3.3抛物线
一、单选题
1．已知双曲线与抛物线有公共焦点，到的一条渐近线的距离为，则双曲线方程为（
）
A．
B．
C．
D．
2．已知抛物线：的准线平分圆：的周长，则（
）
A．2
B．3
C．4
D．6
3．已知以抛物线E：的焦点为圆心，与的准线相切的圆交于两点，则（
）
A．2
B．4
C．
D．6
4．已知直线与抛物线交于，两点，的焦点在曲线上．若线段的中点到的距离为2，则到的准线距离的最大值为（
）
A．2
B．
C．4
D．
5．已知抛物线的焦点为，准线为，过焦点的直线与抛物线交于两点，满足，点在准线上的射影为，若的面积，则（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
6．已知为抛物线的焦点，、是抛物线上的不同两点，则下列条件中与“、、三点共线”等价的是（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
7．已知抛物线的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，若为边长是6的等边三角形，则此抛物线的方程为________.
8．已知O为坐标原点，抛物线上一点A到焦点的距离为4，若点M为抛物线C准线上的动点，且最小值为，则等于_______.
9．点是抛物线上第一象限内的一点，过点作圆：的两条切线，切点为，分别交轴于两点，给出以下命题：
①；
②若，则直线的方程是；
③若，则△的面积是；
④△的面积的最小值是32．
其中正确的命题是_____．（填上所有正确命题的序号）
三、解答题
10．已知抛物线
（1）若抛物线的焦点坐标为，求抛物线的标准方程；
（2）在（1）的条件下，直线与抛物线相交于，两点，若线段上有一点，满足，，使得，求的值.
11．已知为坐标原点，点，为坐标平面内的动点，且2，，成等差数列．
（1）求动点的轨迹方程；
（2）设点的轨迹为曲线，过点作直线交曲线于，两点，试问在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由．
试卷第1页，总3页3.3抛物线
一、单选题
1．已知双曲线与抛物线有公共焦点，到的一条渐近线的距离为，则双曲线方程为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【点拨】求得抛物线的焦点的坐标，可得出的值，利用双曲线的焦点到渐近线的距离为可求得的值，进而可求得的值，由此可得出双曲线的方程.
【解析】
抛物线，即抛物线的焦点为，即，
双曲线的渐近线方程为，即，
可得点到渐近线的距离为，，
因此，双曲线的方程为.
故选：A.
2．已知抛物线：的准线平分圆：的周长，则（
）
A．2
B．3
C．4
D．6
【答案】C
【点拨】由题意可得抛物线的准线过圆心，从而可求出的值.
【解析】
解：抛物线：的准线的方程为，
圆：的圆心，
因为抛物线：的准线平分圆：的周长，
所以准线过圆心，
所以，解得，
故选：C
3．已知以抛物线E：的焦点为圆心，与的准线相切的圆交于两点，则（
）
A．2
B．4
C．
D．6
【答案】B
【点拨】抛物线焦点，以为圆心的圆与抛物线准线相切，由抛物线定义及对称性知为抛物线通径.
【解析】
,
焦点，
以为圆心的圆与抛物线准线相切，由抛物线定义及对称性知为抛物线通径.
故选：B
4．已知直线与抛物线交于，两点，的焦点在曲线上．若线段的中点到的距离为2，则到的准线距离的最大值为（
）
A．2
B．
C．4
D．
【答案】B
【点拨】由化简变形得曲线是以为直径的圆,
线段的中点到的距离为2得到圆半径为2，从而得到，再利用基本不等式得最值.
【解析】
由则化简得
，
所以点在以为直径的圆上，
∴，∴，，
∴，当且仅当时等号成立
由抛物线的定义及由图可得到的准线的距离为
故最大值为．
故选：B
5．已知抛物线的焦点为，准线为，过焦点的直线与抛物线交于两点，满足，点在准线上的射影为，若的面积，则（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】A
【点拨】设点在准线上的投影分别为，的延长线交准线于点，利用三角形相似可得，从而得到，根据为等边三角形可求，再利用中位线可求的值.我们也可以利用抛物线定义求出直线的倾斜角与焦半径的关系，从而可求的值.
【解析】
如图，点在准线上的投影分别为，的延长线交准线于点A，
解法1：由抛物线的定义可设，，
由得，所以，
所以为等边三角形，面积为，故边长为2，故
因为，故为的中点，
所以到距离，
解法2：
不妨设PQ的倾斜角为锐角，如图（2），过作的垂线，垂足为，
则，，
故，故，
同理，
所以，所以，，
所以，所以为等边三角形，面积为，故边长为2，故，
解得.
