式及几种特殊情况
3
例题
板书
1点到直线的距离公式的推导
方法一：坐标法
方法二：设而不求法
方法三：向量法
方法四：
用三角形面积公式推导
2
点到直线的距离公式及几种特殊情况
3
例题
教学反思
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共25张PPT)
2.3.3点到直线的距离公式
人教A版（2019）
选择性必修第一册
新知导入
如图所示，渔民们要将船推到海里，请同学们帮助设计一下：在理论上，怎样设计能使这条路最短？
新知导入
建模
回顾旧知：在初中，“点到直线的距离”定义是什么？
提示：
直线外一点到直线的垂线段的长度，就是点到直线的距离.
如图，点A到直线l的距离是AC.
思考：
给定平面直角坐标系内一点的坐标和直线的方程，如何求点到直线的距离？
新知讲解
探究
如图
已知点，直线
l
：Ax
+
By
+
C=0，如何求点P到直线
l
的距离？
合作探究
方法一：（坐标法）利用两点间的距离公式
如图：
设，.
由
,直线l
的斜率为，
可得l
的垂线段PQ的斜率为
，
因此，PQ的方程为：
即
.
解方程组
①
即垂足Q的坐标为
于是
合作探究
因此，点到直线
l
：Ax
+
By
+
C=0的距离
可以验证，当A=0，或B=0时，上述公式仍然成立.
合作探究
方法二：用设而不求法推导
在上述方法中，若设垂足Q的坐标为（x,
y），则
②
对于②式，你能给出它的几何意义吗？
结合方程组①
能否直接求出，进而求出呢？
请你试一试！
合作探究
方法二：用设而不求法推导
①
②
提示：
由方程组
得
将(1)(2)两边平方后相加，得
所以
所以
可以验证，当A=0，或B=0时，公式仍然成立.
合作探究
方法三：向量法
如图,
点P到直线
l
的距离，就是向量的模.
设M（x,
y）是直线
l
上的任意一点，是与直线
l
的方向向量垂直的单位向量，则是在上的投影向量
下面，利用直线
l
的方程得到与
l
的方向向量垂直的单位向量
合作探究
方法三：向量法
设是直线
l
：Ax
+
By
+
C=0上的任意两点，
则是直线
l
的方向向量.
,
两式相减,
得
.
因为，向量（A，B）与向量垂直.
向量
是与直线l
的方程向量垂直的一个单位向量.
取
,
从而,
课堂练习
方法三：向量法
因为M（x,
y）在直线
l
上，所以
Ax
+
By
+
C=0,
所以
Ax
+
By
=-C
得
因此,
合作探究
方法四：用三角形面积公式推导
如图
提示：
当A、B
时，分别作平行于x轴，y轴的两条直线，
分别交直线
Ax
+
By
+
C=0
于点
则
合作探究
总结：
已知一个定点，一条直线
l
：Ax
+By
+
C=0，则定点P到这条直线
l
的距离为
①分子是P点代入直线方程；
②分母是直线未知数x,
y系数平方和的算术跟；
③运用此公式时要注意直线方程必须是一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式；
④当点在直线上时，点到该直线的距离为0，公式仍然适用。
⑤直线方程
Ax
+By
+
C=0中，A=0或B=0公式也成立。但由于直线是特殊直线（与坐标轴垂直），故也可以用数形结合求解.
合作探究
几种特殊情况：
1.
当点为原点时，
2.
点到x轴的距离
3.
点到y轴的距离
4.
点到与x轴平行的直线y=b()的距离
5.
点到y轴平行的直线x=a()的距离
.
合作探究
例5
求点P（-1，2）到直线
l
：3x=2的距离.
分析：
将直线
l
的方程写成3x-2=0，再用点到直线的距离公式求解.
解：
点
P（-1，2）到直线
l
：3x-2=0的距离
合作探究
例6
已知△ABC的三个顶点分别是A（1，3），B（3，1），C（-1，0），求△ABC的面积.
分析：
由三角形面积公式可知，只要利用距离公式求出边AB的长和边AB上的高即可.
解：
如图,
设边AB上的高为h
，则
边AB上的高h就是点C到直线AB的距离.
边AB所在直线
l
的方程为
即
x+y-4=0
点C（-1，0）到直线
l：
x+y-4=0
的距离
因此，
课堂练习
1.
求点P（-1，2）到下列直线的距离：
（1）2x+y-10=0;
(2)
x=2;
(3)
y-1=0.
答案：
(1)
由公式得
(2)
法1：
把直线方程化成一般式x-2=0
由公式得
法2：
∵直线
x=2与y轴平行，
∴由图知
(3)
d=1
方法同（2）
课堂练习
2.
已知点A(a,2)(a＞0)到直线
l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于( )
A.
B．2－
C.
－1
D.
＋1
3.
已知P（1，2），则当点P到直线2ax+y-4=0的距离最大时，a=(
)
1
B．
C.
D.
解：因为直线2ax+y-4=0恒过定点A（0，4）
所以当PA与直线垂直时，点P到直线的距离达到最大值，此时过P，A的直线斜率为-2，
所以直线2ax+y-4=0的斜率为
故
.
C
B
课堂练习
4.
已知原点和点P(4，－1)到直线ax＋a2y＋6＝0的距离相等，求实数a的值．
解：
利用点到直线的距离公式得
于是
且
-12=0
或
且
所以
所以2或4或6
课堂总结
5.
直线l:
y=k(x+2)
上存在两个不同点到原点距离等于1，则k的取值范围是（
）
A
.
(-2,2)
B.
C．（-1，1）
D.
分析：将问题转化为直线l与圆有两个交点，然后利用圆心到直线的距离小于半径，列式求解即可.
解
因为直线
l:
y=k(x+2)
上存在两个不同点到原点距离等于1
.
故直线l与圆有两个交点，
则圆心（0，0）到直线l的距离
解得
D
课堂总结
1
点到直线的距离公式的推导
2
点到直线的距离公式及几种特殊情况
3
例题
板书设计
1
点到直线的距离公式的推导
方法一：坐标法
方法二：设而不求法
方法三：向量法
方法四：用三角形面积公式推导
2
点到直线的距离公式及几种特殊情况
3
例题
作业布置
课本79页习题2.3
5,
6
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php
