3.2双曲线
一、单选题
1．在平面直角坐标系中，若双曲线()经过点，则该双曲线的离心率是（
）
A．
B．
C．
D．2
【答案】C
【点拨】首先根据双曲线所过的点，代入求得，根据双曲线中的关系求得，进而求得双曲线的离心率.
【解析】
因为双曲线()经过点，
所以有，解得，即，
所以，
所以双曲线的离心率为，
故选：C.
2．若m为实数，则“”是“曲线C：表示双曲线”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【点拨】根据方程表示双曲线求出的范围，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解析】
解：若方程表示双曲线，
则，得，
由可以得到，故充分性成立；
由推不出，故必要性不成立；
则“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件，
故选：．
3．设双曲线的左?右焦点分别为,,若双曲线上存在一点,使,且,则双曲线的离心率为(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【点拨】根据双曲线的定义，结合，得到和，然后根据勾股定理，得到的关系，从而得到双曲线的离心率.
【解析】
因为点在双曲线上，且，
所以，
所以，，
因为，所以
即，
整理得，
所以离心率.
故选：C.
4．过点(2，－2)与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线的双曲线方程为(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【点拨】先设出所求双曲线的方程，利用已知双曲线的渐近线求得和的关系，然后把点代入双曲线方程求得，进而求得，则双曲线的方程可得．
【解析】
依题意可知所求双曲线的焦点在轴，
设出双曲线的方程为
根据已知曲线方程可知其渐近线方程为
把点代入得中求得
，
∴双曲线的方程为：，
故选：D．
5．双曲线的焦点坐标是（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】B
【点拨】根据双曲线方程确定焦点位置，再根据求焦点坐标.
【解析】
因为双曲线方程为，所以焦点坐标可设为，
因为，所以焦点坐标为，选B.
【点睛】
由双曲线方程可得焦点坐标为，顶点坐标为，渐近线方程为.
6．设F为双曲线C：（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为
A．
B．
C．2
D．
【答案】A
【点拨】准确画图，由图形对称性得出P点坐标，代入圆的方程得到c与a关系，可求双曲线的离心率．
【解析】
设与轴交于点，由对称性可知轴，
又，为以为直径的圆的半径，
为圆心．
，又点在圆上，
，即．
，故选A．
【点睛】
本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．
二、填空题
7．已知双曲线：的右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线于交、两点，若，则的离心率为__________．
【答案】
【解析】
如图所示，
由题意可得|OA|=a，|AN|=|AM|=b，
∵∠MAN=60°，
∴|AP|=b，
∴|OP|=．
设双曲线C的一条渐近线y=x的倾斜角为θ，则tan
θ=．
又tan
θ=，
∴，解得a2=3b2，
∴e=．
答案：
8．已知双曲线（）的两条渐近线与圆交于，，，四点，若四边形的面积为，则双曲线的渐近线方程为______.
【答案】
【点拨】设点的坐标为，联立圆与渐近线的方程求解，，再根据双曲线的对称性及四边形的面积求出，即可得出结论.
【解析】
解：设，在第一象限，联立，解得.
（其中），可知四边形为矩形，且根据双曲线的对称性，
可知.即，
解得或（舍去）.
故双曲线的渐近线方程为.
故答案为：.
9．已知双曲线的两条渐近线分别为直线，，经过右焦点且垂直于的直线分别交，于，两点，且，则该双曲线的离心率为______.
【答案】
【点拨】求出直线与渐近线的两个交点，根据向量关系得到的一个等量关系，从而可求离心率.
【解析】
双曲线的渐近线的方程为.
不妨设直线的方程为，
由可得，所以.
由可得，所以，
因为，故，
整理得到即，故，
故答案为：.
三、解答题
10．已知，分别是双曲线E：的左、右焦点，P是双曲线上一点，到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍，
求双曲线的渐近线方程；
当时，的面积为，求此双曲线的方程．
【答案】（1）（2）
【解析】
试题分析：（1）由到左顶点的距离等于它到渐近线距离的倍，根据点到直线距离公式可得，从而可得双曲线的渐近线方程；（2）由余弦定理，结合双曲线的定义可得，再根据的面积为，可得，得，从而可得结果.
试题解析：（1）因为双曲线的渐近线方程为，则点到渐近线距离为（其中c是双曲线的半焦距），所以由题意知，又因为，解得，故所求双曲线的渐近线方程是.
（2）因为，由余弦定理得，即．又由双曲线的定义得，平方得，相减得．
根据三角形的面积公式得，得．再由上小题结论得，故所求双曲线方程是.
11．设双曲线的方程为.
（1）设是经过点的直线，且和有且仅有一个公共点，求的方程；
（2）设是的一条渐近线，、是上相异的两点.若点是上的一点，关于点的对称点记为，关于点的对称点记为.试判断点是否可能在上，并说明理由.
【答案】（1）或或或；（2）点不可能在双曲线上，理由详见解析.
【点拨】（1）对所求直线分三种情况讨论：①轴，验证即可；②直线与双曲线相切，设出直线方程，与双曲线的方程联立，由求出直线的斜率，可得出直线的方程；③直线与双曲线的渐近线平行，可得出直线的方程.综合可得出所求直线的方程；
（2）假设点在双曲线上，设直线的方程为，设点、，，求出点、的坐标，再将点的坐标代入双曲线的方程验证即可得出结论.
【解析】
（1）①当直线的斜率不存在时，方程为，显然与双曲线相切，只有一个交点，符合题意，
②当直线的斜率存在且与双曲线相切时，设斜率为，
则直线的方程为，即，
联立方程，消去得，
直线和双曲线有且仅有一个公共点，，
化简得，解得，此时，直线的方程为，即；
③当直线与双曲线的渐近线平行时，也与双曲线有且仅有一个公共点，
双曲线的渐近线方程为，直线的斜率为，
所以，直线的方程为或，即或.
综上所述，直线的方程为或或或；
（2）假设点在双曲线上，
不妨设直线方程为，设点、、，
关于点的对称点记为，点，
关于点的对称点记为，点，
点在双曲线上，，
，
∴，
又点在双曲线上，，
上式化为，，，即，
，则，此式显然不成立，
故假设不成立，所以点不可能在双曲线上.
试卷第1页，总3页3.2双曲线
一、单选题
1．在平面直角坐标系中，若双曲线()经过点，则该双曲线的离心率是（
）
A．
B．
C．
D．2
2．若m为实数，则“”是“曲线C：表示双曲线”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．设双曲线的左?右焦点分别为,,若双曲线上存在一点,使,且,则双曲线的离心率为(
)
A．
B．
C．
D．
4．过点(2，－2)与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线的双曲线方程为(
)
A．
B．
C．
D．
5．双曲线的焦点坐标是（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
6．设F为双曲线C：（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为
A．
B．
C．2
D．
二、填空题
7．已知双曲线：的右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线于交、两点，若，则的离心率为__________．
8．已知双曲线（）的两条渐近线与圆交于，，，四点，若四边形的面积为，则双曲线的渐近线方程为______.
9．已知双曲线的两条渐近线分别为直线，，经过右焦点且垂直于的直线分别交，于，两点，且，则该双曲线的离心率为______.
三、解答题
10．已知，分别是双曲线E：的左、右焦点，P是双曲线上一点，到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍，
求双曲线的渐近线方程；
当时，的面积为，求此双曲线的方程．
11．设双曲线的方程为.
（1）设是经过点的直线，且和有且仅有一个公共点，求的方程；
（2）设是的一条渐近线，、是上相异的两点.若点是上的一点，关于点的对称点记为，关于点的对称点记为.试判断点是否可能在上，并说明理由.
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