江苏省苏州市高中教育集团2020-2021学年高二下学期期中测试数学试题 Word版含答案

苏州市中学教育集团2020-2021学年高二下学期期中测试
数学 2021.4
（本卷共计150分，考试时间120分钟）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
一质点的运动方程为S=t2+10，其中S的单位是米，t的单位是秒，那么物体在4秒末的
瞬时速度是
A．4米/秒
B．6米/秒
C．8米/秒
D．10米/秒
2．若4名学生报名参加数学、物理、化学兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式有
A．6种
B．24种
C．64种
D．81种
3．设随机变量X的分布列如下，则P(|X－2|＝1)等于(　　)
X
1
2
3
4
P


m


A．
B．
C．
D．
4．从“I love sy”（我爱实验）中取6个不同的字母排成一排，含有“sy”字母组合（顺序不变）的不同排列共有
A．360种
B．480种
C．600种
D．720种
5．设a∈Z且0≤a<13，若512 020＋a能被13整除，则a等于(　　)
A．0
B．1
C．11
D．12
421132053340第6题图
第6题图
杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家，其著作《详解九章算
术》中画了一张表示二项式展开式后的系数构成的三角形数阵（如
图所示），称做“开方做法本源”，现简称为“杨辉三角”，比西
方的“帕斯卡三角形”早了300多年.若用false表示三角形数阵中
的第m行第n个数，则false
A．5050
B．4851
C．4950
D．5000
7．某种圆柱形饮料罐的容积一定，当它的用料最省时底面半径与高的比为
A．1：false
B．1：false
C．1：2
D．1：false
8．已知函数f(x)是定义在区间（0，+false上的可导函数，满足f(x)>0，且f(x)+f '(x)<0(f '(x)是f(x)的导函数)，下列不等式一定成立的是
A．2f(0.5)＜3f(2)
B．2f(2)>f(0.5)
C．f(2)>4f(0.5)
D．f(0.5)>4f(2)
选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9．直线false可以作为下列函数图象的切线的有
A．false
B．false
C．false
D．false
10．下列结论正确的有
A．乘积false展开后共有12项
B．若false为增函数，则任意的false，都有false
C．设false，false，则false
D．0！=1！
11.下列等式正确的有
A．false
B．false
C．false
D．false
4188460556895第12题图
第12题图
某数学研究小组在研究牛顿三叉戟曲线f(x)=2x2+false时通过数学软件绘制出其图象（如
右图），并给出以下几个结论，则正确的有
A．函数f(x)的极值点有且只有一个
B．当x>0时，|f(－x)|C．过原点且与曲线y=f(x)相切的直线有且仅有2条
D．若f(x1)=f(x2)，x1<0三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分。
13．在(1－2x)6的展开式中，x2的系数为________(用数字作答).
已知随机变量X～B(2，p)，Y～0-1，若P(X≥1)＝0.64，P(Y=1)＝p，则P(Y=0)的值等
于 .
15．设集合A＝{(x1，x2，x3，x4，x5)|xi∈{－1，0，1}，i＝1，2，3，4，5}，那么集合A中
满足条件“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3”的元素个数为 .
16．若false≤false对于false恒成立，当m>0时，false的最小值是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分10分）
（1）由数字0，1，2，3，4可以组成多少个没有重复数字的四位数？
（2）由数字1，2，3，4可以组成多少个没有重复数字的正整数？
18．（本小题满分12分）
在false（n≥3，n∈N*）的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差
数列.
（1）求证：展开式中没有常数项；
（2）求展开式中系数最大的项.
19．（本小题满分12分）
4月23日是“世界读书日”，学校开展了一系列的读书教育活动．学校为了解高一学生课外阅读情况，从高二某班甲、乙、丙、丁四个读书小组(每名学生只能参加一个读书小组)学生中抽取12名学生参加问卷调查．各组人数统计如下：
小组
甲
乙
丙
丁
人数
4
3
2
3
(1)从参加问卷调查的12名学生中随机抽取2人，求这2人来自同一个小组的概率；
(2)从已抽取的甲、丙两个小组的学生中随机抽取2个，用X表示抽得甲组学生的人数，
求随机变量X的分布列．



20．（本小题满分12分）
用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若false是false的导函数，false是false的导函数，则曲线false在点false处的曲率false.
3623945445135第20题图
第20题图
(1)若曲线false与false在（1，1）处的曲率分别为K1，K2，比较K1，K2大小；
(2)求正弦曲线false(false)曲率的最大值.




