1.4
空间向量的应用
一、选择题
1．已知平面α的一个法向量是，，则下列向量可作为平面β的一个法向量的是（
）
A．
B．
C．
D．
2．如图，在正方体ABCD?中，以D为原点建立空间直角坐标系，E为B的中点，F为的中点，则下列向量中，能作为平面AEF的法向量的是(
)
A．(1，－2，4)
B．(－4,1，－2)
C．(2，－2，1)
D．(1，2，－2)
3．空间直角坐标中A(1，2，3)，B(－1，0，5)，C(3，0，4)，D(4，1，3)，则直线AB与CD的位置关系是(
)
A．平行
B．垂直
C．相交但不垂直
D．无法确定
4.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别在A1D,AC上,且A1E=A1D,AF=AC,则( )
A.EF至多与A1D,AC之一垂直
B.EF⊥A1D,EF⊥AC
C.EF与BD1相交
D.EF与BD1异面
5.在底面为锐角三角形的直三棱柱中，是棱的中点，记直线与直线所成角为，直线与平面所成角为，二面角的平面角为，则（
）
A．
B．
C．
D．
6.（多选题）（2020苏州大学附中学高二月考）如图，在棱长为1的正方体中，分别为棱的中点.为面对角线上任一点，则下列说法正确的是（
）
A．平面内存在直线与平行
B．平面截正方体所得截面面积为
C．直线和所成角可能为60°
D．直线和所成角可能为30°
二、填空题
7．给出下列命题：①若为共面向量，则所在的直线平行；②若向量所在直线是异面直线，则一定不共面；③平面的法向量不唯一，但它们都是平行的；④平行于一个平面的向量垂直于这个平面的法向量．其中正确命题的个数为________.
8.如图，正四棱柱的底面边长为4，记，，若，则此棱柱的体积为______．
9.已知正四棱锥P-ABCD的侧棱与底面所成角为60°，M为PA中点，连接DM，则DM与平面PAC所成角的大小是________．
三、解答题
10.如图所示,四边形ABCD是直角梯形,∠ABC=∠BAD=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=2,AD=1.
(1)求SC与平面ASD所成角的余弦值;
(2)求平面SAB和平面SCD夹角的余弦值.
11.如图，在圆锥SO中，A，B是上的动点，是的直径，M，N是SB的两个三等分点，，记二面角，的平面角分别为，，若，则的最大值为?1.4
空间向量的应用
一、选择题
1．已知平面α的一个法向量是，，则下列向量可作为平面β的一个法向量的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】平面α的一个法向量是，，设平面的法向量为，则，对比四个选项可知，只有D符合要求，故选：D.
2．如图，在正方体ABCD?中，以D为原点建立空间直角坐标系，E为B的中点，F为的中点，则下列向量中，能作为平面AEF的法向量的是(
)
A．(1，－2，4)
B．(－4,1，－2)
C．(2，－2，1)
D．(1，2，－2)
【答案】B
【解析】设正方体棱长为2，则A（2，0，0），E（2，2，1），F（1，0，2），
∴=（0，2，1），=（﹣1，0，2）,设向量=（x，y，z）是平面AEF的一个法向量
则，取y=1，得x=﹣4，z=﹣2,∴=（﹣4，1，﹣2）是平面AEF的一个法向量,因此可得：只有B选项的向量是平面AEF的法向量,故选：B．
3．空间直角坐标中A(1，2，3)，B(－1，0，5)，C(3，0，4)，D(4，1，3)，则直线AB与CD的位置关系是(
)
A．平行
B．垂直
C．相交但不垂直
D．无法确定
【答案】A
【解析】∵空间直角坐标系中，A（1，2，3），B（﹣1，0，5），C（3，0，4），D（4，1，3），
∴=（﹣2，﹣2，2），=（1，1，﹣1），∴=﹣2，
∴直线AB与CD平行．故选：A．
4.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别在A1D,AC上,且A1E=A1D,AF=AC,则( )
A.EF至多与A1D,AC之一垂直
B.EF⊥A1D,EF⊥AC
C.EF与BD1相交
D.EF与BD1异面
【答案】B
【解析】建立分别以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴的空间直角坐标系(图略),不妨设正方体的棱长为1,则=(1,0,1),=(-1,1,0),E(,0,
)
,F(,0
)
,=(
,-
)
,∴=0,=0,∴EF⊥A1D,EF⊥AC.又=(-1,-1,1),∴=-3,即EF与BD1平行.
