2.5直线与圆、圆与圆的位置关系
一、单选题
1．在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆有公共点，则的最小值是（
）
A．
B．
C．
D．
2．直线与圆
在第一象限内有两个不同的交点，则
的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
3．直线与圆相交于、两点，若，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
4．已知圆，过轴上的点存在圆的割线，使得，则的取值范围（
）
A．
B．
C．
D．
5．如图，圆与轴相切于点，与轴正半轴交于两点、（在的上方），且，过点任作一条直线与圆相交于、两点，的值为（
）
A．2
B．3
C．
D．
二、填空题
6．已知圆：，（）与圆：，（）只有一条公切线，则的最小值为______.
7．曲线与直线有两个交点，则实数的取值范围是______．
8．一条光线从点射出，经直线反射，其反射光线所在直线与圆相切，则反射光线所在的直线方程为______________．
三、解答题
9．已知圆满足方程：；，为两个定点．
（1）若直线经过点，且与圆相交所得的弦长为，求直线的方程；
（2）已知点为圆上的点，满足，求出点的坐标．
10．已知直线：，圆：.
（1）平行于的直线与圆相切，求直线的方程；
（2）直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，求的面积的取值范围.
11．在平面直角坐标系中，直线与圆相切，圆心的坐标为．
（1）求圆的方程；
（2）设直线与圆没有公共点，求的取值范围；
（3）设直线与圆交于、两点，且，求的值．
试卷第1页，总3页2.5直线与圆、圆与圆的位置关系
一、单选题
1．在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆有公共点，则的最小值是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】化圆的方程为，求出圆心与半径，由题意，只需与直线有公共点即可．
【详解】
解：圆的方程为，整理得：，即圆是以为圆心，1为半径的圆；
又直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，
只需圆与直线有公共点即可．
设圆心到直线的距离为，
则，即，
．
的最小值是．
故选：．
2．直线与圆
在第一象限内有两个不同的交点，则
的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】求出直线过时的值，以及直线与圆相切时的值，即可确定出满足题意的范围．
【详解】
解：如图所示：
当直线过时，将代入直线方程得：；
当直线与圆相切时，圆心到切线的距离，即，
解得：或（舍去），
则直线与圆在第一象限内有两个不同的交点时，的范围为．
故选：．
3．直线与圆相交于、两点，若，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】根据，由弦长公式得，圆心到直线的距离小于或等于，从而可得关于的不等式，即可求得结论.
【详解】
，设圆心到直线的距离为，则，
，，解得.
故选：B.
4．已知圆，过轴上的点存在圆的割线，使得，则的取值范围（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】利用割线定理得，再根据，列出关于的关系式，利用求解即可.
【详解】
由题意得圆的圆心坐标为，半径，如图所示：
连接，交圆分别点，易证△∽△
则，
因为，故，，
所以，
又，
所以，
解得.
故选：D.
5．如图，圆与轴相切于点，与轴正半轴交于两点、（在的上方），且，过点任作一条直线与圆相交于、两点，的值为（
）
A．2
B．3
C．
D．
【答案】C
【解析】本题首先可以取的中点并连接、，根据点以及求出圆的标准方程为，然后求出、两点坐标，再然后设点，通过两点间距离公式求出，最后通过相同的方式得出，即可求出的值.
【详解】
因为圆与轴相切于点，所以圆心的横坐标为，
如图，取的中点，连接、，
因为，点是弦的中点，所以，，
则，，
圆的半径，
故，圆的标准方程为，
联立，解得，，，
设点，则，
，
同理可得，
故，
故选：C.
二、填空题
6．已知圆：，（）与圆：，（）只有一条公切线，则的最小值为______.
【答案】
【解析】由圆的方程求出圆心坐标及半径，再根据两个圆只有一条公切线可得两圆内切，即圆心距等于两个半径之差，进而可得，设，根据三角函数的范围求出的最小值．
【详解】
圆：的圆心坐标，半径，
圆的圆心，半径，
由两个圆只有一条公切线可得两个圆内切，圆心距，
所以可得，
设，，
所以，
当且仅当时，
即时，的最小值为.
