2.2直线的方程
一、单选题
1．已知点?，则线段的垂直平分线的方程是（
）
A．
B．
C．
D．
2．不论为何实数，直线恒过定点（
）
A．
B．
C．
D．
3．设，则“”是“直线直线平行”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不允分又不必要条件
4．在中，设分别是角所对的边长，且直线与垂直，则一定是（
）
A．等边三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等腰直角三角形
5．已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．或
二、填空题
6．过点作一直线，使它夹在两直线：与：之间的线段恰被点平分，则此直线的方程为______.
7．已知直线，和两点，给出如下结论其中真命题的序号是________
①当变化时，与分别经过定点和；
②不论为何值时，与都互相垂直；
③如果与交于点，则的最大值是2；
④为直线上的点，则的最小值是．
三、解答题
8．△ABC的三个顶点分别为A（0，4）、B（﹣2，6）、C（﹣8，0）
（1）求边AC和AB所在直线的方程
（2）求边AC上的中线BD所在的直线的方程．
9．在平面直角坐标系内，已知点.
（1）求线段的中垂线方程：（最后的结果写成的形式）
（2）若点在直线上，且，求直线的方程.（最后的结果写成的形式）
试卷第1页，总3页2.2直线的方程
一、单选题
1．已知点?，则线段的垂直平分线的方程是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】求出中点坐标，再求出直线斜率可得中垂线斜率，从而得直线方程．
由题意线段的中点为，又，
所以线段中垂线方程为，即．
故选：C．
2．不论为何实数，直线恒过定点（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】将直线方程变形为,即可求得过定点坐标.
根据题意,将直线方程变形为
因为位任意实数,则,解得
所以直线过的定点坐标为
故选:C
3．设，则“”是“直线直线平行”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不允分又不必要条件
【答案】A
【解析】利用充分不必要条件的定义判断即可.
当时，，，此时.
所以“”是“”的充分条件.
当时，则有，解得或，
若，则；若，则.
所以“”推不出“”即“”是“”的不必要条件.
故“”是“直线直线平行”的充分不必要条件.
故选：A.
4．在中，设分别是角所对的边长，且直线与垂直，则一定是（
）
A．等边三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等腰直角三角形
【答案】C
【解析】本题首先可以结合角是的内角排除两条直线一条平行于轴、一条平行于轴的情况，然后根据两直线垂直得出，最后结合正弦定理边角互化以及两角差的正弦公式即可得出结果.
当，时，两直线方程为、，相互垂直，
因为角是的内角，所以与不可能同时为，故排除这种情况，
因为直线与垂直，
所以，
即，，，
故一定是等腰三角形，
故选：C.
5．已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．或
【答案】D
【解析】由直线系方程求出直线所过定点，再由两点求斜率，求得定点与线段两端点连线的斜率，数形结合求得实数的取值范围．
解：由直线可知直线过定点，且斜率为，
又，，如图，
，．
直线和以，为端点的线段相交，
则的取值范围为．
的取值范围是：，，．
故选：D.
二、填空题
6．过点作一直线，使它夹在两直线：与：之间的线段恰被点平分，则此直线的方程为______.
【答案】
【解析】设出、其中一点坐标，结合中点坐标公式表示另一点坐标，代入直线方程求出、两点坐标，进而计算此直线方程.
设过点的一条直线为，与和分别交于点，则点关于点对称.
设，则.
将点坐标代入直线:
可得，解得.
则，所以直线方程的斜率为.
所以此直线方程为，整理后即为.
故答案为：
7．已知直线，和两点，给出如下结论其中真命题的序号是________
①当变化时，与分别经过定点和；
②不论为何值时，与都互相垂直；
③如果与交于点，则的最大值是2；
④为直线上的点，则的最小值是．
【答案】①②④
【解析】根据直线方程的形式可以得到它们各自经过的定点以及两条直线是相互垂直的，故可判断①②正确，又可判断在一个定圆上，从而可求的最大值为，故③错误，求出点关于直线的对称点后可求的最小值，从而可判断④正确与否．
因为直线的方程为即，故该直线过，
同理直线过，所以当变化时，与分别经过定点和，①正确．
因为，故直线与垂直，故②正确.
因为直线与垂直，故，
所以，
根据基本不等式有，故，
当且仅当时等号成立，故③错误.
设点关于直线的对称点为，则，故，
所以，
当且仅当三点共线时等号成立，故④正确.
故答案为：①②④.
三、解答题
8．△ABC的三个顶点分别为A（0，4）、B（﹣2，6）、C（﹣8，0）
（1）求边AC和AB所在直线的方程
（2）求边AC上的中线BD所在的直线的方程．
【答案】（1）边AC所在直线的方程为x﹣2y+8=0，边AB所在直线的方程为x+y﹣4=0；（2）2x﹣y+10=0
【解析】（1）由于A、C两点分别在y轴和x轴，由直线方程的截距式列式，化简可得AC所在直线的方程；再由A、B的坐标，利用直线方程的两点式列式，化简即可得出AB所在直线的方程；
（2）利用线段中点坐标公式，算出AC的中点D坐标为（﹣4，2），利用直线方程的两点式列式，化简即可得出AC上的中线BD所在直线的方程．
（1）∵A（0，4），C（﹣8，0），
∴直线AC的截距式方程得：，化简得x﹣2y+8=0
∵B（﹣2，6），A（0，4）
∴由直线的两点式方程，得AB方程为，即x+y﹣4=0
综上所述，边AC所在直线的方程为x﹣2y+8=0，
边AB所在直线的方程为x+y﹣4=0
（2）设点D（x，y），由线段的中点坐标公式，
可得，
∴AC中点D坐标为（﹣4，2）
再由直线的两点式方程，
得BD所在直线的方程为，
化简得2x﹣y+10=0，即为所求边AC上的中线BD所在的直线的方程．
9．在平面直角坐标系内，已知点.
（1）求线段的中垂线方程：（最后的结果写成的形式）
（2）若点在直线上，且，求直线的方程.（最后的结果写成的形式）
【答案】（1）
（2）或
【解析】（1）求出的中点和斜率后可求的中垂线方程.
（2）利用求出的坐标后可求直线的方程.
（1）的中点为，斜率为，故中垂线的斜率为
所以中垂线的方程为即.
（2）因为，所以.
若，则，故
，
故，故直线即.
若，则，故
，
故，故直线即.
故直线的方程为：或.
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