5.在底面为锐角三角形的直三棱柱中，是棱的中点，记直线与直线所成角为，直线与平面所成角为，二面角的平面角为，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题可知，直三棱柱的底面为锐角三角形，是棱的中点，
设三棱柱是棱长为的正三棱柱，以为原点，在平面中，过作的垂线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，，直线与直线所成的角为，，
，直线与平面所成的角为，，
平面的法向量，，，
设平面的法向量，则，取，得，二面角的平面角为，由图可知，为锐角，即，
，，由于在区间上单调递减，，则.故选：A.
6.（多选题）（2020苏州大学附中学高二月考）如图，在棱长为1的正方体中，分别为棱的中点.为面对角线上任一点，则下列说法正确的是（
）
A．平面内存在直线与平行
B．平面截正方体所得截面面积为
C．直线和所成角可能为60°
D．直线和所成角可能为30°
【答案】BC
【解析】对于选项A，在正方体中，，在平面中，直线相交，所以直线与平面相交，故直线与平面相交，则平面不存在直线与平行，所以选项A错误；对于选项B，连接分别为棱的中点，
所以，在正方体中，，所以，连，则梯形为所求的截面，，所以等腰梯形的高为，所以梯形的面积为，选项B正确；对于选项C,D，以为坐标原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，，设，
，，
，令，，
，，而，直线和所成角可能为60°，但不可能为30°，选项C正确，选项D错误.故选：BC.
二、填空题
7．给出下列命题：①若为共面向量，则所在的直线平行；②若向量所在直线是异面直线，则一定不共面；③平面的法向量不唯一，但它们都是平行的；④平行于一个平面的向量垂直于这个平面的法向量．其中正确命题的个数为________.
8.如图，正四棱柱的底面边长为4，记，，若，则此棱柱的体积为______．
【答案】
【解析】建立如图所示空间直角坐标系，
设，又，则，，，，
，，，，即．
此棱柱的体积为．
9.已知正四棱锥P-ABCD的侧棱与底面所成角为60°，M为PA中点，连接DM，则DM与平面PAC所成角的大小是________．
【答案】45°
【解析】设底面正方形的边长为a，由已知可得正四棱锥的高为a，
建立如图所示空间直角坐标系，
则平面PAC的法向量为，D，，
P，M，＝，
所以＝＝，所以DM与平面PAC所成角为45°.
三、解答题
10.如图所示,四边形ABCD是直角梯形,∠ABC=∠BAD=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=2,AD=1.
(1)求SC与平面ASD所成角的余弦值;
(2)求平面SAB和平面SCD夹角的余弦值.
【解析】
(1)建立如图所示的空间直角坐标系,S(0,0,2),C(2,2,0),D(1,0,0),=(2,2,-2),∵AB⊥平面SAD,故平面ASD的一个法向量为=(0,2,0),设SC与平面ASD所成的角为θ,则sin
θ=|cos<>|=,故cos
θ=,即SC与平面ASD所成角的余弦值为.
(2)平面SAB的一个法向量为m=(1,0,0),∵=(2,2,-2),=(1,0,-2),设平面SCD的一个法向量为n=(x,y,z),由令z=1可得平面SCD的一个法向量为n=(2,-1,1),设平面SAB和平面SCD的夹角为α,则cos
α=,即平面SAB和平面SCD夹角的余弦值为.
11.如图，在圆锥SO中，A，B是上的动点，是的直径，M，N是SB的两个三等分点，，记二面角，的平面角分别为，，若，则的最大值为?
【分析】本题考查了空间直角坐标系在求二面角中的综合应用，涉及空间向量的数量积及及其坐标表示，平面的法向量、空间向量的夹角等，属于中档题．
根据题意，设底面圆的半径为r，，以所在直线为x轴，以垂直于所在直线为y轴，以OS所在直线为z轴建立空间直角坐标系，设平面NOA的法向量为，平面的法向量为，根据，求得平面的法向量，结合可得，即可求解．
【解答】解：设底面圆的半径为r，，以所在直线为x轴，以垂直于所在直线为y轴，以OS所在直线为z轴建立空间直角坐标系如下图所示：
则由，可得0，，0，，0，，，0，，
M，N是SB的两个三等分点，则0，，0，，
所以，0，，
设平面NOA的法向量为，
则代入可得，
化简可得，
令，解得，，
所以，
平面OAB的法向量为0，，
由图可知，二面角的平面角为锐二面角，
所以二面角的平面角满足，
，
设平面的法向量为，
，，
则
代入可得，
化简可得，
令，解得，，
所以，
平面的法向量为0，，
由图可知，二面角的平面角为锐二面角，
所以二面角的平面角满足，
，
由二面角的范围可知，
结合余弦函数的图象与性质可知，
即，
化简可得，且，
所以，
所以的最大值是，