故选：A.
6．已知为抛物线的焦点，、是抛物线上的不同两点，则下列条件中与“、、三点共线”等价的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【点拨】设直线的方程为，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，将韦达定理逐一代入各选项中的等式，求出的值，进而可得出结论.
【解析】
设直线的方程为，将直线的方程与抛物线的方程联立，
消去得，由韦达定理得，.
抛物线的焦点的坐标为，若、、三点共线，则.
对于A选项，，解得；
对于B选项，，解得；
对于C选项，，
整理得，即，解得；
对于D选项，，整理得，
解得或.
故选：B.
二、填空题
7．已知抛物线的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，若为边长是6的等边三角形，则此抛物线的方程为________.
【答案】
【点拨】由为等边三角形知|PM|=|PF|，可得PM垂直于准线，设点P坐标可得M坐标，由两点间的距离公式计算可得答案.
【解析】
因为为等边三角形，所以，由抛物线的定义可得PM垂直于抛物线的准线，设，则点，因为焦点，是等边三角形，
所以，解得.
因此抛物线方程为.
故答案为：
8．已知O为坐标原点，抛物线上一点A到焦点的距离为4，若点M为抛物线C准线上的动点，且最小值为，则等于_______.
【答案】4
【点拨】设原点关于准线的对称点，可知当与准线的交点为时，取到最小值，由A到焦点的距离用表示出的坐标，求出，利用勾股定理，列关于的方程，即可求出的值.
【解析】
解：设原点关于准线的对称点
，则，当与准线的交点为时，
取到最小值，此时，不妨设抛物线焦点为，由题意知，
到准线的距离为，设，则，所以，
因为在抛物线上，所以.
由做轴的垂线，垂足为，则，在中，由勾股定理可知，
，即，
整理得，，解得或.又因为当时，
，不符合题意，所以.
故答案为:4.
9．点是抛物线上第一象限内的一点，过点作圆：的两条切线，切点为，分别交轴于两点，给出以下命题：
①；
②若，则直线的方程是；
③若，则△的面积是；
④△的面积的最小值是32．
其中正确的命题是_____．（填上所有正确命题的序号）
【答案】①③④
【点拨】结合直线、抛物线、圆及三角形的有关性质，对四个命题逐个分析，可选出答案.
【解析】
点在抛物线上，则，
对于①，，所以，故①正确；
对于②，直线是以为直径的圆与圆的公共弦所在的直线，
的中点为，，
所以以为直径的圆的方程为，
当时，，代入可得，
圆的方程为，两圆的方程相减得直线的方程为，
故②错误；
对于③，设，，则，，，
圆为△的内切圆，其面积，
又因为，所以，
将代入，解得，
所以，故③正确；
对于④，由③得，
因为，当且仅当时，取等号，
所以，即，解得.
故△的面积的最小值是32，即④正确．
故答案为：①③④.
三、解答题
10．已知抛物线
（1）若抛物线的焦点坐标为，求抛物线的标准方程；
（2）在（1）的条件下，直线与抛物线相交于，两点，若线段上有一点，满足，，使得，求的值.
【答案】（1）；（2）1
【点拨】（1）根据交点坐标，则求得，则抛物线方程得解；
（2）根据已知条件，设出直线方程，联立抛物线方程，即可求得，再根据三角形中的几何关系，则问题得解.
【解析】
（1）因为抛物线焦点坐标为，故可得，解得，
故抛物线方程为：.
（2）根据题意，显然直线斜率存在，
故设直线方程为，设点，
因为，故可得；
又，故可得；
联立直线与抛物线方程可得：
，即，
设两点坐标为，
故可得；
又
故可得，
整理得，
，
即
，
由，可得，
故可得，也即三角形为直角三角形.
故.
11．已知为坐标原点，点，为坐标平面内的动点，且2，，成等差数列．
（1）求动点的轨迹方程；
（2）设点的轨迹为曲线，过点作直线交曲线于，两点，试问在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）（2）存在，定点
【点拨】（1）设，由题得，化简即得解；
（2）设的方程为，与联立得到韦达定理，再把韦达定理代入即得解.
【解析】
（1）设，由条件知，
所以．
两边平方得，，
所以（满足），
所以点的轨迹方程为．
（2）由题意知直线的斜率存在．设的方程为，与联立得，
，
所以，，．
又设，，，则
为定值，从而得，
所以存在定点，使得为定值．
试卷第1页，总3页
