贵州省黔西南州2020-2021学年高二下学期期末检测数学（理）试题 Word版含解析

黔西南州2021年春季学期高二期末考试试卷
数学（理科）
考生注意：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共15分．考试时间120分钟．
2．请将各题答案填写在答题卡上．
3．本试卷主要考试内容：以高考模拟题呈现，其中高一内容约占30%，高二内容约占70%（高二下约占50%）．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集false，集合false，false，则false（ ）
A．{4} B．{3} C．{1，2} D．false
2．复数false的实部为（ ）
A．1 B．－1 C．3 D．－3
3．若函数false，false，则（ ）
A．false为奇函数，false为偶函数
B．false与false均为偶函数
C．false为偶函数，false为奇函数
D．false与false均为奇函数
4．设等比数列false的公比为false，若false，则false（ ）
A．false B．2 C．false D．－2
5．在18个村庄中有8个村庄交通不便，现从中任意选9个村庄，用false表示这9个村庄中交通不便的村庄个数，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
6．曲线false在点（1，0）处切线的斜率为（ ）
A．false B．false C．false D．false
7．某社区卫生服务站周末到社区开展健康义诊咨询活动，活动结束后，参加活动的医务人员要集体拍照留念．医务人员包括6名医生和3名护士，摄影师要求他们站成一排，且3名护士相邻，则不同的排法总数为（ ）
A．false B．false C．false D．false
8．若false，false满足约束条件false则false的最大值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
9．“false”是“false”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
10．南北朝时期的数学古籍《张丘建算经》有如下一题：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次等（即等差）降之．上三人，得金四斤，持出；下四人后入得三斤，持出；中间三人未得者，亦依等次更给．”意思是皇帝赏赐十人黄金，将十人分成十个不同的等级，每个等级的人与他下一等级的人分得的黄金之差相同，已知上三等级的三人共分得黄金4斤，下四等级的四人共分得黄金3斤，则中间三等级的三人共分得黄金（ ）
A．false斤 B．false斤 C．false斤 D．false斤
11．若false，则false（ ）
A．448 B．1344 C．28672 D．86016
12．在底面是正三角形的三棱锥false中，false底面false，且false，false．以false为球心的球false的表面积为false，则球false的球面与三棱锥false的表面的交线总长为（ ）
A．false B．false C．false D．false
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．
13．已知向量false与false垂直，则false______．
14．已知false，则false______．
15．中国古代计时器的发明时间不晚于战国时代（公元前476年~前222年），其中沙漏就是古代利用机械原理设计的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道流到下部容器．如图，某沙漏由上、下两个圆锥容器组成，圆锥底面圆的直径和高均为4cm，当细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的false（细管长度忽略不计）．若细沙的流速为每分钟false，则上部细沙全部流完的时间约为______分钟（结果精确到整数部分）．

16．已知false为曲线false：false上一点，false，false，则false的最小值为______．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（12分）
false的内角false，false，false的对边分别为false，false，false．已知false．
（1）求false；
（2）若false，false的面积为false，求false的周长．
18．（12分）
如图，在空间直角坐标系false中，false，false，false分别在false，false，false轴的正半轴上，false在平面false内．
（1）若false，证明：false；
（2）已知false，false，false的坐标为（0，2，4），求false与平面false所成角的正弦值．

