1.4
空间向量的应用
一、选择题
1.已知平面α的一个法向量是,,则下列向量可作为平面β的一个法向量的是(
)
A.
B.
C.
D.
2.如图,在正方体ABCD?中,以D为原点建立空间直角坐标系,E为B的中点,F为的中点,则下列向量中,能作为平面AEF的法向量的是(
)
A.(1,-2,4)
B.(-4,1,-2)
C.(2,-2,1)
D.(1,2,-2)
3.空间直角坐标中A(1,2,3),B(-1,0,5),C(3,0,4),D(4,1,3),则直线AB与CD的位置关系是(
)
A.平行
B.垂直
C.相交但不垂直
D.无法确定
4.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别在A1D,AC上,且A1E=A1D,AF=AC,则( )
A.EF至多与A1D,AC之一垂直
B.EF⊥A1D,EF⊥AC
C.EF与BD1相交
D.EF与BD1异面
5.在底面为锐角三角形的直三棱柱中,是棱的中点,记直线与直线所成角为,直线与平面所成角为,二面角的平面角为,则(
)
A.
B.
C.
D.
6.(多选题)(2020苏州大学附中学高二月考)如图,在棱长为1的正方体中,分别为棱的中点.为面对角线上任一点,则下列说法正确的是(
)
A.平面内存在直线与平行
B.平面截正方体所得截面面积为
C.直线和所成角可能为60°
D.直线和所成角可能为30°
二、填空题
7.给出下列命题:①若为共面向量,则所在的直线平行;②若向量所在直线是异面直线,则一定不共面;③平面的法向量不唯一,但它们都是平行的;④平行于一个平面的向量垂直于这个平面的法向量.其中正确命题的个数为________.
8.如图,正四棱柱的底面边长为4,记,,若,则此棱柱的体积为______.
9.已知正四棱锥P-ABCD的侧棱与底面所成角为60°,M为PA中点,连接DM,则DM与平面PAC所成角的大小是________.
三、解答题
10.如图所示,四边形ABCD是直角梯形,∠ABC=∠BAD=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=2,AD=1.
(1)求SC与平面ASD所成角的余弦值;
(2)求平面SAB和平面SCD夹角的余弦值.
11.如图,在圆锥SO中,A,B是上的动点,是的直径,M,N是SB的两个三等分点,,记二面角,的平面角分别为,,若,则的最大值为?1.4
空间向量的应用
一、选择题
1.已知平面α的一个法向量是,,则下列向量可作为平面β的一个法向量的是(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】平面α的一个法向量是,,设平面的法向量为,则,对比四个选项可知,只有D符合要求,故选:D.
2.如图,在正方体ABCD?中,以D为原点建立空间直角坐标系,E为B的中点,F为的中点,则下列向量中,能作为平面AEF的法向量的是(
)
A.(1,-2,4)
B.(-4,1,-2)
C.(2,-2,1)
D.(1,2,-2)
【答案】B
【解析】设正方体棱长为2,则A(2,0,0),E(2,2,1),F(1,0,2),
∴=(0,2,1),=(﹣1,0,2),设向量=(x,y,z)是平面AEF的一个法向量
则,取y=1,得x=﹣4,z=﹣2,∴=(﹣4,1,﹣2)是平面AEF的一个法向量,因此可得:只有B选项的向量是平面AEF的法向量,故选:B.
3.空间直角坐标中A(1,2,3),B(-1,0,5),C(3,0,4),D(4,1,3),则直线AB与CD的位置关系是(
)
A.平行
B.垂直
C.相交但不垂直
D.无法确定
【答案】A
【解析】∵空间直角坐标系中,A(1,2,3),B(﹣1,0,5),C(3,0,4),D(4,1,3),
∴=(﹣2,﹣2,2),=(1,1,﹣1),∴=﹣2,
∴直线AB与CD平行.故选:A.
4.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别在A1D,AC上,且A1E=A1D,AF=AC,则( )
A.EF至多与A1D,AC之一垂直
B.EF⊥A1D,EF⊥AC
C.EF与BD1相交
D.EF与BD1异面
【答案】B
【解析】建立分别以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴的空间直角坐标系(图略),不妨设正方体的棱长为1,则=(1,0,1),=(-1,1,0),E(,0,
)
,F(,0
)
,=(
,-
)
,∴=0,=0,∴EF⊥A1D,EF⊥AC.又=(-1,-1,1),∴=-3,即EF与BD1平行.
