空间向量与立体几何
一、单选题
1．点P(1，2，3）关于xOy平面的对称点的坐标为（
）
A．(－1，2，3)
B．(1，－2，－3)
C．(－1，－2，－3)
D．(1，2，－3)
2．若两条不重合直线和的方向向量分别为，，则和的位置关系是（
）
A．平行
B．相交
C．垂直
D．不确定
3．如图，，分别是四面体的边，的中点，是的中点，设，，，用，，表示，则
A．
B．
C．
D．
4．在长方体中，，，则直线与平面所成角的正弦值为
A．
B．
C．
D．
5．已知点B（2，﹣3，1），向量，则点A坐标是（ ）
A．（1，2，3）
B．（﹣1，2，3）
C．（﹣5，8，1）
D．（5，﹣8，﹣1）
6．若直线l的方向向量，平面β的法向量，则（ ）
A．l∥β
B．l?β
C．l⊥β
D．l与β相交但不垂直
7．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，AC1与BD1相交于点O，则有（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，AA1＝2，空间中存在一动点P满足||＝1，记I1，I2，I3，则（ ）
A．存在点P，使得I1＝I2
B．存在点P，使得I1＝I3
C．对任意的点P，有I1＞I2
D．对任意的点P，有I2＞I3
二、填空题
9．在空间直角坐标系中，已知点，，点在轴上，且到与到的距离相等，则的坐标是
。
10．如图，在四棱锥S－ABCD中，SA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，且AB＝4，SA＝3，E、F分别为线段BC、SB上的一点(端点除外)，满足＝λ，则当实数λ的值为________时，∠AFE为直角．
三、解答题
11.已知，
（1）若，求x的值；
（2）若，求x的值．
12.如图，边长为2的等边所在平面与菱形所在平面互相垂直，，M为线段AC的中点．
求证：平面平面；
求点C到平面的距离．空间向量与立体几何
一、单选题
1．点P(1，2，3）关于xOy平面的对称点的坐标为（
）
A．(－1，2，3)
B．(1，－2，－3)
C．(－1，－2，－3)
D．(1，2，－3)
【答案】D
【解析】点P(1，2，3）关于xOy平面的对称点的坐标为．
故选D．
2．若两条不重合直线和的方向向量分别为，，则和的位置关系是（
）
A．平行
B．相交
C．垂直
D．不确定
【答案】A
【解析】因为两条不重合直线和的方向向量分别为，，
所以，即与共线，
所以两条不重合直线和的位置关系是平行，
故选A
3．如图，，分别是四面体的边，的中点，是的中点，设，，，用，，表示，则
A．
B．
C．
D．
【分析】如图所示，连接．由，分别是四面体的边，的中点，是的中点，利用三角形法则、平行四边形法则即可得出．
【解答】解：如图所示，连接
，分别是四面体的边，的中点，是的中点，
，，，
．
故选：．
4．在长方体中，，，则直线与平面所成角的正弦值为
A．
B．
C．
D．
【分析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与平面所成角的正弦值．
【解答】解：在长方体中，，，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
，2，，，2，，，0，，，0，，
，0，，，2，，，0，，
设平面的法向量，，，
则，取，得，，，
设直线与平面所成角为，
则直线与平面所成角的正弦值为：
．
故选：．
5．已知点B（2，﹣3，1），向量，则点A坐标是（ ）
A．（1，2，3）
B．（﹣1，2，3）
C．（﹣5，8，1）
D．（5，﹣8，﹣1）
【解答】解：点B（2，﹣3，1），向量，
又，（2，﹣3，1），
所以（5，﹣8，﹣1），
则点A坐标是（5，﹣8，﹣1）．
故选：D．
6．若直线l的方向向量，平面β的法向量，则（ ）
A．l∥β
B．l?β
C．l⊥β
D．l与β相交但不垂直
【解答】解：∵直线l的方向向量，
平面β的法向量，
，
∴l⊥β．
故选：C．
