1.3
空间向量及其运算的坐标表示
一、选择题
1．在空间直角坐标系O﹣xyz中,点A（2,﹣1,3）关于yOz平面对称的点的坐标是(
)
A．（2,1,3）
B．（﹣2,﹣1,3）
C．（2,1,﹣3）
D．（2,﹣1,﹣3）
【答案】B
【解析】在空间直角坐标系O﹣xyz中,点A（2,﹣1,3）关于yOz平面对称的点的坐标是（﹣2,﹣1,3）.
2．已知点，向量，则点坐标是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设点，则向量，
所以，所以点.故选：D
3．在空间直角坐标系中，，为的中点，为空间一点且满足，若，，则（
）
A．9
B．7
C．5
D．3
【答案】D
【解析】设，，，，，由，
整理可得：，由，得，化简得，以上方程组联立得，则.
4．已知，，，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设，则，因为点在直线上运动，所以，
所以，即，，所以，所以
，所以当时，取得最小值，此时点的坐标为.
5.对于任意非零向量，，以下说法错误的有(
)
A．若，则
B．若，则
C．
D．若，则为单位向量
【答案】BD
【解析】
对于A选项，因为，则，A选项正确；
对于B选项，若，且，，若，但分式无意义，B选项错误；
对于C选项，由空间向量数量积的坐标运算可知，C选项正确；
对于D选项，若，则，此时，不是单位向量，D选项错误.
故选：BD.
6.若点为点在平面上的正投影，则记.如图，在棱长为的正方体中，记平面为，平面为，点是棱上一动点（与、不重合），.给出下列三个结论：
①线段长度的取值范围是；
②存在点使得平面；
③存在点使得.
其中，所有正确结论的序号是（
）
A．①②③
B．②③
C．①③
D．①②
【答案】D
【解析】取的中点，过点在平面内作，再过点在平面内作，垂足为点.
在正方体中，平面，平面，，
又，，平面，即，，
同理可证，，则，.
以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，设，则，，，，.
对于命题①，，，则，则，所以，，命题①正确；
对于命题②，，则平面的一个法向量为，
，令，解得，
所以，存在点使得平面，命题②正确；
对于命题③，，令，
整理得，该方程无解，所以，不存在点使得，命题③错误.
故选：D.
填空题
7．如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标为________
【答案】
【解析】如图所示，以长方体的顶点为坐标原点，
过的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，
因为的坐标为，所以,
所以.
8.已知长方体，，，在上取一点M，在上取一点N，使得直线平面，则线段MN的最小值为________.
【答案】
【解析】如图，以为轴建立空间直角坐标系，
则，
，，设平面的一个法向量为，
则，取，则，即，
又，，，
设，，则，
，
当，即时，取得最小值，即的长度的最小值为．
故答案为：．
解答题
9.已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．
(1)若∥，且||＝2，求点P的坐标；
(2)求以，为邻边的平行四边形的面积．
【解析】(1)∵∥，
∴设＝λ，
又＝(3，－2，－1)，
∴＝(3λ，－2λ，－λ)，
又||＝
＝2，得λ＝±2，
∴＝(6，－4，－2)或＝(－6,4,2)．
又A(0,2,3)，
设P(x，y，z)，
∴或
得或
∴P(6，－2,1)或(－6,6,5)．
(2)∵＝(－2，－1,3)，＝(1，－3,2)，
cos〈，〉＝＝＝，
∴∠BAC＝60°.
∴以，为邻边的平行四边行的面积
S＝||||sin
60°＝14×＝7.
10．已知长方体中,
，点N是AB的中点，点M是的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．
（1）写出点的坐标；
（2）求线段的长度；
（3）判断直线与直线是否互相垂直，说明理由．
【答案】（1），，；
（2）线段的长度分别为；（3）不垂直，理由见解析
【解析】解：（1）两直线垂直，证明：由于为坐标原点，所以，
由得：，
因为点N是AB的中点，点M是的中点，，；
（2）由两点距离公式得：，
；
（3）直线与直线不垂直，
理由：由（1）中各点坐标得：
，，
与不垂直，所以直线与直线不垂直.1.3
空间向量及其运算的坐标表示
一、选择题
1．在空间直角坐标系O﹣xyz中,点A（2,﹣1,3）关于yOz平面对称的点的坐标是(
)
A．（2,1,3）
B．（﹣2,﹣1,3）
C．（2,1,﹣3）
D．（2,﹣1,﹣3）
2．已知点，向量，则点坐标是（
）
A．
B．
C．
D．
3．在空间直角坐标系中，，为的中点，为空间一点且满足，若，，则（
）
A．9
B．7
C．5
D．3
4．已知，，，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（
）
A．
B．
C．
D．
5.对于任意非零向量，，以下说法错误的有(
)
A．若，则
B．若，则
C．
D．若，则为单位向量
6.若点为点在平面上的正投影，则记.如图，在棱长为的正方体中，记平面为，平面为，点是棱上一动点（与、不重合），.给出下列三个结论：
①线段长度的取值范围是；
②存在点使得平面；
③存在点使得.
其中，所有正确结论的序号是（
）
A．①②③
B．②③
C．①③
D．①②
填空题
7．如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标为________
8.已知长方体，，，在上取一点M，在上取一点N，使得直线平面，则线段MN的最小值为________.
解答题
9.已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．
(1)若∥，且||＝2，求点P的坐标；
(2)求以，为邻边的平行四边形的面积．
10．已知长方体中,
，点N是AB的中点，点M是的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．
（1）写出点的坐标；
（2）求线段的长度；
（3）判断直线与直线是否互相垂直，说明理由．
