3.1椭圆
一、单选题
1．已知椭圆的焦点在轴上，且焦距为4，则等于（）
A．4
B．5
C．7
D．8
【答案】D
【点拨】本题根据已知判断出，，再利用直接解题即可.
【解析】
解：∵
椭圆的焦点在轴上，
∴
，，
∵
焦距为4，
∴
即，
在椭圆中：即，解得：，
故选：D
2．设、，条件甲：，条件乙：，则条件甲是条件乙的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【点拨】
利用椭圆的有界性结合充分条件、必要条件的定义判断即可.
【解析】
充分性：由于，可得，得，同理可得，
所以，条件甲是条件乙的充分条件；
必要性：当，，取，，则，
所以，条件甲不是条件乙的必要条件.
综上所述，条件甲是条件乙的充分不必要条件.
故选：A.
3．已知椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数关系，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【点拨】求出椭圆的离心率，进而可得出双曲线的离心率，根据双曲线的离心率公式可得出关于的等式，即可解得正数的值.
【解析】
因为椭圆的离心率为，所以双曲线的离心率为，解得.
故选：B.
4．已知椭圆:的左、右焦点为，，若过点作倾斜角为的直线交椭圆于，，若，则椭圆的离心率为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【点拨】过两点向左准线作垂线，构造如图所示的直角梯形，利用椭圆的第二定义两次求得的值，从而得到关于离心率的方程，求解后可得正确的选项.
【解析】
如图，过作椭圆的左准线的垂线，垂足为，过作左准线的垂线，垂足为，
过作的垂线，垂足为，过作垂直于轴，垂足为.
设，则，设椭圆的离心率为，左准线与轴的交点为，
则，又，
故，同理，
所以，解得，
故选：A.
5．在平面直角坐标系中，已知椭圆，过左焦点倾斜角为的直线交椭圆上半部分于点，以，为邻边作平行四边形，若点在椭圆上，则椭圆的标准方程为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【点拨】由题可得AB//FO且AB=OF，根据
A，B关于y轴对称，以及直线AF的方程，可得A的坐标，将A的坐标代入椭圆的方程，及c=2，可得a，b的值，进而求出椭圆方程．
【解析】
由题可知：A，B关于y轴对称，，点横坐标为
如图
由直线AF的方程，所以纵坐标为
又点在椭圆上，所以①
由，则②
把②代入①，解得
故椭圆方程为：
故选：D
6．如图，过椭圆的左、右焦点分别作斜率为的直线交椭圆上半部分于两点，记的面积分别为，若，则椭圆离心率为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【点拨】作点B关于原点的对称点B1，根据面积比可得，然后椭圆方程与直线方程联立使用韦达定理，最后计算，可得结果.
【解析】
作点B关于原点的对称点B1，
如图
则有，所以①.
将直线方程，代入椭圆方程后，
由韦达定理解得②，③，
由①②③可得，又，所以
则离心率.
故选：A
7．已知椭圆的左、右焦点分别为、，右顶点为，上顶点为，以线段为直径的圆交线段的延长线于点，若且线段的长为，则该椭圆方程为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【点拨】推导出、是等腰直角三角形，可得出以及，可求出、的值，进而可求得的值，由此可得出该椭圆的方程.
【解析】
设椭圆的半焦距为，因为点在以线段为直径的圆上，所以.
又因为，所以.
又因为，所以是等腰直角三角形，于是也是等腰直角三角形，
，，，
得，解得，，得，
所以椭圆方程为.
故选：D.
二、填空题
8．抛物线与椭圆有公共的焦点，它们的一个交点为，且轴，则椭圆的离心率为__________．
【答案】
【点拨】设椭圆的左焦点为点，过点作垂直于抛物线的准线，垂足为点，连接，推导出四边形为正方形，可得出，进而可得出，再利用椭圆的定义可得出、的等量关系式，由此可求得椭圆的离心率.
【解析】
设椭圆的左焦点为点，过点作垂直与抛物线的准线，垂足为点，连接，
由抛物线的定义可得，
轴，轴，，则四边形为正方形，
，，
由椭圆的定义可得，即，
因此，椭圆的离心率为.
故答案为：.
9．给出下列五个命题：
①已知直线、和平面，若，，则；
②平面上到一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹是一条抛物线；
③双曲线，则直线与双曲线有且只有一个公共点；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直；
⑤过的直线与椭圆交于、两点，线段中点为，设直线斜率为，直线的斜率为，则等于.
其中，正确命题的序号为_______.
【答案】④⑤
【点拨】利用线面平行的判定定理可判断①的正误；结合抛物线的定义及条件可判断②的正误；利用双曲线渐近线的性质可判断③的正误；利用反证法结合线面垂直的定义可判断④的正误；利用点差法可判断⑤的正误.