7．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，AC1与BD1相交于点O，则有（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：如图所示，建立空间直角坐标系．D（0，0，0），A（a，0，0），B（a，a，0），
A1（a，0，a），C1（0，a，a），C（0，a，0），O．
A.（0，a，0），（﹣a，a，0），a2，正确．
B.（﹣a，a，a），∴?a2，因此不正确．
C.，∴，因此不正确．
D.（﹣a，a，0），（a，0，a），
∴?a2，因此不正确．
故选：A．
8．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，AA1＝2，空间中存在一动点P满足||＝1，记I1，I2，I3，则（ ）
A．存在点P，使得I1＝I2
B．存在点P，使得I1＝I3
C．对任意的点P，有I1＞I2
D．对任意的点P，有I2＞I3
【解答】解：如图所示建立如图所示的空间直角坐标系，以B1A1为x轴，B1C1为y轴，B1B为z轴，B1为坐标原点，由题意则B（0，0，2），A（4，0，2），D（4，3，2），C1（0，3，0），设P（x，y，z），
所以（﹣4，0，0），（x﹣4，y，z﹣2），（0，3，0），（﹣4，3，﹣2），（x，y，z），
因为满足||＝1，所以x2+y2+z2＝1，x∈[﹣1，1]，y∈[﹣1，1]，z∈[﹣1，1]，
∴I14（x﹣4），
∴I23y
∴I34（x﹣4）+3y﹣2（z﹣2），
I1﹣I2＝﹣4（x﹣4）﹣3y＝16﹣4x﹣3y＞0恒成立，故C正确，A不正确；
I1﹣I3＝﹣3y+2（z﹣2）＝﹣4﹣3y+2z＜0恒成立，所以B不正确，
I2﹣I3＝4（x﹣4）+2（z﹣2）＝﹣12+4x+2z＜0恒成立，所以D不正确；
故选：C．
二、填空题
9．在空间直角坐标系中，已知点，，点在轴上，且到与到的距离相等，则的坐标是
。
【答案】
【解析】设，由可得，故。
【点评】本题考查几何体的体积的求法，等体积法的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
【知识点】点、线、面间的距离计算
10．如图，在四棱锥S－ABCD中，SA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，且AB＝4，SA＝3，E、F分别为线段BC、SB上的一点(端点除外)，满足＝λ，则当实数λ的值为________时，∠AFE为直角．
【答案】
【解析】∵SA⊥面ABCD，∠BAD＝90°，故可建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz.
∵AB＝4，SA＝3，∴B(0,4,0)，S(0,0,3)．
设BC＝m，则C(m,4,0)，
∵＝λ，∴
＝λ
，
∴
∴F.同理，E，
∴
要使∠AFE＝90°，则，
又，
∴，
∴16λ＝9，∴λ＝.
三、解答题
11.已知，
（1）若，求x的值；
（2）若，求x的值．
【解答】解：（1）∵，∴存在实数λ使4＝2λ，2＝﹣λ，x＝3λ，∴λ＝﹣2，x＝﹣6．
（2），
，∴（﹣2）?1+1?（﹣x）+（3+x）?2＝0，∴x＝﹣4．
12.如图，边长为2的等边所在平面与菱形所在平面互相垂直，，M为线段AC的中点．
求证：平面平面；
求点C到平面的距离．
【分析】本题考查面面垂直的判断和性质，点到面的距离，属于中档题．
由题意可得平面，即可得证；
建立空间直角坐标系，利用空间向量即可得解．
【解答】解：四边形是菱形，，
又，，是等边三角形．
点M为线段AC的中点，．
又，．
在等边中，，
又，，
，平面，而平面，
平面平面．
，平面平面，且交线为AC，
平面，直线MB，MC，两两垂直．
以点M为坐标原点，分别以MB，MC，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，
则，，，1，，
，，．
设平面的一个法向量为，
令，得，
点C到平面的距离．