21．（本小题满分12分）
已知f(x)=(1+x)m+(1+x)n (m∈N*，n∈N*).
（1）当m=5，n=6时，记f(x)的展开式中xi的系数为ai(i=0，1，2，3，…，6)，求a1+a2+a3+…+a6的值；
（2）当false的展开式中含x的系数为11，求展开式中含false的项的系数最小时m，n的值；
（3）当m≥5，n≥5时，求证：f(1)>false.



22．（本小题满分12分）
已知函数falseex（m是常数，m∈R）.
（1）试讨论关于x的方程f(x)=m解的个数；
（2）当m=0时，若对任意的false，false≤false恒成立，求正实数false的最大值.
苏州市中学教育集团2020-2021学年高二下学期期中测试
数学评分标准
选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1．C 2．D 3．B 4．C 5．D 6．B 7．C 8．D
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。
9．BD 10．ABD 11．ACD 12．ABD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分。
13．60 14．0.6 15．130 16．false
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分10分）注：每题5分
（1）4false=96
（2）4+false=64
18.（本小题满分12分）
解：由第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列知false
解得false或n=2（舍去） ………………………………………………2分
证明：通项公式false ………………………………………………4分
令false，r=false
所以展开式中没有常数项 ………………………………………………6分
（2）令false解得false，又false，
即false， ………………………………………………9分
所以，展开式中系数最大项为false. …………12分
19.（本小题满分12分）
解：(1)由题意得，从参加问卷调查的12名学生中随机抽取两人的取法共有C＝66(种)，
………………………………………………2分
抽取的两名学生来自同一小组的取法共有C＋2C＋C＝13(种)，………………………4分
所以，抽取的两名学生来自同一个小组的概率为P＝. …………6分（不答扣1分）
(2)由(1)知，在参加问卷调查的12名学生中，来自甲、丙两小组的学生人数分别为4,2，所以抽取的两个人中是甲组学生的人数X的可能取值为0,1,2，
因为P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝.
所以随机变量X的分布列为
X
0
1
2
P



………………………………12分
20.（本小题满分12分）
解：（1）false
false，
因为false，所以false，所以false. ……………………6分
（2）false，
false，false ……………………8分
false,令false，则false，false
当false，false，false在false上单调递减，false，所以false …………12分
21．（本小题满分12分）
解：（1）false
取false，即false，取false，得false，
所以false. ……………………3分
（2）当m=5，n=6或m=6，n=5时 ……………………7分
（3）先证：当n≥5，false
因为false，所以2n>n2.同理2m>m2，……………………9分
所以2m+2n>m2+n2，又m2+n2≥false，
所以2m+2n>false，即f(1)>false，获证. ……………………12分
22．（本小题满分12分）
解：（1）false，
当false，false，false递减；当false，false，false递增；
所以false，
又false，故false必有一个零点false，
并且由于false时，与一次函数相比，指数函数false呈爆炸性增长，从而false（注：这里是新人教版教材例题表述）， ……………………2分
1°当mfalse时，由false知，方程false有且只有一个根；
2°当false时，即false，取false
由false知，当false时，false递增，当false时，false递减，
所以false，即存在false使得false，
由于false，false知false恒成立，
所以false，又false，由单调性及零点存在性定理知方程在区间false有且只有一根，因此方程false有两个根；
3°当m=false1，此时false，
所以false有且只有一个根；
4°当false时，由false，且false及单调性知方程在false有1个根，故此时有两个根.
综上：false或false时有且只有一个根；false或false时有且只有两个根 ……6分
3871595135255
另解：当false时，false，
因为false，false，所以false，即false，
因为false，
所以，当false时，false，所以false在false上单调递增，
所以false，即false恒成立，
记false，false，
false，false在false上递减，在false上递增，
false2e，所以false2e，所以正实数false的最大值为2e.