5.在底面为锐角三角形的直三棱柱中,是棱的中点,记直线与直线所成角为,直线与平面所成角为,二面角的平面角为,则(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】由题可知,直三棱柱的底面为锐角三角形,是棱的中点,
设三棱柱是棱长为的正三棱柱,以为原点,在平面中,过作的垂线为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,
则,,,,,,,,直线与直线所成的角为,,
,直线与平面所成的角为,,
平面的法向量,,,
设平面的法向量,则,取,得,二面角的平面角为,由图可知,为锐角,即,
,,由于在区间上单调递减,,则.故选:A.
6.(多选题)(2020苏州大学附中学高二月考)如图,在棱长为1的正方体中,分别为棱的中点.为面对角线上任一点,则下列说法正确的是(
)
A.平面内存在直线与平行
B.平面截正方体所得截面面积为
C.直线和所成角可能为60°
D.直线和所成角可能为30°
【答案】BC
【解析】对于选项A,在正方体中,,在平面中,直线相交,所以直线与平面相交,故直线与平面相交,则平面不存在直线与平行,所以选项A错误;对于选项B,连接分别为棱的中点,
所以,在正方体中,,所以,连,则梯形为所求的截面,,所以等腰梯形的高为,所以梯形的面积为,选项B正确;对于选项C,D,以为坐标原点,所在的直线分别为轴,建立空间直角坐标系,,设,
,,
,令,,
,,而,直线和所成角可能为60°,但不可能为30°,选项C正确,选项D错误.故选:BC.
二、填空题
7.给出下列命题:①若为共面向量,则所在的直线平行;②若向量所在直线是异面直线,则一定不共面;③平面的法向量不唯一,但它们都是平行的;④平行于一个平面的向量垂直于这个平面的法向量.其中正确命题的个数为________.
8.如图,正四棱柱的底面边长为4,记,,若,则此棱柱的体积为______.
【答案】
【解析】建立如图所示空间直角坐标系,
设,又,则,,,,
,,,,即.
此棱柱的体积为.
9.已知正四棱锥P-ABCD的侧棱与底面所成角为60°,M为PA中点,连接DM,则DM与平面PAC所成角的大小是________.
【答案】45°
【解析】设底面正方形的边长为a,由已知可得正四棱锥的高为a,
建立如图所示空间直角坐标系,
则平面PAC的法向量为,D,,
P,M,=,
所以==,所以DM与平面PAC所成角为45°.
三、解答题
10.如图所示,四边形ABCD是直角梯形,∠ABC=∠BAD=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=2,AD=1.
(1)求SC与平面ASD所成角的余弦值;
(2)求平面SAB和平面SCD夹角的余弦值.
【解析】
(1)建立如图所示的空间直角坐标系,S(0,0,2),C(2,2,0),D(1,0,0),=(2,2,-2),∵AB⊥平面SAD,故平面ASD的一个法向量为=(0,2,0),设SC与平面ASD所成的角为θ,则sin
θ=|cos<>|=,故cos
θ=,即SC与平面ASD所成角的余弦值为.
(2)平面SAB的一个法向量为m=(1,0,0),∵=(2,2,-2),=(1,0,-2),设平面SCD的一个法向量为n=(x,y,z),由令z=1可得平面SCD的一个法向量为n=(2,-1,1),设平面SAB和平面SCD的夹角为α,则cos
α=,即平面SAB和平面SCD夹角的余弦值为.
11.如图,在圆锥SO中,A,B是上的动点,是的直径,M,N是SB的两个三等分点,,记二面角,的平面角分别为,,若,则的最大值为?
【分析】本题考查了空间直角坐标系在求二面角中的综合应用,涉及空间向量的数量积及及其坐标表示,平面的法向量、空间向量的夹角等,属于中档题.
根据题意,设底面圆的半径为r,,以所在直线为x轴,以垂直于所在直线为y轴,以OS所在直线为z轴建立空间直角坐标系,设平面NOA的法向量为,平面的法向量为,根据,求得平面的法向量,结合可得,即可求解.
【解答】解:设底面圆的半径为r,,以所在直线为x轴,以垂直于所在直线为y轴,以OS所在直线为z轴建立空间直角坐标系如下图所示:
则由,可得0,,0,,0,,,0,,
M,N是SB的两个三等分点,则0,,0,,
所以,0,,
设平面NOA的法向量为,
则代入可得,
化简可得,
令,解得,,
所以,
平面OAB的法向量为0,,
由图可知,二面角的平面角为锐二面角,
所以二面角的平面角满足,
,
设平面的法向量为,
,,
则
代入可得,
化简可得,
令,解得,,
所以,
平面的法向量为0,,
由图可知,二面角的平面角为锐二面角,
所以二面角的平面角满足,
,
由二面角的范围可知,
结合余弦函数的图象与性质可知,
即,
化简可得,且,
所以,
所以的最大值是,