2.3直线的交点坐标与距离公式
一、单选题
1．圆的圆心到直线的距离为（
）
A．
B．
C．
D．
2．若三条直线，和相交于一点，则（
）
A．
B．
C．
D．
3．已知点P，Q分别在直线与直线上，且，点，，则的最小值为（）．
A．
B．
C．
D．
4．已知两点，，动点在直线上运动，则的最小值为（
）
A．
B．
C．4
D．5
5．是抛物线上一点，是圆关于直线的对称圆上的一点，则最小值是（
）
A．
B．
C．
D．
6．已知平面四边形满足，，，则的长为（
）
A．2
B．
C．
D．
二、填空题
7．在平面直角坐标中，已知、、，平面内的点满足，则点的坐标为_______．
8．已知点在抛物线上,则点与点之间的距离为______.
9．过直线与直线的交点，且到点距离为的直线方程为__________________.
三、解答题
10．已知点△三顶点坐标分别是，
（1）求A到BC边的距离d；
（2）求证AB边上任意一点P到直线AC,BC的距离之和等于d.
11．已知为实数，设直线的方程为，直线的方程为.
（1）若与平行，求的值；
（2）当与相交时，用表示交点的坐标，并说明点一定在某一条定直线上.
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一、单选题
1．圆的圆心到直线的距离为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】求出圆心的坐标，将直线方程表示为一般方程，然后利用点到直线的距离公式可计算出结果.
圆的标准方程为，圆心的坐标为，
直线的一般方程为，所以，圆心到直线的距离为.
故选：B.
2．若三条直线，和相交于一点，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】求出直线与直线的交点坐标，再将交点坐标代入直线的方程中，可求得实数的值.
联立，解得，即直线与直线交于点，
将点的坐标代入直线的方程中，得，解得.
故选：B.
3．已知点P，Q分别在直线与直线上，且，点，，则的最小值为（）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设，则四边形为平行四边形，故而就是的最小值，又的最小值就是.
因为，故，
，故，所以，
又，所以，故四边形为平行四边形，
，
因为，当且仅当三点共线时等号成立，
的最小值为，选B.
4．已知两点，，动点在直线上运动，则的最小值为（
）
A．
B．
C．4
D．5
【答案】B
【解析】根据题意画出图形，结合图形求出点关于直线的对称点，则即为的最小值.
根据题意画出图形，如图所示：
设点关于直线的对称点，
连接，则即为的最小值，且.
故选：.
5．是抛物线上一点，是圆关于直线的对称圆上的一点，则最小值是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】求出点关于直线的对称点的坐标，进而可得出圆关于直线的对称圆的方程，利用二次函数的基本性质求出的最小值，由此可得出，即可得解.
如下图所示：
设点关于直线的对称点为点，
则，整理得，解得，即点，
所以，圆关于直线的对称圆的方程为，
设点，则，
当时，取最小值，因此，.
故选：C.
6．已知平面四边形满足，，，则的长为（
）
A．2
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】先建系，再结合两点的距离公式、向量的数量积及模的运算，求解即可得解.
解：建立如图所示的平面直角坐标系，则,
设，由，
则，所以，
又，所以，
，
即，
故选：B.
二、填空题
7．在平面直角坐标中，已知、、，平面内的点满足，则点的坐标为_______．
【答案】
【解析】设点的坐标为，根据条件建立有关、的方程组，解出这两个未知数的值，即可求得点的坐标.
设点的坐标为，由可得，解得，
因此，点的坐标为.
故答案为：.
8．已知点在抛物线上,则点与点之间的距离为______.
【答案】
【解析】首先将代入解得，再用两点之间距离公式求距离即可.
将代入解得：，即.
.
故答案为：
9．过直线与直线的交点，且到点距离为的直线方程为__________________.
【答案】或
【解析】
求得直线与的交点坐标，对所求直线的斜率是否存在进行分类讨论，结合点到所求直线的距离为可求得所求直线的方程.
由，得，所以，直线与的交点为.
当所求直线的斜率不存在时，所求直线的方程为，点到该直线的距离为，不合乎题意；
当所求直线的斜率存在时，设所求直线的方程为，即，
由于点到所求直线的距离为，可得，
整理得，解得或.
综上所述，所求直线的方程为或.
故答案为：或.
三、解答题
10．已知点△三顶点坐标分别是，
（1）求A到BC边的距离d；
（2）求证AB边上任意一点P到直线AC,BC的距离之和等于d.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】(1)先由BC两点坐标求出过点B和C的直线方程，然后由点到直线的距离公式即可求得答案；
(2)由AC两点坐标求出过点A和C的直线方程，然后由点到直线的距离公式分别求出P点到直线AC和BC的距离，再求和即可得出结果进而证明结论.
（1）由题意坐标B(1,0)，C(0,2)所以由截距式可得直线BC的方程为：，即，由点到直线的距离公式可得A到BC边的距离；
（2）设，∵直线AC的方程是，即-
∴则P到直线AC的距离为
则P到直线BC的距离为，∴.
即AB边上任意一点P到直线AC，BC的距离之和等于.
11．已知为实数，设直线的方程为，直线的方程为.
（1）若与平行，求的值；
（2）当与相交时，用表示交点的坐标，并说明点一定在某一条定直线上.
【答案】（1）；（2），证明见解析.
【解析】（1）由两直线平行的等价条件可得出关于实数的方程，即可解出实数的值；
（2）将两直线方程联立可求得交点的坐标，然后令，，消去参数得出关于、的二元一次方程，即可证得结论.
（1）与平行，则，解得；
（2）联立，解得，，所以点，
，即.
因此，点在直线上.
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