1.2
空间向量基本定理
一、单选题
1．为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成空间向量的基底的一组向量是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】对于A，因为，所以共面，不能构成基底，排除A，
对于B，因为，所以共面，不能构成基底，排除B，
对于D，，所以共面，不能构成基底，排除D，
对于C，若共面，则，则共面，与为空间向量的一组基底相矛盾，故可以构成空间向量的一组基底，
故选C
2.给出下列命题：
①已知，则；
②为空间四点，若不构成空间的一个基底，那么共面；
③已知，则与任何向量都不构成空间的一个基底；
④若共线，则所在直线或者平行或者重合．
正确的结论的个数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【解析】对于①，若，则，故，故①正确；对于②，若不构成空间的一个基底，这3个向量共线面，故共面，故②正确；对于③，当时，若与不共面，则可构成空间的一个基底，故③不正确；对于④，根据向量共线的定义可得其成立，故④正确.
3.在四面体中，点在上，且，为中点，则等于
A．
B．
C．
D．
【分析】直接利用向量的线性运算的应用求出结果．
【解答】解：在四面体中，点在上，且，为中点，
所以．
故选：．
4.如图，已知正方体中，点为上底面的中心，若则
A．
B．1
C．
D．2
【分析】推导出，由此能求出的值．
【解答】解：正方体中，点为上底面的中心，
，
，．
故选：．
5．（多选题）（2020宁阳县四中高二期末）给出下列命题，其中正确命题有（?
?）
A．空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底
B．已知向量，则与任何向量都不能构成空间的一个基底
C．是空间四点，若不能构成空间的一个基底，那么共面
D．已知向量组是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底
【答案】ABCD
【解析】选项中，根据空间基底的概念，可得任意三个不共面的向量都可以作为一个空间基底，所以正确；选项中，根据空间基底的概念，可得正确；选项中，由不能构成空间的一个基底，可得共面，又由过相同点B，可得四点共面，所以正确；选项中：由是空间的一个基底，则基向量与向量一定不共面，所以可以构成空间另一个基底，所以正确．故选：ABCD.
6．（多选题）设，，是空间一个基底
A．若，，则
B．则，，两两共面，但，，不可能共面
C．对空间任一向量，总存在有序实数组，，，使
D．则，，一定能构成空间的一个基底
【分析】利用，，是空间一个基底的性质直接求解．
【解答】解：由，，是空间一个基底，知：
在中，若，，则与相交或平行，故错误；
在中，，，两两共面，但，，不可能共面，故正确；
在中，对空间任一向量，总存在有序实数组，，，使，故正确；
在中，，，一定能构成空间的一个基底，故正确．故选：．
二、填空题
7．已知S是△ABC所在平面外一点，D是SC的中点，若x，则x+y+z=_____.
【答案】
【解析】如图，根据条件:
,
又,
∴由空间向量基本定理得,
故填
8.已知四棱柱的底面ABCD是矩形，底面边长和侧棱长均为2，，则对角线的长为_____________．
【分析】
本题考查空间向量的运算及模的求法，属于中档题．
【解答】
解：设
则，，
，
，
则对角线的长为．
故答案为．
9.已知为空间的一个基底，且，，，能否以作为空间的一个基底______
填“能”或“不能”．
【解析】解：为空间的一个基底，
且，，，
设向量，，共面，则存在实数m，n，使，
，
解得，；
因此不能作为空间的一个基底．
故答案为：不能．
解答题
10．已知是平行六面体．
（1）化简，并在图形中标出其结果；
（2）设是底面的中心，是侧面的对角线上的点，且，设，试求，，的值．
【解析】（1）如图所示，取线段中点E，则，，
取，
∵，
∴．
则．
（2）∵
，
∴，，．
11、如图，平面平面，，四边形为平行四边形，，，为线段的中点，点满足．
（Ⅰ）求证：直线平面；
（Ⅱ）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）
【解析】（I）连接，交于点，连接，根据对应边成比例，两直线平行，证得，由此证得平面.（II）先证明平面，以及，由此以为原点，所在直线为轴，轴，建立空间直角坐标系，通过计算直线的方向向量和平面的法向量，来求得线面角的正弦值.
【详解】
（Ⅰ）证明：连接，交于点，连接
在平行四边形中，因为，
所以，
又因为，即，
所以，
又因为平面，平面，
所以直线平面．
（Ⅱ）证明：因为，为线段的中点，
所以，又因为平面平面于，平面
所以平面
在平行四边形中，因为，，所以
以为原点，分别以所在直线为轴，轴，建立空间直角坐标系，
则，因为平面
设
，
因为，
设为平面的一个法向量
则不妨设
因为，
设为平面的一个法向量
则不妨设
因为平面平面，所以，所以以为
所以
所以，，
所以
所以直线与平面所成角的正弦值为．1.2
空间向量基本定理
一、单选题
1．为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成空间向量的基底的一组向量是（
）
A．
B．
C．
D．
2.给出下列命题：
①已知，则；
②为空间四点，若不构成空间的一个基底，那么共面；
③已知，则与任何向量都不构成空间的一个基底；
④若共线，则所在直线或者平行或者重合．
正确的结论的个数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
3.在四面体中，点在上，且，为中点，则等于
A．
B．
C．
D．
4.如图，已知正方体中，点为上底面的中心，若则
A．
B．1
C．
D．2
5．（多选题）（2020宁阳县四中高二期末）给出下列命题，其中正确命题有（?
?）
A．空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底
B．已知向量，则与任何向量都不能构成空间的一个基底
C．是空间四点，若不能构成空间的一个基底，那么共面
D．已知向量组是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底
6．（多选题）设，，是空间一个基底
A．若，，则
B．则，，两两共面，但，，不可能共面
C．对空间任一向量，总存在有序实数组，，，使
D．则，，一定能构成空间的一个基底
二、填空题
7．已知S是△ABC所在平面外一点，D是SC的中点，若x，则x+y+z=_____.
8.已知四棱柱的底面ABCD是矩形，底面边长和侧棱长均为2，，则对角线的长为_____________．
9.已知为空间的一个基底，且，，，能否以作为空间的一个基底______
填“能”或“不能”．
解答题
10．已知是平行六面体．
（1）化简，并在图形中标出其结果；
（2）设是底面的中心，是侧面的对角线上的点，且，设，试求，，的值．
11、如图，平面平面，，四边形为平行四边形，，，为线段的中点，点满足．
（Ⅰ）求证：直线平面；
（Ⅱ）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值．
