2.4圆的方程
一、单选题
1．以为圆心，且与两条直线，都相切的圆的标准方程为（
）
A．
B．
C．
D．
2．圆的圆心坐标及半径分别是（
）．
A．，
B．，
C．，
D．，
3．已知定点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是（
）
A．
B．
C．
D．
4．已知，，为单位圆上的三点，有，，则（
）
A．0
B．
C．2
D．3
5．已知圆，圆，、分别是圆、上动点，是轴上动点，则的最大值是(
)
A．
B．
C．
D．
6．若圆与轴，轴均有公共点，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
7．如图，正方形ABCD内接于圆，M,N分别为边AB,BC的中点，已知点，当正方形ABCD绕圆心O旋转时，的取值范围是(
)
A．
B．
C．
D．
二、填空题
8．圆心在轴上，且与直线和都相切的圆的方程为______.
9．已知圆，则圆的半径为______，若为圆上任意一点，则的最小值是______．
10．在平画直角坐标系中，直线交圆所得弦的中点为，为圆上任意一点，则长的取值范围是________.
三、解答题
11．已知点，圆.
（1）若直线过点且到圆心的距离为，求直线的方程；
（2）设过点的直线与圆交于、两点（的斜率为负），当时，求以线段为直径的圆的方程.
12．已知直线与轴相交于点，点坐标为，过点作直线的垂线，交直线于点．记过、、三点的圆为圆．
（1）求圆的方程；
（2）求过点与圆相交所得弦长为的直线方程．
试卷第1页，总3页2.4圆的方程
一、单选题
1．以为圆心，且与两条直线，都相切的圆的标准方程为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意有，再求解即可.
解：设圆的半径为，则，
则，
即圆的标准方程为，
故选：C.
2．圆的圆心坐标及半径分别是（
）．
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】A
【解析】
由圆得：，
∴圆的圆心坐标为，
半径为．
故选．
3．已知定点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设再表达出的坐标代入圆方程化简即可.
【详解】
设,则满足.故
.故.
又点在圆上.故.
故选：C
4．已知，，为单位圆上的三点，有，，则（
）
A．0
B．
C．2
D．3
【答案】B
【解析】根据题意，可知原点既是△的外心，又是△的重心，得到△是正三角形，取特殊点即可求得结果.
【详解】
因为，，为单位圆上的三点，
所以原点是△的外心，
又因为，，
所以原点是△的重心，
所以△是正三角形，
该题为选择题，可以用特殊点来求解，
取，
此时，
故选：B.
5．已知圆，圆，、分别是圆、上动点，是轴上动点，则的最大值是(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】作出图形，由，，得出，利用、、三点共线可得出的最大值.
【详解】
如下图所示：
圆的圆心，半径为，圆的圆心，半径为，
，
由圆的几何性质可得，，
，
当且仅当、、三点共线时，取到最大值.
故选：D.
6．若圆与轴，轴均有公共点，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】将圆的方程化为标准方程，根据题意得出关于的不等式组，即可解得实数的取值范围.
【详解】
将圆的方程化为标准方程得，由于该圆与轴、轴均有公共点，
则，解得，因此，实数的取值范围是.
7．如图，正方形ABCD内接于圆，M,N分别为边AB,BC的中点，已知点，当正方形ABCD绕圆心O旋转时，的取值范围是(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设，且，用表示出向量的结果，然后利用三角函数的性质可求得范围.
【详解】
如图所示：
连接OM，由题意圆的半径为，则正方形的边长为2，可得，，设，且，所以由，由，可得，所以，则.
故选：C.
二、填空题
8．圆心在轴上，且与直线和都相切的圆的方程为______.
【答案】
【解析】设所求圆的方程为，根据圆与直线、都相切可求得、的值，由此可得出所求圆的方程.
【详解】
设所求圆的方程为，
因为圆与直线和都相切，则，
解得，，所以圆的方程为.
故答案为：.
9．已知圆，则圆的半径为______，若为圆上任意一点，则的最小值是______．
【答案】
【解析】将圆的方程配成标准方程，可得出圆的半径，令，可知直线与圆有公共点，利用圆心到该直线的距离小于等于半径，可得出关于的不等式，可求得的取值范围，由此可得出的最小值.
【详解】
因为，所以有，所以可知该圆的半径为．
设，则直线与圆有公共点，
所以，，解得.
因此，的最小值为.
故答案为：；.
10．在平画直角坐标系中，直线交圆所得弦的中点为，为圆上任意一点，则长的取值范围是________.
【答案】
【解析】求出点的轨迹方程，然后利用圆的几何性质可求得长的取值范围.
【详解】
直线的方程为，可知直线过定点，
，点在圆上，
设点、，设点为线段的中点，
则，得，
因为点在圆上，所以有，
即点的轨迹为圆，去掉定点，
而，
所以，
则.
因此，的取值范围是.
故答案为：.
三、解答题
11．已知点，圆.
（1）若直线过点且到圆心的距离为，求直线的方程；
（2）设过点的直线与圆交于、两点（的斜率为负），当时，求以线段为直径的圆的方程.
【答案】（1）或；（2）.
【解析】（1）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，利用圆心到直线的距离等于2可求得直线的方程；
（2）先通过点到直线的距离及勾股定理可解得直线的斜率，然后将直线的方程与圆的方程联立，求出线段的中点，作为圆心，并求出所求圆的半径，进而可得出所求圆的方程.
【详解】
（1）由题意知，圆的标准方程为，圆心，半径，
①当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
则圆心到直线的距离为，.
直线的方程为；
②当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
此时圆心到直线的距离为，符合题意.
综上所述，直线的方程为或；
（2）依题意可设直线的方程为，即，
则圆心到直线的距离，
，解得或，
又，，直线的方程为即，
设点、，联立直线与圆的方程得，
消去得，，
则线段的中点的横坐标为，把代入直线中得，
所以，线段的中点的坐标为，
由题意知，所求圆的半径为：，
以线段为直径的圆的方程为：.
12．已知直线与轴相交于点，点坐标为，过点作直线的垂线，交直线于点．记过、、三点的圆为圆．
（1）求圆的方程；
（2）求过点与圆相交所得弦长为的直线方程．
【答案】（1）；（2）或.
【解析】（1）根据题意，由直线的方程求出的坐标，分析可得圆是以为直径的圆，求出圆心与半径，结合圆的标准方程分析可得答案；
（2）根据题意，设要求直线为，计算出圆心到直线的距离为，分两种情况讨论：①直线的斜率存在，可得出直线的方程为，验证即可；②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，利用圆心到直线的距离求出的值.综合可得出所求直线的方程.
【详解】
（1）根据题意，直线与轴相交于点，则，
又由，则，
则圆是以为直径的圆，其圆心，半径，
因此，圆的方程为；
（2）直线的方程为，联立，解得，即点.
设要求直线为，且与圆的交点为、，
圆心到直线的距离，
分两种情况讨论：
①当直线的斜率不存在，则的方程为，
易得圆心到直线的距离为，符合题意；
②当直线的斜率不存在，设直线的方程为，即，
若圆心到直线的距离为，则有，解得，
则此时直线的方程为.
综上所述，所求直线的方程为或.
试卷第1页，总3页