故答案为：．
7．曲线与直线有两个交点，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】化简式子可得，作出图形，然后求出直线与该半圆相切时的，依据图形，简单计算和判断可得结果.
【详解】
由题可知：，所以
如图
又直线，即过定点
当直线与半圆相切时，则
当直线过点时，
所以
故答案为：
8．一条光线从点射出，经直线反射，其反射光线所在直线与圆相切，则反射光线所在的直线方程为______________．
【答案】，
【解析】由光学的性质可知，点点关于直线的对称点为在反射线所在的直线上，当斜率存在时，设出直线方程，然后利用点到直线的距离等于半径求出斜率，再讨论斜率不存在的情况，即可得到结果.
【详解】
解：点关于直线的对称点为，
当反射光线所在的直线斜率存在时，
设反射光线所在直线的方程为：，化为．
反射光线与圆相切，
圆心到直线的距离，
化为；
．此时直线方程为：．
当斜率不存在时：直线的方程为与圆相切；
反射光线所在的直线方程为：，．
故答案为：，
三、解答题
9．已知圆满足方程：；，为两个定点．
（1）若直线经过点，且与圆相交所得的弦长为，求直线的方程；
（2）已知点为圆上的点，满足，求出点的坐标．
【答案】（1）或，（2）或
【解析】（1）先把圆方程化为标准方程，求出圆心和半径，当直线的斜率不存在时，恰好满足题意，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，利用弦长，半径，弦心距的关系先求出圆心到直线的距离，然后利用点到直线的距离公式列方程可求斜率的值，从而可得直线方程；
（2）由，可得，而点为圆上的点，则有，两方程联立可求出点的坐标．
解：（1）由得，则圆心，半径为2，
当直线的斜率不存在时，即直线的方程为，圆心到直线的距离为1，而圆的半径为2，则直线被圆所截的弦长恰好为，所以直线满足题意，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
因为圆的半径为2，直线被圆所截得弦长为，
所以圆心到直线的距离为，
所以，解得，直线的方程为，即，
综上，直线的方程为或，
（2）因为，所以，
所以
整理得，，①
因为点为圆上的点，
所以，②
①-
②得，即代入①得，
，解得或，
所以或，
所以点的坐标为或
10．已知直线：，圆：.
（1）平行于的直线与圆相切，求直线的方程；
（2）直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，求的面积的取值范围.
【答案】（1）或；（2）.
【解析】（1）本小题利用直线与圆相切即是建立方程解题即可.
（2）本小题利用圆上的点到直线的距离的范围来判断面积的取值范围，再解题即可.
解：（1）∵
∥，∴
设直线：，
∵
与圆相切，∴
圆心到直线的距离等于，
∴
，解得：或，
∴
直线：或
（2）∵
直线分别与轴、轴交于、两点，
∴
、，则
又圆心到直线的距离，
∴
即，
∴
∴
的面积的取值范围：.
11．在平面直角坐标系中，直线与圆相切，圆心的坐标为．
（1）求圆的方程；
（2）设直线与圆没有公共点，求的取值范围；
（3）设直线与圆交于、两点，且，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
或．
【解析】（1）利用直线和圆相切可求圆的半径，从而得到圆的标准方程.
（2）利用圆心到直线的距离大于半径可求的取值范围.
（3）设，由可得，联立直线方程和圆的方程，消去后利用韦达定理化简得到一个与有关的方程，解方程后可求的值.
解：（1）设圆的方程是（为圆的半径），
∵为圆心的圆与直线相切，
∴所求圆的半径，
∴所求的圆方程是．
（2）圆心到直线的距离
∵与圆没有公共点，
∴即，解得．
的取值范围为.
（3）设
消去，得到方程，
由已知可得，判别式，化简得，
①
由于，可得，
又，
得②
由①②得，故或，它们满足，
故或．
试卷第1页，总3页