【解析】
①线面平行的前提条件是直线，所以条件中没有，所以①错误；
②当定点位于定直线上时，此时点到轨迹为垂直于直线且以定点为垂足的直线，只有当点不在直线时，轨迹才是抛物线，所以②错误；
③因为双曲线的渐近线方程为，当直线与渐近线平行时直线与双曲线只有一个交点，当直线与渐近线重合时，没有交点，所以③错误；
④若，，，且与不垂直，
假设，由于，则，这与已知条件矛盾，假设不成立，则与不垂直，所以④正确；
⑤设、，中点，则，，
把，分别代入椭圆方程，
得，两式相减得，
整理得，即，所以⑤正确.
所以正确命题的序号为④⑤.
故答案为：④⑤.
三、解答题
10．已知椭圆：经过点，且离心率为.
（1）求椭圆的标准方程与焦距；
（2）直线：与椭圆的交点为，两点，线段的中点为.是否存在常数，使恒成立，并说明理由.
【答案】（1），焦距为；（2）存在常数，使恒成立，详见解析.
【点拨】（1）根据上顶点的坐标和离心率可得，从而可求标准方程和焦距.
（2）设，，联立直线方程和椭圆方程，消去后利用韦达定理化简可得，从而可得.
【解析】
（1）因为椭圆：经过点，且离心率为，
所以，，又因为，
可解得，，焦距为，所求椭圆的方程为.
（2）存在常数，使恒成立，
证明如下：
由，
得，，
设，，
则，.
又因为，，
所以
，
所以，
因为线段的中点为，所以，所以.
存在常数，使恒成立.
11．已知椭圆：（）的离心率为，直线交椭圆于、两点，椭圆左焦点为，已知．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线（，）与椭圆交于不同两点、，且定点满足，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【点拨】（1）由椭圆对称性得，可得的值，在根据离心率和椭圆的性质即可求出的值，进而求出椭圆方程；
（2）直线与椭圆方程联立得，由于直线与椭圆有两个交点，可得；由于，设中点为，可得，根据垂直斜率的关系，由此可推导出的取值范围．
【解析】
（1）∵设椭圆右焦点为，由椭圆对称性得，
∴．
又，∴，
∴，
∴椭圆的方程为．
（2）由消去整理得：，
∵直线与椭圆交于不同的两点，，
∴，
整理得．
设，，
则，
又设中点的坐标为，
∴，．
∵，
∴，即，
∴，
∴，解得，
∴实数的取值范围．
12．已知中心在原点的椭圆的左焦点为，与轴正半轴交点为，且.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点作斜率为、的两条直线分别交于异于点的两点、.证明：当时，直线过定点.
【答案】（1）；（2）见解析.
【点拨】（1）在中，计算出的值，可得出的值，进而可得出的值，由此可得出椭圆的标准方程；
（2）设点、，设直线的方程为，将该直线方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，根据已知条件得出，利用韦达定理和斜率公式化简得出与所满足的关系式，代入直线的方程，即可得出直线所过定点的坐标.
【解析】
（1）在中，，，，
，，，，
因此，椭圆的标准方程为；
（2）由题不妨设，设点，
联立，消去化简得，
且，，
，，，
∴代入，化简得，
化简得，
，，，
直线，因此，直线过定点.
试卷第1页，总3页3.1椭圆
一、单选题
1．已知椭圆的焦点在轴上，且焦距为4，则等于（）
A．4
B．5
C．7
D．8
2．设、，条件甲：，条件乙：，则条件甲是条件乙的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．已知椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数关系，则（
）
A．
B．
C．
D．
4．已知椭圆:的左、右焦点为，，若过点作倾斜角为的直线交椭圆于，，若，则椭圆的离心率为（
）
A．
B．
C．
D．
5．在平面直角坐标系中，已知椭圆，过左焦点倾斜角为的直线交椭圆上半部分于点，以，为邻边作平行四边形，若点在椭圆上，则椭圆的标准方程为（
）
A．
B．
C．
D．
6．如图，过椭圆的左、右焦点分别作斜率为的直线交椭圆上半部分于两点，记的面积分别为，若，则椭圆离心率为（
）
A．
B．
C．
D．
7．已知椭圆的左、右焦点分别为、，右顶点为，上顶点为，以线段为直径的圆交线段的延长线于点，若且线段的长为，则该椭圆方程为（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
8．抛物线与椭圆有公共的焦点，它们的一个交点为，且轴，则椭圆的离心率为__________．
9．给出下列五个命题：
①已知直线、和平面，若，，则；
②平面上到一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹是一条抛物线；
③双曲线，则直线与双曲线有且只有一个公共点；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直；
⑤过的直线与椭圆交于、两点，线段中点为，设直线斜率为，直线的斜率为，则等于.
其中，正确命题的序号为_______.
三、解答题
10．已知椭圆：经过点，且离心率为.
（1）求椭圆的标准方程与焦距；
（2）直线：与椭圆的交点为，两点，线段的中点为.是否存在常数，使恒成立，并说明理由.
11．已知椭圆：（）的离心率为，直线交椭圆于、两点，椭圆左焦点为，已知．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线（，）与椭圆交于不同两点、，且定点满足，求实数的取值范围．
12．已知中心在原点的椭圆的左焦点为，与轴正半轴交点为，且.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点作斜率为、的两条直线分别交于异于点的两点、.证明：当时，直线过定点.
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