19．（12分）
中国是世界上沙漠化最严重的国家之一，沙漠化造成生态系统失衡，可耕地面积不断缩小，给中国工农业生产和人民生活带来严重影响．随着综合国力逐步增强，西北某地区大力兴建防风林带，引水拉沙，引洪淤地，开展了改造沙漠的巨大工程．该地区于2017年投入沙漠治理经费2亿元，从2018年到2020年连续3年每年增加沙漠治理经费1亿元，近4年投入的沙漠治理经费false（亿元）和沙漠治理面积false（万亩）的相关数据如下表所示：
年份
2017
2018
2019
2020
false
2
3
4
5
false
24
37
47
52
（1）通过散点图看出，可用线性回归模拟拟合false与false的关系，请用相关系数加以说明；（结果保留3位小数）
（2）求false关于false的回归方程；
（3）若保持以往沙漠治理经费的增加幅度，请预测到哪一年沙漠治理面积可突破80万亩．参考数据：false．
参考公式：相关系数false，false，false．
20．（12分）
已知椭圆false：false（false）的焦点与双曲线false：false（false）的焦点相同，且false的离心率为false．
（1）求false与false的方程；
（2）若false，直线false：false与false交于false，false两点，且直线false，false的斜率都存在．
①求false的取值范围；
②试问这直线false，false的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
21．（12分）
已知函数false．
（1）求false的单调区间；
（2）设函数false（false），讨论false的零点个数．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系false中，曲线false的参数方程为false（false为参数）．以坐标原点为极点，false轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线false的极坐标方程为false，点false的极坐标为false．
（1）求false的普通方程和false的直角坐标方程；
（2）若false与false交于false，false两点，求false的值．
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知函数false，函数false．
（1）求不等式false的解集；
（2）设false的最大值为false，若关于false的不等式false在[2，3]上恒成立，求false的取值范围．
黔西南州2021年春季学期高二期末考试试卷
数学参考答案（理科）
1．A 因为false，false，false，所以false．
2．B 因为false，所以false的实部为－1．
3．C 因为false，false，且这两个函数的定义域均为false，所以false为偶函数，false为奇函数．
4．A 因为false，所以false，解得false．
5．D false．
6．B 设false，∵false，∴false．
7．C 由捆绑法可得，不同的排法总数为false．
8．D 画出可行域（图略）知，当直线false经过点（4，4）时，false取得最大值，且最大值为12．
9．D 若false，则不妨取false，false，此时false；若false，则不妨取false，false，此时false．故“false”是“false”的既不充分也不必要条件．
10．B 由题可知，这十人分得的黄金重量成等差数列，设分得黄金最多的一等人分得黄金false斤，公差为false，则false即false解得false，故false，即中间三等级的三人共分得黄金false斤．
11．D 由已知等式对false同时求导，得false，令false，得false．
12．B 如图，取false的中点false，连接false，false，因为false底面false，所以false．
因为false，所以false．
易证false，所以false，又false，则false．
因为球false的表面积为false，所以球false的半径为2，
故球false的球面与三棱锥false的表面的交线总长为false．
13．6 因为向量false与false垂直，所以false，即false．
14．12 false．
15．7 由题可知上部细沙对应的圆锥的底面直径与高均为3cm，
则其体积false．
因为细沙的流速为每分钟false，所以上部细沙全部流完的时间约为7分钟．
16．false 易知曲线false是抛物线false的右半部分，因为抛物线false的准线方程为false，所以false等于false到直线false的距离．过false作该直线的垂线，垂足为false，则false的最小值为false．
17．解：（1）因为false，所以false．
又false，所以false，解得false．
因为false，所以false．
（2）因为false，所以false．
由余弦定理知，false．
因为false，所以false，解得false．
故false的周长为false．
18．（1）证明：依题意可知false平面false，
因为false平面false，所以false．
因为false，false，所以false平面false．
又false平面false，所以false．
（2）解：依题意可得false，false，false，false．
则false，false．
设平面false的法向量为false，则false，
即false，
令false，得false．
设false与平面false所成角为false，因为false，
所以false，
故false与平面false所成角的正弦值为false．
19．解：（1）因为false，false，
所以false，
false，
false，
所以false．
因为false与false的相关系数非常接近1，所以false与false的线性相关程度相当高，
从而可以用线性回归模型拟合false与false的关系．
（2）false，
false．
所以false关于false的回归方程为false．
（3）当false时，false，
当false，false，
所以到2023年沙漠治理面积可突破80万亩．
20．解：（1）因为false的离心率为false，所以false，
解得false，则false的方程为false．
因为false的焦点与false的焦点相同，所以false，
所以false，则false的方程为false．
（2）①联立false得false，
其中false，解得false．
又直线false，false的斜率都存在，所以false，
故false的取值范围是false．
②设false，false，则false，false，
则false
false，
故直线false，false的斜率之积不是定值．
21．解：（1）因为false，所以false．
当false时，false；当false时，false．
故false的单调递增区间为false，单调递减区间为false．
（2）令false，
解得false或false．
由（1）可知false，
且当false时，false；当false时，false．
若false，则false，false，
false无解，false的零点个数为0．
若false，则false，false，
false有1解，false的零点个数为1．
若false，则false，false，
false有2解，false的零点个数为2．
若false，则false，false，
false有3解，false的零点个数为3．
若false，且false，则false，false且false，
false有4解，false的零点个数为4．
若false，则false，false有2解，false的零点个数为2．
综上所述，当false时，false有4个零点；
当false时，false有3个零点；当false时，false有2个零点；
当false时，false有1个零点；当false时，false有0个零点．
22．解：（1）由false（false为参数），得false．
因为false，所以false，即false．
综上所述，false的普通方程为false，false的直角坐标方程为false．
（2）因为false，false，所以点false的直角坐标为（－1，0），false在false上，
故false的参数方程为false（false为参数），
将其代入false的普通方程，得false．
设false，false是方程false的实数根，则false，false，
故false．
23．解：（1）false
当false时，5≥1恒成立．
当false时，false，解得false．
当false时，－5≥1恒不成立．
综上所述，原不等式的解集为false．
（2）因为false，所以false，
所以false在[2，3]上恒成立等价于false在[2，3]上恒成立．
令函数false，易知false在[2，3]上单调递减，故false，
所以false，故false的取值范围是false．