1.1
空间向量及其运算
一、选择题
1．空间四边形
OABC中，=（
）
A．
B．
C．
D．
2．已知
D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则（
）
A．
B．
C．
D．
3．如图所示，空间四边形中，，点在上，且，为中点，则等于（
）
A．
B．
C．
D．
4．在平行六面体，设，，，分别是，，的中点，则（
）
A．
B．
C．
D．
5．（多选题）已知平行六面体，则下列四式中其中正确的有（
）
A．
B．
C．
D．
6．（多选题）在四面体中，以上说法正确的有（
）
A．若，则可知
B．若Q为的重心，则
C．若，，则
D．若四面体各棱长都为2，M，N分别为，的中点，则
填空题
7.
给出以下结论：
两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同；
若空间向量，，满足，则；
在正方体中，必有；
若空间向量，，满足，，则．
其中不正确的命题的序号为________．
8．为空间中任意一点，，，三点不共线，且，若，，，四点共面，则实数 ．
9．已知空间向量，，的模长分别为1，2，3，且两两夹角均为.点为的重心，若，，，，则__________；__________.
10．已知正三棱锥的侧棱长为2020，过其底面中心作动平面交线段于点，交的延长线于两点，则的取值范围为__________
三、解答题
11．如图，已知一点O到平行四边形的三个顶点A，B，C的向量分别为，求．
12．如图所示，若P为平行四边形ABCD所在平面外一点，点H为PC上的点，且，点G在AH上，且=m，若G，B，P，D四点共面，求m的值.
13.
如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是，为与的交点.若，，，
（1）用表示；
（2）求对角线的长；
（3）求1.1
空间向量及其运算
一、选择题
1．空间四边形
OABC中，=（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】根据向量的加法、减法法则，得
．
故选A.
2．已知
D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】得，
或．
故选A．
3．如图所示，空间四边形中，，点在上，且，为中点，则等于（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】＝－＝(＋)－＝(b＋c)－a＝－a＋b＋c.
故选B
4．在平行六面体，设，，，分别是，，的中点，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】如图
故选
5．（多选题）已知平行六面体，则下列四式中其中正确的有（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【解析】作出平行六面体的图像如图，可得，则A正确；，则B正确；C显然正确；，则D不正确.综上，正确的有ABC.
6．（多选题）在四面体中，以上说法正确的有（
）
A．若，则可知
B．若Q为的重心，则
C．若，，则
D．若四面体各棱长都为2，M，N分别为，的中点，则
【答案】ABC
【解析】对于，，，
，，即，故正确；对于，若Q为的重心，则，即，故正确；对于，若，，则,
,
,
,,,故正确；
对于，
,
,故错误.
填空题
7.
给出以下结论：
两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同；
若空间向量，，满足，则；
在正方体中，必有；
若空间向量，，满足，，则．
其中不正确的命题的序号为________．
【分析】本题考查的知识点是空间相等的定义，难度不大，属于基础题．根据相向相等的定义，逐一分析四个结论的真假，可得答案．
【解答】
解：若两个空间向量相等，则它们方向相同，长度相等，但起点不一定相同，终点也不一定相同，故错误；
若空间向量，，满足，但方向不相同，则，故错误；
在正方体中，与方向相同，长度相等，故，故正确；
若空间向量，，满足，，则，故正确；
故答案为．
8．为空间中任意一点，，，三点不共线，且，若，，，四点共面，则实数 ．
【分析】利用空间向量基本定理，及向量共面的条件，即可得到结论．
【解答】解：由题意得，，且，，，四点共面，
，
故答案为：．
9．已知空间向量，，的模长分别为1，2，3，且两两夹角均为.点为的重心，若，，，，则__________；__________.
【答案】1;
.
【解析】
取的中点，
，又，空间向量，，的模长分别为1，2，3，且两两夹角均为
，
10．已知正三棱锥的侧棱长为2020，过其底面中心作动平面交线段于点，交的延长线于两点，则的取值范围为__________
【答案】
【解析】设.则,,.
由为底面中心,
又因为四点共面,所以且.
所以，即
即.
三、解答题
11．如图，已知一点O到平行四边形的三个顶点A，B，C的向量分别为，求．
【解析】因为，，
所以．
12．如图所示，若P为平行四边形ABCD所在平面外一点，点H为PC上的点，且，点G在AH上，且=m，若G，B，P，D四点共面，求m的值.
【解析】连接BD，BG.
∵=-，=，∴=-，
∵=+，∴=+-=-++.
∵，∴=，∴=(-++)=++.
又∵=-，∴=++，
∵=m，∴=m·=++，
∵=-+=-+，
∴=(1)+(-1)+.
又∵G，B，P，D四点共面，∴1=0，m=.
即m的值是.
13.
如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是，为与的交点.若，，，
（1）用表示；
（2）求对角线的长；
（3）求
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1）连接,，，如图：
，，
在，根据向量减法法则可得：
底面是平行四边形
且
又为线段中点
在中
（2）顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是
由（1）可知
平行四边形中
故：
故：对角线的长为：.
（3），
又
