北京市房山区2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题 Word版含答案

房山区2020-2021学年第二学期期末考试
高一数学
本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第一部分 （选择题 共50分）
一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）“直线false不在平面false内”用数学符号表示为
（A）false
（B）false
（C）false
（D）false
（2）已知角false的终边经过点false，则false
（A）false
（B）false
（C）false
（D）false
（3）已知球的体积为false，则它的半径为
（A）false
（B）false
（C）false
（D）false
（4）在△false中，false，false，false，则false
（A）false
（B）false
（C）false
（D）false
（5）下列命题正确的是
（A）正方形的直观图是正方形
（B）用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体是棱台
（C）各个面都是三角形的几何体是三棱锥
（D）圆锥有无数条母线
（6）已知正四棱锥false的高为false，底面边长为false，则正四棱锥false的侧面积为
（A）false
（B）false
（C）false
（D）false
（7）在三棱锥false中，false平面false，false，false，则侧面false与底面false所成的二面角的大小是
（A）false
（B）false
（C）false
（D）false
（8）设false，false是两个不同的平面，false，false是两条不同的直线，false，false，则“falsefalsefalse”是“falsefalse false”的
（A）充分而不必要条件
（B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件
（D）既不充分也不必要条件
（9）如图，在长方体false中，false，false，false，false分别为棱false，false的中点，过false的平面false与直线false平行，则平面false截该长方体所得截面的面积为
（A）false
（B）false
（C）false
（D）false
（10）如图，在棱长为false的正方体false中，false为棱false的中点，false与false相交于点false，false是底面false内（含边界）的动点，总有false，则动点false的轨迹的长度为

（A）false
（B）false
（C）false
（D）false
第二部分 （非选择题 共100分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（11）已知长方体的长、宽、高分别为false，false，false，则它的体对角线长为___________．
（12）如图，在正方体false中，直线false与false所成角的大小为__________.
（13）函数false（false）的最小正周期是false，则false__________，false在false上的最小值为__________.
（14）如图，在等腰梯形false中，falsefalsefalse，false，false，点false为线段false上一个动点（含端点），则false的最大值为___________．
（15）已知三个不同的平面false，false，false和一条直线false，给出五个论断：①false；②false；③false；④false；⑤false．以其中的两个论断作为条件，一个论断作为结论，写出一个正确的命题__________.（可以用序号表示）
（16）如图1，在false△false中，false，false，false，false，false分别是false，false上的点，且falsefalsefalse，false，将△false沿false折起，使false到false，得到四棱锥false，如图2．在翻折过程中，有下列结论：
图1 图2
①false平面false恒成立；
②若false是false的中点，false是false的中点，总有falsefalse平面false；
③异面直线false与false所成的角为定值；
④三棱锥false体积的最大值为false．
其中正确结论的序号为__________.
三、解答题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（17）（本小题15分）
如图，已知直三棱柱false中，false，false为false的中点．
（Ⅰ）求证：false平面false；
（Ⅱ）求证：falsefalse平面false．
（18）（本小题14分）
已知△false中，false，false．再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
（Ⅰ）false的值；
（Ⅱ）△false的面积．
条件①：false；
条件②：false．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
（19）（本小题14分）
在△false中，false．
（Ⅰ）求false的大小；
（Ⅱ）求false的最大值．
（20）（本小题14分）
如图，四棱锥false的底面是平行四边形，平面false⊥平面false，且△false是正三角形，
点false是false的中点，点false，false分别在棱false，false上．
（Ⅰ）求证：falsefalse；
（Ⅱ）若false，false，false，false共面，求证：falsefalsefalse；
（Ⅲ）在侧面false中能否作一条直线段使其与平面false平行？如果能，请写出作图的过程并给出证明；
如果不能，请说明理由．
（21）（本小题13分）
若函数false（false），非零向量false，我们称false为函数false的“相伴向量”，false为向量false的“相伴函数”．
（Ⅰ）已知函数false，求false的“相伴向量”；
（Ⅱ）记向量false的“相伴函数”为false，将false图象上所有点的横坐标伸长到原来的false倍（纵坐标不变），再将所得的图象上的所有点向左平移false个单位长度，得到函数false，若false，false，求false的值；
（Ⅲ）对于函数false，是否存在“相伴向量”？若存在，求出false的“相伴向量”；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（每小题5分，共50分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
D
A
C
D
B
B
C
D
C
二、填空题（每小题5分，共30分，有两空的第一空3分，第二空2分）
（11）false
（12）false
（13）false；false
（14）false
（15）①②③（③⑤④；④⑤③）
（16）①②④（全选对5分，选不全3分，有③不得分）
三、解答题（共5小题，共70分）
（17）（本小题15分）
解：
（Ⅰ）在直三棱柱false中，false，false为false的中点，
∴false
又∵false底面false，false底面false
∴false
∴false平面false
（Ⅱ）连接false，设false与false交于false，则false是false的中点
连接false，则false是△false的中位线，
∴falsefalse，
∵false平面false，false平面false
∴falsefalse平面false
（18）（本小题14分）
解：
若选择①，
（Ⅰ）由false，得false，
由false，false，得false，
解得false或false．
（Ⅱ）false，false，则false
当false时，false，△false的面积false，
当false时，false，△false的面积false
若选择②，
（Ⅰ）由false，得false，
由false，false，得false，
解得false．
（Ⅱ）false，false，则false
所以△false的面积false．
（19）（本小题14分）
解：
（Ⅰ）由false，false，得false，false，
得false，
因为false，所以falsefalse．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，false
false
false
false．
因为false，所以当false时，false取得最大值false
（20）（本小题14分）
解：
（Ⅰ）∵△false是正三角形，点false是false的中点，
∴false，
又平面false⊥平面false，平面false平面false
∴false⊥平面false，
false平面false
∴false⊥false
（Ⅱ）又∵底面false是平行四边形，
∴false
又false平面false，false平面false
∴false平面false
平面false平面false，false平面false
∴falsefalsefalse
（Ⅲ）取false的中点false，取false的中点false，连接false
false是△false的中位线，
∴false，false，
点false是false的中点，且false，false，
则false，false
∴四边形false是平行四边形
false，
false平面false，false平面false
false平面false，
false平面false，在平面false中能作出直线段false
（21）（本小题13分）
解：
（Ⅰ）false，则函数false的“相伴向量”falsefalse
（Ⅱ）依题意，false，
将false图象上所有点的横坐标伸长到原来的false倍（纵坐标不变），得到函数
false，再将所得的图象上所有点向左平移false个单位长度，得到函数
falsefalse，
由false，得false
由false，则false，则false
falsefalse
（Ⅲ）若函数false存在“相伴向量”，则存在false，false，使得
false对任意false都成立，
令false，得false，因此false，即false或false
显然上式对任意false不都成立，
所以，函数false不存在“相伴向量”．